Exercice VII

DIPOLEMAG11
uniforme B a = Ba u Z. La répartition des courants supraconducteurs est surfacique et de densité
JS ( P) = Js( θ) uϕ ( P)
, avec JS(θ) = JS0.sinθ. On désigne par θ l'angle ⎯ →
uZ, OP
⎯ F I et par HG KJ
Un échantillon sphérique, de rayon R, d'un matériau supraconducteur, plongé dans le vide, est soumis à l'action d'un champ magnétique
u ϕ (P) le vecteur unitaire associé au repère des coordonnées sphériques.
B m crée par une telle distribution de courant, au centre de
1) Calculer le champ magnétique
la sphère; on considérera cette distribution comme une assemblée de spires élémentaires coaxiales parcourues
par un courant d'intensité JS(θ)Rdθ, et l’on utilisera des propriétés de symétrie pour prévoir la
direction de Bm . Dans la suite, on admet que ce champ est uniforme à l'intérieur de cette sphère. Exprimer
sa valeur Bm. en fonction de JS0 et de µ0. En déduire l'expression du champ magnétique résultant
à l'intérieur du matériau.
2) On admet désormais que λL = 0 et donc que le champ
magnétique total est rigoureusement
nul en tout point intérieur au matériau supraconducteur ( B = 0). Dans le cas de la sphère, trouver
l'expression de JS0 en fonction de Ba et de µ0. En assimilant la distribution de courants à celle d'un en-
semble de spires coaxiales, calculer le moment dipolaire magnétique total M associé à la sphère. En déduire le moment dipolaire magnétique
volumique m . Trouver sa valeur en fonction de JS0.
menter ce résultat.
3) En déduire l'expression de m en fonction du champ appliqué
4) On augmente progressivement le champ appliqué
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B a. Les caractéristiques du supraconducteur interviennent-elles ? Com-
B a. Sachant que la transition de l'état supraconducteur vers l'état normal apparaît
quand la norme du champ magnétique à la surface intérieure du matériau atteint une valeur critique BC, préciser, à l'aide des conditions de continuité,
dans quelle zone de l'échantillon sphérique débute la transition de l'état supraconducteur vers l'état conducteur.
Corrigé
1) La distribution de courant est invariante par symétrie par rapport au plan Oxy donc le
champ magnétique en O est perpendiculaire à ce plan. Il est donc porté par u Z et l’on peut écrire
B m(O) = Bm(O) u Z.
Le vecteur J S(P) est porté par u ϕ(P) en tout point P donc les
lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axe Oz.
On considère la spire vue de O sous l’angle θ. Son rayon est
r(θ) = Rsin(θ) et son épaisseur Rdθ. Elle est donc parcourue par
l’intensité dI = JS(θ).Rdθ et crée donc en O le champ magnétique élé-
µ 0dI
3
mentaire dBm( O)
= sin ( θ)
uZ.
2r(
θ)
Les champs élémentaires crées par toutes les spires ont la
même direction u . Le champ total est donc
JS sin( ) Rd
Bm( O)
= sin ( ) uZ
R sin( )
F HGz π µ 0 0 θ θ 3 I 1
θ = F
0 2 θ
Hzπ
3 I
µ 0J S0 sin ( θ) dθ 2 0 KuZ
.
z z
KJ
2 c h = − − − L π
0 NM
3
Comme sin ( ) cos ( ) sin( )
0
0 1
π π
1 3
θ dθ = − θ θ dθ
cos( θ) cos ( θ)
=2
3
0
2
− =
3
4
, on
3
obtient
Bm( O) = JS uZ
2
µ 0 0 .
3
Le champ magnétique total à l’intérieur de la sphère est alors F 2 I
B( O) = Ba + µ 0 JS0 u KJ Z.
3
2) Si B(O) = 3
0, on en déduit J 0 = − B .
2µ
S a
0
On considère la
spire vue de O sous l’angle θ, parcourue par dI, comme ci-dessus. Son mo-
2
ment dipolaire est dM = πr ( θ)
dIuZ
d’après l’orientation de dI. Le moment dipolaire total crée par
la distribution de courant est π
I
π
2 2
3
3
πR sin ( θ) RdθJ sin( θ)
u πR J θ dθI
sin ( ) u d’où
M =F H
z0 S0 K Z = F 0H
x
x
HG
z0
O
QP
π
O
ϕ
O
K
S Z
z
ϕ
z
θ P
R
θ P
R
u r
u θ
u r(P)
u θ(P)
u ϕ
u ϕ(P)
y
y
B a

M = 4 3
πR J 0u
3
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S Z .
Le volume de la sphère est V = 4 3
πR donc le moment dipolaire par unité de volume est
3
m = JS0 uZ.
3) Avec l’expression de JS0, il vient
m = − 3
µ Ba .
2 0
On constate que la densité volumique de moment dipolaire ne dépend que du champ magnétique
appliqué au système et non des caractéristiques du matériau. Mais ce résultat n’est valide que
dans l’approximation où le champ B m crée par la répartition de courant à l’intérieur de la sphère est
uniformément égal à B m(O).
4) Les conditions de continuité du champ magnétique à la traversée de la distribution 2D de
RBN
, EXT = BN,
INT
courant sont S| .
B − B = J ∧ n
T| T, EXT T, INT µ 0 S INT→EXT Comme à l’extérieur, le champ est B a, on peut écrire en un point P de la sphère repéré par
l’angle θ, B N,EXT(P) = Bacos(θ) u r(P) et B T,EXT(P) = –Basin(θ) u θ(P)
Par ailleurs, on a n INT ⎯→EXT = u r(P) et J S(P) = JS0sin(θ) u ϕ(P) donc on obtient :
B N,INT(P) = Bacos(θ) u r(P) ;
B T,INT(P) = –Basin(θ) u θ(P) – µ0JS0sin(θ) u θ(P) = –[Ba + µ0JS0]sin(θ) u θ(P).
On en déduit || B INT(P)|| 2 = Ba 2 cos 2 (θ) + [Ba + µ0JS0] 2 sin 2 (θ).
3
En admettant que la relation JS0 = −
2µ
0
Ba
est
toujours vérifiée, il reste
|| B INT(P)|| 2 = Ba 2 cos 2 (θ) + 1
4 Ba 2 sin 2 (θ) ce que l’on peut
écrire
2
2 2
BINT ( P) Ba
1 sin ( )
3 F I = − θ
4 KJ .
HG
|| B INT(P)|| est donc maximum pour θ = 0 et
θ = π . C’est donc aux « pôles » de la sphère que la
transition débute.
O
z
θ
P
B a
u r(P)
⊗ u ϕ(P)
u θ(P)