Laouari Azzedine.pdf

République Algérienne Démocratique et Populaire 

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique 

UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA - BOUMERDES 

FACULTE DES HYDROCARBURES ET DE LA CHIMIE 

Département de Transport et Equipements Hydrocarbures 

Laboratoire de Génie Physique des Hydrocarbures 

MEMOIRE DE MAGISTER 

Spécialité : Génie mécanique Option : Thermo Fluide 

THEME 

MODELISATION DE L’ATTENUATION 

DU RAYONNEMENT ISSU D’UNE FLAMME 

PAR UN RIDEAU DE GOUTTELETTES D’EAU 

Présenté par : LAOUARI Azzedine 

Soutenu publiquement le : 

Devant le jury composé de : 

Président : M. KESSAL, Maître de conférences, Université UMBB 

Examinateurs : 

E. AMARA, Maître de recherches, CDTA, Alger 

A. AISSANI, Maître de conférences, Université de Boumerdès 

M. BOUSSAID, Maître de conférences, Université de Boumerdès 

Rapporteur : D. LEMONNIER, Chargé de recherche au CNRS, ENSMA, Poitiers 

A. BENBRIK, Maître de conférences, Université de Boumerdès 

Boumerdès 2007

REMERCIEMENTS 

L’étude présentée dans ce mémoire a été effectuée au sein des deux laboratoires 

partenaires de l’accord programme CMEP 03 MDU 587 : 

_Laboratoire de Génie Physique de Hydrocarbures, Université de Boumerdès. 

_Laboratoire d’Etudes Thermiques, Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et 

d’Aérotechnique, Poitiers (France). 

Je tiens tout d’abord à remercier très chaleureusement, mes encadrants, Messieurs D. 

LEMONNIER (encadreur principal) et A. BENBRIK (co-encadreur) de m’avoir intégré parmi 

les membres de l’équipe de ce projet et m’avoir fait confiance pour cette ambitieuse étude en 

m’initiant à la recherche scientifique, mais aussi pour la qualité de l’encadrement dont j’ai 

bénéficié pendant cette formation. 

J’adresse l’expression de ma vive gratitude à Monsieur, M. KESSAL, Directeur du 

laboratoire, pour avoir voulu présider ce jury. 

Je suis en particulier très sensible à l’honneur que m’ont fait Messieurs E. AMARA, S. 

AISSANI et M. BOUSSAID d’avoir bien voulu participer à mon jury de soutenance et d’avoir 

examiné mon travail. 

Je souhaite également témoigner toute ma sympathie aux membres de l’équipe de cet 

accord programme avec lesquels j’ai travaillé dans une excellente ambiance. Ils ont toujours su 

se rendre disponible pour m’écouter. Merci à Mme S. MEFTAH et Monsieur S. KHELIFI 

TOUHAMI 

Je remercie également les volontaires pour la relecture de ce mémoire en l’occurrence 

messieurs A. GUEBLA et M ed .A.GUEMMITE. Merci encore pour votre aide et votre patience. 

Que mes parents trouvent en ces lignes toute la reconnaissance qui leur est due, de m’avoir 

toujours encouragé dans mes choix et de m’en avoir donné les moyens pour y arriver. 

Tous mes remerciements vont également à tous ceux ou celles qui m’ont apportés une aide 

quelconque ayant contribué à l’élaboration de ce travail.

je dédie ce mémoire à tous mes proches et mes amis

ﻦﻳﺰﺨﺘﻟا 

ﻞﻴﻣاﺮﺑ 

ﺺﺨﻠﻣ 

ﺔﻳ ﺎﻤﺣ ﺐﺠﻳ ندا . ﻖﺋاﺮﺤﻟا رﺎﺸﺘﻧﻻ سﺎﺳﻷا ﻞﻣﺎﻌﻟا ﻮه يراﺮﺤﻟا عﺎﻌﺷﻹا 

. رﺎﺠﻔﻧﻻا و،لﺎﻌﺘﺷ ﻼﻟ ﺔﻠﺑﺎﻗ ةﺮﻴﻄﺧ داﻮﻣ ىﻮﺘﺤﺗ ﻰﺘﻟا و (... زﺎﻐﻟا،لوﺮﺘﺒﻟا) 

. ﻖﺋاﺮﺤﻟا ردﺎﺼﻣ عﺎﻌﺷإ ﺪﺴﻟ ( ﺔﺷﺎﺷ) 

ﺰﺟﺎﺤآ 

ﻲﺋﺎﻤﻟا ذاذﺮﻟا لﺎﻤﻌﺘﺳا لﻮﻠﺤﻟا ﻦﻴﺑ ﻦﻣ 

ﺔﺳاردو . ﻲﺋﺎﻣ رﺎﺘﺳ لﻼﺧ ﻖﺋاﺮﺤﻟا ﻦﻣ ثﻮﻌﺒﻤﻟا يراﺮﺤﻟا عﺎﻌﺷﻹا ﺔﺳارﺪﺑ مﻮﻘﻧ ﺔﺳارﺪﻟا ﻩﺬه ﻲﻓ - 

ﺎﻧﺮﻄﺳ ﺔﺳارﺪﻟا ﻩﺬه ﺪﻌﺑ. 

ثﻮﻌﺒﻤﻟا يراﺮﺤﻟا عﺎﻌﺷﻹا دﺎﺠﻳإ اﺬآو . رﺎﺘﺴﻟا ﺔﻋﺎﺠﻧ 

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. ﻲﺋﺎﻤﻟا رﺎﺘﺴﻟا ﻲﻓ ةﺮﺛﺆﻤﻟا ﻞﻣاﻮﻌﻟا و . فﺎﻔﺷ ﻪﺒﺷ ﻂﺳو ﻦﻣ 

نزاﻮﺗ ﺔﻟﺎﺣ ﻲﻓ 

رﺎﺘﺴﻟا 

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. تاﺮﻄﻘﻠﻟ ﺔﻔﻠﺘﺨﻣ رﺎﻄﻗأ رﺎﺒﺘﻋا اﺬآو رﺎﺘﺴﻟا ﻞﺧاد تاﺮﻄﻘﻟا 

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( 

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تاﺮﻄﻘﻟا 

رﺎﻨﻟا ﻦﻣ ﺔﻳﺎﻤﺤﻟا،تاﺮﻄﻘﻟا،ىراﺮﺤﻟا 

عﺎﻌﺷﻻا،ﻲﺋﺎﻤﻟا 

ذاذﺮﻟا 

: ﺔﻳ ﺰﻣﺮﻟا-تﺎﻤﻠﻜﻟا

RESUME 

Le rayonnement thermique est un facteur d’importance majeure dans la propagation 

des incendies lorsqu’un feu se déclare dans un lieu de stockage, il est indispensable de 

protéger les produits entreposés, notamment, ceux renfermant des matières dangereuses. Une 

solution consiste à les isoler du foyer au moyen d’un rideau fait de gouttelettes d’eau 

pulvérisées. De par sa diffusion et son absorption du flux émis, ce dispositif va créer un 

obstacle au rayonnement des flammes. 

Cette étude consiste à l’évaluation des performances de ce mécanisme en fonction des 

différents paramètres tels que la largeur du rideau, la densité et la taille des gouttelettes. Afin 

de réaliser ceci, nous avons procédé au calcul de la contribution du rayonnement émis par 

une flamme (assimilée à un corps noir, à température fixée) et transmise à travers le rideau 

dans différentes configurations. Plus cette transmission est faible, plus l’efficacité du système 

de protection est meilleure. 

Dans le but de réaliser cette étude nous avons adopté la méthode suivante: 

-La première étape est une introduction à la théorie de transfert de chaleur par 

rayonnement dans les milieux semi-transparents. Nous avons simulé la propagation du flux 

dans une lame composée d'un milieu semi-transparents moyennant la variation des 

paramètres caractérisant ce milieu à savoir l'extinction, l'absorption et les diffusions isotrope 

et anisotrope. 

-La deuxième étape est consacrée à l’étude des effets de la diffusion sur le flux de 

chaleur traversant le rideau d'eau pour un diamètre de gouttelettes fixe et constant et dans 

l’état d’équilibre radiatif. 

-Par la suite, nous avons mis le point sur les paramètres optiques: réflexion, 

absorption et transmission dans un milieu constitué de gouttelettes en faisant varier le 

paramètre d'asymétrie (g). 

-En dernière simulation nous avons considéré un rideau d'eau réel pour lequel nous 

avons pris en compte la variation du diamètre de gouttelettes, la concentration en gouttes et 

l'épaisseur du rideau dans le cas d'un milieu isotherme. 

Mots-clés : protection incendie, rideau d’eau, rayonnement, gouttelettes d’eau

ABSTRACT 

Thermal radiation is commonly known as the dominant factor for heat transfer of large 

scale fires medium. It is necessary to protect the storage tanks; in particular, those which 

contain dangerous matters. 

A solution can be made by isolating them from the fire box by means of a made 

curtain of spray water droplets. With its diffusion and absorption of the emitted flow, this 

curtain creates an obstacle for the flames radiations. 

This study consists the evaluation of this mechanism in performances versus different 

parameters such as the width of the curtain, the density and the size of droplets. In order to 

realize this system, we have proceed by calculating the contribution of the emitted radiation a 

flame and transmission across the curtain in different configurations. The more this 

transmission in weak, the better the system protection efficiency. 

To achieve this study we laid down the following objectives: 

- The first is an introduction of the theory of radiative heat transfer in the semitransparent 

mediums we simulated the propagation of flow in a blade made up of a semitransparent 

medium while varying the parameters characterizing this medium with knowing the 

extinction, absorption and the isotropic and anisotropic scattering. 

- The second step is the study of the effects of the scattering on the heat flow crossing the 

water curtain for a diameter of droplets fixed and constant, with the boundary condition of a 

radiative balance. 

- Then, we consider the optical parameters: reflexion, absorption and transmission in a 

medium made of droplets while varying the asymmetry parameter. 

- Finally we have to simulate real water curtain for which takes into account the variation of 

the diameter of droplets, the concentration of drops and the thickness of the curtain in 

isothermal medium. 

Keywords: fire safety science, water spray, radiation, water droplets

SOMMAIRE 

INTRODUCTION …………………………………………………………………................... 

CHAPITRE 1. PRESENTATION DU PROBLEME ET ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 

1.1 Risque de propagation des incendies dans les installations industrielles…….……….... 

1.2 Technique de protection de propagation d’incendies (rideau d’eau)…………………... 

1.3 Présentation des travaux de recherches…………………………………….………….. 

1.4 Objectifs de l’étude…………………………………………………….….…………... 

1.5 Conclusion……………………………………………………………………............. 

CHAPITRE 2. THEORIE………………………………………………………..……………. 

2.1 Phénomène de propagation de la chaleur par rayonnement………………...….……… 

2.2 L’équation de transfert radiatif dans un milieu semitransparent……………….……... 

2.3 Méthodes de résolution………………………………………………………………… 

2.4 Modèle d’absorption et diffusion par les gouttelettes…………………….……………. 

2.5 Propriétés optiques des gouttelettes………………………………………….....……… 

2.6 Fonction de phase……………………………………………………….…………........ 

2.7 Normalisation………………………………………………………….………………. 

2.8 Conclusion……………………………………………………………………............. 

CHAPITRE 3. MODELES NUMERIQUES………………………………….…..................... 

3.1 Etude de l’extinction du flux dans le rideau en milieu en équilibre radiatif...................... 

3.2 Milieu à diffusion isotrope………………………………………………….................... 

3.3 Milieu à diffusion anisotrope……………………………………………..….................. 

3.4 Etude de l’effet de la taille et de la concentration de gouttelettes…..…………............... 

3.5 Milieu à température imposée (non émissif)…………………………………...………... 

3.7 Conclusion………………………………………………………………..…...…............. 

CHAPITRE 4. RESULTATS ET DISCUSSIONS……………………………..…..………...... 

4.1 Influences du schéma d’interpolation sur les luminances……………………………….. 

4.2 Influence du flux incident sur la paroi…………………………….….……………….... 

4.3 Transmittance en fonction de l’épaisseur optique………………..……...…..………..... 

4.4 Influence de l’albédo du milieu sur le flux transmis………………………..……. …… 

4.5 Influence de paramètre d’asymétrie (g)……………………………….......……………. 

4.6 Comparaison entre fonction de phase de Henyey-Greenstein………………………….. 

et fonction de phase approximative……………………………………………………. 

4.7 Absorption Transmittance et réfléctance du rideau …………………..…….……. ........ 

4.8 Influence de l’épaisseur du rideau……………………………………..….………......... 

4.9 Influence de la taille et la concentration de la gouttelette…….………………………… 

4.10 Influence de l’absorption de la vapeur d’eau sur la transmittance totale du rideau d’eau 

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES……………………………………..….…….……….. 

ANNEXES ..................................................................................................................................... 

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES…………………………………..……….…… 

04 

07 

07 

13 

14 

18 

19 

21 

21 

27 

28 

39 

44 

46 

54 

55 

57 

57 

62 

63 

67 

68 

69 

70 

71 

73 

73 

74 

77 

79 

80 

81 

85 

88 

91 

94 

97 

98

Nomenclature 

g Facteur d’asymétrie, utilisé dans la fonction de phase de Henyey-Greenstein 

kν g Cœfficient d’absorption de gaz [m -1 ] 

kν l 

Cœfficient d’absorption de la goutte [m -1 ] 

Lbν Luminance du corps noir [Wm -2 -1 

sr 

-1 

m 

Lν Luminance [Wm -2 -1 

sr 

-1 

m 

Pν HG Fonction de phase spectrale de Henyey-Greenstein 

Pν l 

Fonction de phase spectrale 

Q Facteur d’efficacité des gouttelettes 

μ ] 

μ ] 

S Variable curviligne de position [m] 

T Température du milieu [K] 

M Masse d’eau injectée (Concentration de gouttes) [Kg/m 3 ] 

d Diamètre de gouttelettes [ μ m ] 

L Epaisseur du rideau [m] 

a , b Cœfficient de MIE 

n 

n 

Symboles grecs 

β ν l Facteur d’extinction des gouttes [m -1 ] 

λ Longueur d’onde [ μ m ] 

μ Cosθ 

ν Fréquence du rayonnement [s -1 ou Hz] 

θ Angle polaire [rad] 

σ ν l Cœfficient spectral de diffusion de la goutte d’eau [m -1 ] 

Ω Angle solide [sr] 

ρ Masse volumique [Kg/m 3 ] 

Indices 

abs absorption 

diff diffusion 

ext extinction 

g propriétés relative à la phase gazeuse 

l propriétés relative à la phase liquide 

ο Référence ( vide, corps noir) 

Abréviation 

ETR Equation de Transfert Radiatif 

MOD Méthode des Ordonnées Discrètes 

MMC Méthode de Monte Carlo

INTRODUCTION GENERALE 

Le rayonnement thermique est le principal mode de propagation des incendies lorsqu’ 

un feu se déclare, des accidents, comme celui survenu en 1986 à Mexico dans un complexe de 

réservoirs de stockage ou celui survenu dans la raffinerie de pétrole à Mil Ford Haven 

(Royaume-Uni, 1994) où les dégâts matériels ont été évalués à près de 100millions de 

dollars, ont prouvé que le rayonnement émis par les flammes d'un incendie pouvait entraîner 

une série de nouveaux sinistres (explosion en chaîne de réservoirs, par exemple). 

Ces dernières années plusieurs études ont été faites pour trouver les méthodes 

efficaces de protection des bacs de stockages et des compartiments sensibles contre les 

incendies. La plupart d’entre elles traitent de l'utilisation des jets d'eau pour la protection des 

installations industrielles. Ces derniers peuvent être utilisés pour l'extinction directe des feux 

et en même temps pour refroidir les surfaces exposées directement aux feux. Comme ils 

peuvent aussi avoir la forme de rideaux servant de barrière (écran), pour bloquer le 

rayonnement issu des flammes, dans le but d’isoler d’autres zones inflammables. 

Schéma du principe du dispositif de protection d’incendie [31] 

FHC Page4

Introduction générale 

C’est ce dernier dispositif que nous allons étudier pour évaluer ses performances en fonction 

des différents paramètres tels que la largeur du rideau, la densité, et la taille des gouttelettes. 

Pour cela, nous allons calculer dans différentes configurations la part du rayonnement émis 

par une flamme (assimilée à un corps noir à température fixée) et transmise à travers le rideau. 

Plus cette transmission est faible, meilleure est l’efficacité du système de protection. 

Dans cette étude on va modéliser le rayonnement thermique des flammes à travers le 

rideau, en faisant varier certains paramètres de contrôle et voir leur influence sur l'atténuation 

du rayonnement thermique émis par une source de flamme pour protéger les produits 

inflammables et explosifs à risque. 

Dans le but de réaliser cette étude nous avons adopté les objectifs suivants: 

- Dans une première étape d'initiation à la théorie du transfert de chaleur par rayonnement 

dans les milieux semi-transparents, nous avons simulé la propagation du flux dans une lame 

composée d'un milieu semi-transparent en faisant varier les paramètres caractérisant ce 

milieu à savoir l'extinction, l'absorption et la diffusion isotrope et anisotrope. 

- Ensuite, nous avons étudié les effets de la diffusion sur le flux de chaleur traversant le rideau 

d'eau pour un diamètre de gouttelette fixe et constant, avec la condition d’équilibre radiatif. 

- Après, nous avons étudié les paramètres optiques: réflexion, absorption et transmission dans 

un milieu constitué de gouttelettes en faisant varier le paramètre d'asymétrie (g). 

- En dernière simulation nous avons considéré un rideau d'eau réel pour lequel on prend en 

compte la variation du diamètre de gouttelettes, la concentration en gouttes et l'épaisseur du 

rideau dans le cas d'un milieu isotherme. 

Dans ce mémoire nous avons présenté les chapitres suivants. 

Dans le premier chapitre nous avons évoqué l’ensemble des objectifs de l’étude ainsi 

qu’une analyse bibliographique des différents travaux ayant trait à l’utilisation des rideaux 

d'eau comme protection contre les incendies des équipements industriels, notamment ceux liés 

au stockage des hydrocarbures. 

FHC Page5

Introduction générale 

Au deuxième chapitre nous avons introduit la théorie de résolution de l'équation de 

transfert radiatif dans le rideau ainsi que les différentes lois régissant le phénomène 

d'atténuation du flux de chaleur par le milieu constitué de gouttelettes d'eau. 

Dans le troisième chapitre nous avons exposé la méthode numérique (Ordonnées 

Discrètes) que nous avons adoptée pour la résolution de l’équation de transfert radiatif du 

problème. 

Dans le dernier chapitre nous avons présenté les résultats obtenus et leurs l'analyse. 

Enfin nous avons terminé ce mémoire par une conclusion générale sur l'étude réalisée 

et nous présentons les perspectives à ce travail. 

FHC Page6

CHAPITRE 1 

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 

L’eau est l’agent de lutte contre l’incendie le plus employé couramment, car les 

caractéristiques thermiques de l’eau la rendent idéalement appropriée comme agent 

d’extinction de la plupart des types de feu, en captant la chaleur directement à partir des 

flammes, les produits chauds de la combustion ou à partir de la surface du carburant. Le 

changement de phase de l’eau en vapeur est particulièrement efficace dans le captage de 

l’énergie thermique. De meme la production de grandes quantités de vapeur d’eau peut 

également contribuer à réduire la concentration en oxygène de l’environnement en particulier 

lorsque le feu est confiné. 

1. Risque de propagation des incendies dans les installations industrielles 

1.1 Classification des incendies et des agents d’extinction 

En Suivant la nature du matériau combustible, on peut distinguer quatre classes 

d’incendies. A chacune de ces classes s’adapte un type particulier d’agent extincteur pouvant 

être utilisé en système fixe ou portatif (D.P.Nolan [11], R.Dupon [37]) : 

• Classe A 

Matériaux combustibles ordinaires (Exemples : bois, papier, vêtements, caoutchouc, 

plastiques…) 

Extinction : eau, phosphate d’ammonium sec en poudre, mousse (agrégats d’eau, de 

composés chimiques et d’air). 

• Classe B 

Liquides et gaz inflammables, graisses. 

FHC Page7

Chapitre 1 Etude Bibliographique 

Extinction : CO2, phosphate d’ammonium sec, bicarbonate de potassium et poudre, 

mousse, halon, lorsqu’ il est employé en protection d’incendie, est un agent extincteur 

sous forme gazeuse. 

• Classe C 

Equipements électriques en fonctionnement (Exemples : moteurs, transformateurs..). 

Extinction : CO2, phosphate d’ammonium sec, bicarbonate de potassium en poudre, 

halon. 

L’agent extincteur doit être non-conducteur électrique. 

• Classe D 

Matériaux brûlants à l’air, tels que le magnésium, l’aluminium et le titane, ainsi que 

leurs alliages, sodium, potassium. 

Extinction : sable, graphite pulvérisé, chlorure de sodium, chaux, talc. 

Les feux de la classe A sont généralement éteints à l’eau, qui produit un effet 

d’absorption de chaleur (refroidissement) sur le matériau en combustion, jusqu’à 

l’extinction complète. 

L’extinction des feux de la classe B est réalisée de trois façons : 

- En réduisant la teneur en oxygène de l’air (cas de l’agent extincteur CO2) ; 

- En empêchant la formation de la vapeur inflammable par une couche-barrière excluant l’air 

(cas des mousses) ; 

- En utilisant un agent chimique extincteur (poudreux ou gazeux) qui, par des interférences 

chimiques, interrompt la chaîne de réactions de la combustion (carbonate de potassium, 

phosphate d’ammonium halon). 

Pour la classe D, l’agent extincteur ne doit pas réagir avec le métal et être un bon absorbant de 

chaleur. 

FHC Page8


1.2 Feux et explosions des hydrocarbures 

Les hydrocarbures gazeux ou liquides possèdent certaines caractéristiques importantes 

pouvant être utilisées en ingénierie de protection d’incendie. Parmi ces caractéristiques, on 

peut citer les notions de limites (supérieure et inférieure) d’inflammabilité, de température 

d’auto-inflammation et de point éclair. 

Limites d’inflammabilité 

Un mélange air-gaz inflammable (ou air vapeur inflammable) ne peut s’enflammer que si la 

proportion de gaz combustible dans ce mélange est comprise entre deux limites . 

Ces limites d’inflammabilité dépendent de nombreux facteurs externes au combustible, 

notamment la vitesse et la direction de l’écoulement d’air, l’humidité de l’air et les 

dimensions de l’enceinte contenant le gaz inflammable. 

A titre d’exemple, dans les conditions normales de température et de pression (0 0 C - 1,013 

bar), ces limites d’inflammabilité dans l’air sont de 5 – 15 % pour le méthane, 2 - 9,5 % pour 

le propane et 1,5 - 8,5 % pour le butane. 

En protection d’incendie, un hydrocarbure gazeux sera considéré d’autant plus dangereux que 

l’écart entre les limites inférieures d’inflammabilité sera large. 

La température de combustion est la température maximale susceptible d’être obtenue avec un 

combustible. Elle dépend de la nature de comburant (air ou oxygène pur), des proportions du 

mélange combustible - comburant, ainsi que d’autres facteurs. La valeur théorique de la 

température de combustion peut être calculée par lois de la thermodynamique (R.Siegel, 

J.R.Howell [38]). 

La température d’auto-inflammation d’un mélange combustible gazeux-air, est la température 

à laquelle il faut porter ce mélange pour qu’il s’enflamme spontanément, sans autre source 

d’ignition. 

FHC Page9


C’est une propriété extrinsèque du combustible dépendant fortement des conditions 

expérimentales. Dans les conditions normales, cette température est de 540 ° C, 450 ° C et 405 ° C 

respectivement pour le méthane le propane et le butane (D.P.Nolan [11]). 

• Point éclair 

C’est la température minimale à laquelle il faut porter un combustible liquide pour que les 

vapeurs émises brûlent spontanément en présence d’une source d’ignition. Le point éclair est 

un paramètre dont la valeur numérique est difficile à déterminer, du fait de sa très forte 

dépendance à la technique expérimentale de mesure. Dans l'industrie pétrochimique on peut 

avoir plusieurs types d'incendie et d'explosion parmi lesquelles on peut citer: 

• Feu de nappe (pool fire) 

Le déversement accidentel d'un liquide inflammable de faible volatilité peut conduire, en 

présence d'une source d'ignition, à un feu de nappe. Dans les conditions industrielles, les 

densités de flux reçus par les équipements, en provenance de ce type de feux, sont de l'ordre 

de 30 à 50 kW/m 2 (D.P.Nolan [11]). Les tests expérimentaux sur le terrain (ITC-CETHIL- 

IVK), réalisés dans le cadre du projet Astre, ont porté sur les feux de nappe de gaz naturel 

liquéfié (GNL) et d'essence. 

• Bleve (Boiling Liquide Expanding Vapor Explosion) 

Explosion de liquide bouillant, entraîné par la vapeur d'eau en expansion. Ce type d'accident 

intervient, suite à la rupture de la paroi d'un réservoir de stockage contenant un combustible 

liquide. Cette rupture brutale et le déversement brusque dans le milieu ambiant du liquide en 

ébullition contenu dans le réservoir ou de son évaporation instantanée s'accompagne 

d'explosion appelée Bleve. 

0 

Pour des parois métalliques, cette rupture peut intervenir à des température de plus de 540 C. 

Des études de conditions "Bleve"portant sur des réservoirs de stockage de Gaz de Pétrole 

3 

Liquéfié (GPL) de 3,8 à 113 m de capacité ont montré temps de rupture entre 8 et 30 mn 

(D.P.Nolan [11]). 

FHC Page10


• Feu de jet (jet, torch fire) 

Un feu de jet est produit par la réaction avec l'air d'un combustible gazeux ou liquide atomisé 

sous pression. Il se produit suite à la rupture d'une canalisation sous pression. Généralement 

localisées au niveau de la zone de rupture, les flammes qui en résultent peuvent fournir des 

densités de flux de plus de 200 kW/m 2 , et constituent un grand danger pour les équipements 

environnants. 

• Incendies dans les hydrocarbures 

Pour qu’il y ait combustion d’un hydrocarbure, il faut qu’il y ait de l’oxygène(Comburant). 

En présence d’un corps combustible que constitue l’hydrocarbure. Hydrocarbure et oxygène 

ne peuvent s’unir qu’en proportions définies et la réaction ne peut s’amorcer que lorsqu’une 

certaine température est atteinte [48]. 

Si dans un mélange gazeux, la concentration en combustible est trop élevée, il ne peut y avoir 

combustion : le mélange est dit trop riche. Inversement, si cette concentration est trop faible 

la combustion ne peut avoir lieu : le mélange est dit pauvre. Avec les composés ayant 

un haut pouvoir calorifique, comme les hydrocarbures, il suffit, lorsque le mélange 

combustible / air est en proportion convenable, qu’une très petite quantité du mélange brûle 

pour que la chaleur dégagée amène les couches voisines à la température d’ignition 

et la combustion se propage de proche en proche. Quand un liquide est enflammé, une 

partie de la chaleur dégagée élève la température du liquide et en transforme une partie en 

vapeur. La vitesse de combustion dépend donc de la chaleur de combustion dégagée et du 

rayonnement en retour vers la surface du combustible. 

• Feu de réservoir 

Un point important consiste à protéger les installations voisines du réservoir en feu, 

notamment au moyen de rideaux d’eau ou par une couronne d’arrosage des réservoirs 

appliquée sur l’enveloppe. 

FHC Page11


• Flux rayonnés par les flammes 

Dans la littérature on trouve plusieurs modèles pour caractériser le rayonnement issu de feux 

d’incendie en fonction de la température de flamme. On peut ainsi exprimer la densité de flux 

émis par la flamme par la relation D.P.Nolan [11]: 

Ф = F Esp Tatm 

ou F est un facteur de forme géométrique, Esp la puissance émise par la flamme assimilée à 

une surface et Tatm un facteur de transmission atmosphérique. Il est difficile de donner des 

valeurs universelles à ces paramètres pour différents types de feux. 

Cependant les valeurs typiques des densités de flux reçus par la cible, de 30 à 50 kW/m 2 sont 

souvent retenus pour les feux de nappes 200 – 300 kW/m 2 pour les feux de jet (D.P.Nolan [11]). 

Les niveaux de densité de flux supérieurs à 37,8 kW/m 2 peuvent avoir des conséquences graves 

pour les installations à risques. Le tableau ci-dessous illustre les données typiques pour les feux 

de GPL et GNL. 

GNL 

(feu de nappe) 

GNL 

(feu de jet) 

GPL 

(feu de nappe) 

GPL 

(feu de jet) 

FACTEUR 

F 

020 

0.15 

0.15 

030 

Esp 

[kW/m 2 ] 

200 

200 

150 

150 

Température de 

flamme [ 0 C] 

1300 

Tableau 1.1 Donnée typique pour des feux de GPL et GNL 

1600 

1300 

1550 

FHC Page12


Le cas des réservoirs d’hydrocarbures est ici traité de façon spécifique. Ce tableau ci- 

dessous est une estimation des risques dans le cas des entrepôts de pétrole en présence d’un 

flux thermique. 

Entrepôts de pétrole 

Propagation probable de l’incendie même dans le cas 

de refroidissement des réservoirs. 

Propagation improbable lorsque le refroidissement 

est suffisant, c'est-à-dire si le maintien de l’équilibre 

thermique est assuré. 

Propagation improbable du feu sans mesure de 

protection particulière. 

Flux thermique 

(kW/m 2 ) 

Tableau 1.2 Estimation du risque incendie dans le cas des entrepôts de pétrole 

(extrait de « Process Industry Hazards; Accidental Release Assesment » 

Containment and Control I Ch E Symposium - Serie n° 47 - 1976) 

FHC Page13 

36 

12 

8


1.3 Technique de protection de propagation des incendies par rideau d’eau 

La protection des équipements des hydrocarbures, notamment des réservoirs de stockages de 

GNL, vis à vis des flammes est d’une grande importance dans les industries pétrochimiques 

ou gazières. Une des techniques de protection consiste à employer des rideaux d’eau pour 

atténuer le rayonnement des flammes de 50% à 70%. 

C’est le moyen le plus utilisé dans la sécurité industrielle J.M Bachelin [23] et il est efficace 

pour plusieurs types de risque J.M Bachelin [22]. Dans le cas de réservoir en feu, le rideau 

d’eau maintient la surface du réservoir isolée du milieu environnant Y.Lev [47], Nedelka, 

Bauer and A.Copalle [2]. Ce rideau est composé de gouttelettes d'eau, qui se comportent 

comme un filtre P.H.Thomas [35], J.R Lenoir and Saders[24], réduisant bien l’incidence 

radiative vers les bacs de stockages et les surfaces pétrochimiques ou les bacs de stockages du 

GNL. Le rideau d’eau à injection verticale a été bien étudié à l’institut de Von Karman dans le 

projet Européen ASTRRE (Atténuation des sources thermiques rayonnantes par rideau 

d'eau). Qui est suivi par J.Lieto [25] en partenariat avec l’université Claude Bernard et le 

Centre thermique de l’INSA Lyon (France). S.Dembélé [39]. Le rideau d’eau est bien orienté 

essentiellement pour protéger les bacs de stockage. 

Test d’un feu de GNL Rideau d’eau employé 

Fig.1.4 (Von Karman Institute ‘Thermal shielding by water spray 2003) 

FHC Page14


Des travaux récents sur les rideaux d'eau pulvérisés ont été menés afin d'améliorer la 

protection des biens contre le rayonnement dus aux incendies. 

Dans l’étude de G. Parent, P. Boulet [12], l'atténuation varie fortement avec la longueur 

d'onde incidente. Les coefficients d'absorption et de diffusion sont proportionnels au diamètre 

de gouttes. Ils ont conclu que la distribution de gouttelettes augmente avec la pression de jet 

1/3 

et varie proportionnellement par rapport à la pression p et que les petites gouttes atténuent 

− 

beaucoup mieux le rayonnement car leur cœfficient de diffusion est très important. 

La densité de gouttelettes et introduite en fonction de la taille de gouttelettes et de sa classe 

extraite de la loi de Rosin-Rammler; les calculs expérimentaux ont été faits pour 49 diamètres 

7 3 

de classe (60 à 400 μ m ). avec des concentrations de de 1.87× 10 gouttes / m . 

Dans une autre étude, N. Berour, D. Lacroix, al [34] ont étudié l’influence du diamètre et de 

la distribution des tailles de gouttelettes. Leur étude est basée sur la recherche du diamètre 

optimale pour atténuer au mieux le rayonnement. Ils ont utilisé le jet TG03 pour des 

diamètres de gouttes allant de D = 10µm à D = 200µm. Ils ont utilisé une fraction volumique 

de gouttes de l’ordre de ƒ = 10 -5 . Les résultats ont été comparés avec un milieu purement 

absorbant. On remarque que pour des petits diamètres de particules l’atténuation est la plus 

importante. Le coefficient d'absorption de gaz est calculé par la méthode C-K distribution, qui 

est extraite de data base de A. Soufiani. Le coefficient d'absorption de la vapeur d'eau et du 

dioxyde de carbone varie avec la température à pression ambiante. La concentration en 

vapeur est prise en compte, et l’absorption totale du milieu résulte de celles des gouttelettes et 

du gaz. Ont supposés que la diffusion issue du gaz est négligeable par rapport à celle produite 

par les gouttes. Cette étude est une simulation numérique du transfert radiatif à travers le 

rideau d'eau couplé avec la conduction et la convection et les paramètres contrôlant le rideau 

d'eau. La taille de goutte optimale (10 μm ≅ la longueur d'onde du rayonnement infrarouge), 

l'extinction varie linéairement avec l'épaisseur du rideau et la transmittance. 

Dans l’étude d’A. Collin, P. Boulet [1] ont supposé que toutes les fractions de volume (pour 

les gouttelettes et l'espèce gazeuse) sont censées rester constantes et que tous les éléments 

participants agissent indépendamment, de sorte que les propriétés radiatives globales peuvent 

être obtenues par addition simple de leurs contributions respectives (fraction de 

FHC Page15


volume de gouttelettes). Pour mieux décrire les phénomènes liés aux gaz, la méthode C-K est 

utilisée. Elle est extraite de la base de données d’A. Soufiani avec un choix de 43 ou 365 

bandes de longueurs d’ondes. la fraction volumique de CO2 a été supposée petite devant 

celle de la vapeur d’eau. La résolution de l'ETR et l'application du modèle C-K ont été 

validées par la littérature et les auteurs ont tenu compte du rôle de la phase gazeuse dans 

l'atténuation du rayonnement en plus de l'influence de la densité de gouttelettes. 

Dans l’étude d’A. Coppale [2] le but est de calculer l'atténuation du rayonnement infrarouge 

à travers un rideau d'eau en fonction du diamètre de gouttes et pour différentes masses d’eau 

injectées (débit). L'atténuation maximale est obtenue au diamètre de gouttes de l'ordre de 

longueur d'onde du rayonnement, c'est-à-dire pour des diamètres de l'ordre d’environ 

quelques μ m . L’auteur a présenté l'atténuation en fonction de la masse d'eau injectée pour 

différents diamètres de gouttes. IL a réalisé un simple modèle mathématique pour le calcul de 

flux transmis à travers le rideau d’eau. En utilisant un modèle à deux flux pour évaluer 

l’atténuation du rideau en fonction de diamètre et de la quantité d’eau injectée (masse d’eau 

injectée). 

Dans l'article de T.S Ravigururajan et M. R. Beltran [41] a été utilisé un modèle pour le 

calcul de la transmitivité à travers un rideau pour des longueurs d’onde allant de 0.6 à 25 μ m . 

Les auteurs ont calculé l'atténuation du rayonnement infrarouge à travers un rideau d'eau en 

fonction du diamètre de gouttes et pour différentes masses d’eau injectée (débit). 

L’atténuation maximale est observée avec des diamètres de goutte de l'ordre de la longueur 

d'onde émise. On remarque une fluctuation de l'atténuation en fonction du diamètre de 

gouttes : pour des valeurs de D = 2 μm le cœfficient d'extinction atteint son maximum. 

L'atténuation se stabilise ensuite pour des longueurs d'onde 2 à 2,5 μ m, 

pour des diamètres 

de gouttes de 30 μ m . Pour λ = 2 et 3μ 

m la diffusion est plus importante que l'absorption. 

La concentration des gouttelettes est aussi un facteur très important : Pour une concentration 

donnée, le nombre de gouttes diminue si la taille augmente et le milieu devient assimilable à 

un milieu poreux. 

FHC Page16


Dans une autre étude J.L. Consalvi [19] a considéré un gaz gris, et a étudié le transfert 

radiatif à travers le rideau d’eau. L’étude a été faite pour une densité de gouttelettes variant de 

0 à 100 g/cm 3 , pour des diamètres de gouttes 20, 100, 200 et 500 µm. 

Cette étude est une comparaison entre deux modèles un gaz gris et un gaz non gris, pour 

plusieurs concentration de gouttelettes variant de 0.015, 0.04 et 0.08 kg/ m 3 . Le modèle gris 

donne de bons résultats pour des concentrations de petites gouttes, (il y a une certaine 

concordance entre les deux courbes). Pour des concentrations un peu élevées le modèle gris 

n’est plus satisfaisant est non valide. 

Dans l’étude de P. Boulet, A. Collin, G. Parent [36] le modèle C-K est introduit afin de 

calculer la dépendance du coefficient d’absorption du gaz, car il varie fortement avec la 

longueur d’onde. Les données sont issues de la base de Soufiani et Taine. Cette base liste les 

caractéristiques des mélanges HO2 et CO2 en 43 bandes. Le jet est considéré diphasique, 

écoulement d’un milieu humide avec des distributions uniformes de gouttelettes. La présence 

de la vapeur d’eau induisant une atténuation supplémentaire aussi du rayonnement. 

Dans les travaux de H. Pretrel [14] la phase gazeuse constituée d’air humide participe au 

rayonnement par absorption ; ses performances dépendent de la fraction volumique molaire 

d’eau dans le rideau. Il a étudié aussi l'influence de la concentration de gouttes sur la 

transmittance. Son but était de calculer l'atténuation du rayonnement infrarouge à travers un 

rideau d'eau en fonction du diamètre de gouttes et pour différentes masses d’eau injectée 

(débit). L'atténuation maximale est due au diamètre de gouttes de l'ordre de longueur d'onde 

émise. Les résultats indiquent aussi que les niveaux d'atténuation significatifs sont obtenus 

pour des concentrations massiques de gouttes inférieures à 1 kg/m 3 . D'autres parts, l’auteur 

confirme l'effet bénéfique de la réduction du diamètre de gouttes pour une quantité d'eau 

donnée. Ainsi pour des très fines gouttelettes (D ≈10μ m ), une atténuation de 70% est obtenue 

avec une concentration de seulement 0.01 kg/m 3 . 

FHC Page17


L’étude de S. Dembélé, X.wen, J.F. Sacadura [39] a permis d’isoler expérimentalement 

quelques paramètres-clés contrôlant l’atténuation d’un rideau d’eau et qui sont : 

• Le diamètre des gouttes et leur concentration massique (ou densité) pour la phase 

liquide. 

• La fraction molaire de la vapeur d’eau essentiellement, pour la phase gazeuse. 

• L’épaisseur géométrique du rideau 

1.4 Objectifs de l’étude 

Après cette analyse bibliographique touchant un nombre important de travaux 

scientifique dans le domaine de la protection contre la propagation des incendies à l'aide de 

l'utilisation des rideaux d'eau, nous situons notre contribution en relation avec les objectifs 

suivants: 

- Dans une première étape d'initiation à la théorie de transfert de chaleur par 

rayonnement dans les milieux semi-transparents nous allons simuler la propagation du 

flux dans une lame composée d'un milieu semitransparent en faisant varier les 

paramètres caractérisant ce rideau à savoir l'extinction, l'absorption la diffusion 

isotrope et anisotrope. 

- Nous avons étudié les effets de la diffusion sur le flux de chaleur traversant le rideau 

d'eau pour un diamètre de gouttelettes fixe et constant sous la condition d'un équilibre 

radiatif. 

- Nous avons considéré un milieu ayant des gouttelettes pour lequel nous étudierons les 

paramètres optiques, réflexion, absorption et transmission. 

- Nous avons considéré un rideau réel pour lequel nous avons pris en compte la 

variation du diamètre des gouttelettes, la concentration en gouttes et l'épaisseur du 

rideau dans le cas d'un milieu isotherme. 

FHC Page18


1.5 Conclusion 

La synthèse des travaux de recherches passés en revue nous a permis de classer ces 

contributions dans les grands axes suivants: 

- Recherche du diamètre optimum pour une atténuation éfficace du rayonnement ; 

- Etude de la l’influence de la phase vapeur (gaz) en présence des gouttelettes dans le rideau 

d'eau ; 

- Méthodes de résolution des problèmes radiatifs dans le rideau d'eau, comme (MOD, 

méthode à deux flux, analytique….) ; 

- Etude expérimentales sur la distribution granulométrique des gouttelettes et la concentration 

de la vapeur et gouttelettes ; 

- Etude expérimentales des paramètres hydrodynamiques, vitesse, pression. 

FHC Page19

CHAPITRE 2 

ETUDE THEORIQUE 

2. Phénomène de propagation de la chaleur par rayonnement 

2.1 Le transfert de chaleur radiatif 

Le rayonnement thermique est le mode de transfert de la chaleur dégagée par les corps 

solides, liquides ou gazeux portés à haute température. Le transfert d'énergie thermique est 

assuré par ondes électromagnétiques. N'exigeant ainsi pas de support matériel, c'est un 

processus d'échange d'énergie quasi-immédiat entre deux corps distants. 

D'un point de vue physique, le rayonnement est le résultat d'une émission de vibrations 

électromagnétiques, dont les longueurs d'onde sont suivant la température comprises 

approximativement entre 0.1 et 100 μ m (domaine du visible et fraction de l'ultraviolet et de 

l'infrarouge). 

Deux concepts sont proposés pour expliquer la propagation du rayonnement 

thermique : l’un ondulatoire et l’autre corpusculaire. 

Fig. 2.1 Schéma d’une onde électromagnétique [29] 

FHC Page21

Chapitre 2 Etude Théorique 

L’approche ondulatoire a été élaborée par Maxwell. Après avoir construit la théorie 

électromagnétique (1876), il conclut que le rayonnement est une onde électromagnétique qui 

se propage dans le vide à une vitesse C0 = 3x10 8 m.s -1 . 

Les grandeurs vectorielles qui la caractérisent, champ électrique et champ magnétique, sont 

perpendiculaires à la direction de propagation. 

Cette propagation peut donc s’effectuer aussi bien dans le vide que dans certains milieux dits 

transparents ou semi-trarnsparents. Un milieu est dit transparent pour un rayonnement 

incident donné, si ce rayonnement traverse le milieu sans être atténué. Il est opaque dans le 

cas contraire ou aucun rayonnement ne peut émerger car il est intégralement absorbé par le 

milieu. Entre ces deux cas limites, nous trouvons les milieux semi-transparents. Ces milieux 

atténuent partiellement le rayonnement incident, mais une fraction de ce dernier peut en 

émerger. Dans ce chapitre seront développées les relations générales qui gouvernent le 

comportement de transfert radiatif en présence d’un milieu absorbant, émettant et diffusant. 

Dans un premier temps seront explicités les phénomènes de l’interaction ayant lieu entre un 

milieu chargé en particules et le flux de photons. Nous établirons ensuite les conditions d’un 

bilan énergétique radiatif connu sous le nom de l’équation de transfert radiatif. 

2.2 Luminance radiative (Intensité) 

Avant d’aborder l’équation de transfert radiatif, nous allons tout d’abord définir l’intensité du 

rayonnement ou (Luminance), notée L. Considérons un point O repéré par la coordonnée S 

de la surface émettrice et l’élément de cette surface dA centré en O. Soit une direction 

d’émission Ω r 

et soit l’angle élémentaire solide dΩ d’axe Ω r 

(figure 2.2) 

FHC Page22


Fig. 2.2 Schématisation de l’angle solide 

Pour des quantités dA et dΩ suffisamment petites, l’intensité directionnelle est définie par la 

relation suivante : 

r dQ 

L(s, Ω ) = r r (1) 

dA Ω.n dΩ 

- L( s, Ω) est définie comme étant l’intensité directionnelle pour une direction de 

propagation Ω 

r 

r 

et à la position s. Elle représente la densité de flux d’énergie radiative 

émise par unité d’angle solide dΩ centré sur Ω r et par unité de surface apparente 

dAcosθ (projection de dA sur le plan normal à Ω r ). Elle s’exprime en W/sr/m 2 ; 

- dQ représente le flux d’énergie radiative envoyé par l’élément de la surface émettrice 

dA dans la direction Ω r et contenu dans le petit angle solide dΩ , son unité est le W. 

2.3 Mécanismes d’atténuation (perte d’énergie radiative) 

• Atténuation par absorption et diffusion 

Dans un milieu semitransparent, les rayons incidents sont atténués par absorption et diffusion 

le long de leurs trajets. 

• Absorption par des particules 

Lorsqu’une épaisseur infinitésimale reçoit un flux d’énergie incident, une fraction de l’énergie 

est transformée en énergie interne, ce mécanisme s’appelle l’absorption. 

FHC Page23


La quantité absolue absorbée est proportionnelle à l’intensité de l’énergie incidente ainsi 

qu’au chemin élémentaire parcouru ds. Elle s’écrit de la façon suivante : 

− k (s)L (s, Ω)ds 

νlν - L (s, ) est l’intensité incidente en s, elle est exprimée en W/sr/m 

Ω 

2 

/HZ ; 

ν 

(1.1) 

- ds représente l’épaisseur infinitésimale (en m) traversée dans le volume de contrôle 

selon la direction d’étude Ω r (figure1.2) ; 

- k (s) est le coefficient spectral d’absorption des particules exprimée en m 

νl 

Le signe négatif introduit dans la relation précédente traduit la diminution de l’énergie 

transportée lors du mécanisme de l’absorption. 

• Absorption par le gaz 

L’absorption par le gaz, et défini comme suit : 

− k (s)L (s, Ω)ds 

νgν ou k (s) est le cœfficient spectral d’absorption de la phase gazeuse. 

νg 

• Atténuations par diffusion 

-1. 

(1.2) 

L’atténuation par diffusion est similaire à celle par absorption, la différence consiste dans 

le fait que dans le cas de la diffusion, l’énergie qui suivait initialement la direction générale 

d’étude Ω r 

(figure 1.2) est redirigée vers une autre direction Ω r d dans le milieu, alors que 

dans le cas de l’absorption, l’énergie est convertie en énergie interne. 

L’atténuation par diffusion est traduite par la relation suivante, analogue à celle pour 

l’atténuation par absorption : 

−σ (s)L (s, Ω )ds 

(1.3) 

νlν - L (s, ) représente la quantité d’énergie incidente. 

Ω 

ν 

- σ est défini comme étant le coefficient de diffusion spectral des particules contenues 

l (s) ν 

dans le gaz. Son unité est le m 

-1. . 

FHC Page24


L’atténuation totale de l’intensité pour un faisceau de rayons par l’effet de l’absorption et de 

la diffusion est appelée l’extinction, elle est caractérisée par le cœfficient d’extinction β ν l . 

Il s’agit de la somme du coefficient d’absorption k et du coefficient de diffusionσ 

, par 

linéarité du bilan radiatif : 

β νl 

= σ νl 

+ kνl (1.4) 

- β s’exprime également en m 

- 

νl 

-1 

βνl -1 est physiquement le libre parcours moyen des photons dans le milieu compte tenu des 

effets d’absorption et de diffusion par le gaz et par les particules. 

• Accroissement par émission des deux phases 

Un faisceau lumineux traversant un milieu semitransparent dans une direction Ω r perd de 

l’énergie par absorption et diffusion le long du chemin parcouru. Cependant il acquiert aussi 

de l’énergie tant par émission propre du milieu qu’il traverse que par diffusion. 

• Accroissement par émission propre 

Inversement au mécanisme de l’absorption cité auparavant, le mécanisme d’émission consiste 

à convertir l’énergie interne d’un corps porté à une certaine température en rayonnement 

thermique. Le renforcement par émission propre est dû essentiellement à l’énergie radiative 

gagnée par faisceau lumineux du fait de l’émission propre du milieu qu’il traverse. 

En première approximation, cette densité de flux est égale à l’intensité du corps gris comme 

exprimée dans la relation suivante : 

Pour les particules [ ] 

k (s)L T1 ds 

et pour le gaz [ ] 

- b L ν 

νl bν 

(1.5) 

k (s)L Tg ds 

νg bν 

(1.6) 

est l’intensité du corps noir, qui dépend de la température du milieu et de son indice de 

réfraction et son expression. Elle est donnée par la loi de planck. 

−1 

2 3 hν 

2n ν ⎛ ⎞ 

kT 

Lbν[ T ] = e 1 

2 ⎜ − ⎟ (1.7) 

c ⎝ ⎠ 

FHC Page25


- ν est la fréquence, son unité est le s -1 

- h est la constante de Planck = 6. 

626 

± 

0. 

001× 

10 

8 

- c est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide = 2 . 99776× 

0. 

0004× 

10 m/s 

- n est l’indice de réfraction 

−23 

- k est la constante de Boltzmann = 1. 

3805 ± 0. 

0001× 

10 j/k 

- T est la température de l’élément traversé en k. 

−34 

• Accroissement par diffusion due aux particules 

Comme il a été mentionné antérieurement la diffusion correspond à un changement de la 

trajectoire d’un photon sous l’action d’un choc avec une particule comme illustrée dans la 

Figure (1.3). Ce changement peut s’accompagnent ou non d’un échange d’énergie comme 

dans l’effet compton. 

j. s 

Fig. 2..3 Schématisation de la diffusion 

Le rayonnement L ( s, 

) est également renforcé par diffusion du rayonnement en 

Ω 

ν 

provenance de toutes les directions Ω ′ . Le gain correspond à la quantité : 

1 

4 

(s)L (s, ′ )dsP ( , ′ )d ′ 

σνl ν Ω νl 

Ω Ω 

π Ω= ′ 4π 

∫ Ω 

oŭ P ( ΩΩ , ′ ) est la fonction de phase. Concrètement, 

ν 

l l ( ) 

(1.8) 

1 

P ν Ω, Ω′ dΩ′ 

représente la 

4π 

probabilité pour qu’un photon provenant dans la direction ′ 

Ω soit dévié dans la direction Ω . 

FHC Page26


2.4 Equation de transfert radiatif dans un milieu semitransparent 

On considère un milieu gazeux chargé en particules (gouttelettes), dit semi-transparent 

(MST), pouvant absorber, diffuser et émettre le rayonnement thermique. La description des 

transferts par rayonnement est formulée par l’équation de transfert radiatif (ETR). Cette 

équation traduit la variation de la luminance spectrale L ν (x, μ ) dirigée dans un angle 

solide dΩ , et selon une direction arbitraire s r , sa formulation est la suivante N. Berour, D. 

Lacroix, al [34] : 

() 1 ( 2) 

∂L(x, ν μ, Φ) 

μ =− ⎡Kνl + Kνg +σ ⎤ ν L ν(x, 

μ, Φ) 

∂x 

⎣ ⎦ 

(2) 

+ K L T + K L T + L (x, μ′ , Φ′ )P ( μ, Φ, μ′ , Φ′ )dμ′ d Φ. 

2π1 σν 

l b [ l] ⎡ ⎤ 

ν ν νg bν g ν νl 

4 Φ= ′ 0μ=− ′ 1 

⎣ ⎦ π ∫ ∫ ′ 

( 3 ) 

( 4 ) 

Le premier terme (1) est le terme de transport d’énergie. Le second terme (2) représente 

l’ensemble du rayonnement perdu par absorption et diffusion durant le parcours ds . Le terme 

(3) traduit le rapport d’énergie dû à l’émission de rayonnement dans la direction s . 

r 

Lbν est la 

luminance du rayonnement d’équilibre à la température locale du milieu. Enfin le dernier 

terme (4) représente l’énergie provenant de tout l’espace et rediffusée dans la direction s . 

r 

FHC Page27


La figure 2.4 ci- dessous illustre les différentes contributions au cours de la propagation du 

rayonnement. 

L(s + ds) 

Renforcement par dispersion Atténuation par absorption 

Renforcement par émission Atténuation par dispersion 

L (s) 

Fig. 2.4 Les différentes contributions au cours du rayonnement dans un MST 

2.5 Méthodes de résolution de l'équation de transfert radiatif 

L'équation qui régit le transfert radiatif (E.T.R) est dans le cas le plus général une équation 

intégro-différentielle de la luminance, elle-même fonction de cinq variables indépendantes : 

trois coordonnées de position, et deux coordonnées angulaires pour la direction de 

propagation A.Benzarhouda [4]. 

Actuellement il n’existe aucune méthode universelle. Nous présentons ici les méthodes de 

résolution de l’E.T.R faisant appel à différentes techniques. 

2.5.1 Solutions exactes 

De par la nature de l'E.T.R, sa résolution analytique est complexe dans la plupart des cas et la 

solution exacte ne peut être obtenue que dans des configurations extrêmement simples, à 

savoir pour des milieux gris à propriétés radiatives uniformes et soumis à des conditions aux 

limites homogènes. La configuration la plus simple que l'on peut citer est celle du "mur semitransparent". 

Dans ce problème, on considère le transfert radiatif dans une couche plane 

monodimensionnelle d'un milieu gris qui est soit à l'équilibre radiatif (aucun autre mode de 

transfert n'intervient), soit soumis à un champ de température connu et imposé. Ces solutions 

FHC Page28


analytiques ont fait l'objet de beaucoup d'attention mais n’offrent pas un intérêt pratique. 

Néanmoins leurs simplicités les placent comme des méthodes de référence pour tester la 

précision de méthodes approximatives A.Delmas [3]. 

2.5.2 Méthodes multiflux 

Ce type de méthodes a été proposé pour la première fois par Schuster et Schwarzchild au 

début du siècle sous sa forme la plus simple : la méthode à deux flux. Elle consiste à diviser 

l'espace en deux hémisphères, à l'intérieur de chacun d'eux la luminance est supposée 

constante. On introduit ainsi deux luminances Lγ + et L - γ correspondant respectivement aux 

hémisphères "avant" et "arrière". L'E.T.R se ramène alors à un système de deux équations 

différentielles ordinaires de ces luminances qui sont couplées lorsque le milieu 

semitransparent est diffusant A.Delmas [3]. 

Cette méthode a été l'une des plus utilisées en transfert radiatif monodimensionnel, pour être 

ensuite étendue aux géométries multidimensionnelles par les méthodes à quatre et six flux. La 

précision de ces méthodes dépend en général de la discrétisation angulaire choisie. Cependant 

l'extension de ces méthodes aux géométries cylindriques et sphériques est délicate, d'une part 

à cause des dérivées partielles angulaires qui interviennent dans l'E.T.R pour ces géométries, 

d'autre part à cause de la discontinuité de la luminance dans l'espace angulaire. 

2.5.3 Méthode des harmoniques sphériques 

L’idée de la méthode des harmoniques sphériques est de décomposer la luminance sur 

une base de fonctions orthogonales (développement en série de Fourier généralisée) en 

posant : 

∞ 

∑ 

l 

i= 

0 m= 

−l 

m m 

L ( x, 

Ω) = ∑ Ll 

( x) 

Yl 

( Ω) 

(2.1) 

m 

où Y sont les harmoniques sphériques définies par : 

l 

Y 

m 

l 

( Ω) 

= ( −1) 

( m+ 

m 

) / 2 

⎡( 

l − m ) ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢⎣ 

( l + m ) ⎥⎦ 

1 / 2 

imϕ 

m 

e Pl 

(cosϕ) 

(2.2) 

FHC Page29


où ψ et φ sont les angles polaires (zénith et azimut) caractérisant Ω dans le repère local 

attaché au point courant et 

m 

l 

P les polynômes de Legendre associés M.Lallemand [26]. 

Cette décomposition a l’avantage de remplacer l’inconnue L(x, Ω) par les coefficients 

qui, eux, ne dépendent pas de la direction. 

L (x) 

m 

l 

Cette méthode n’est en pratique utilisée qu’avec une troncature à l’ordre 1 (au-delà, les 

calculs deviennent très lourds pour un gain faible en précision) 

Cela donne la méthode P1 qui revient à approcher la luminance par 

1 

L( x, 

Ω ) ≈ [ G( 

x) 

+ 3Ωq( 

x) 

] 

4π 

et le flux radiatif par : 

q R 

1 → 

= − ∇G 

3κ 

(2.3) 

(2.4) 

Les avantages de la méthode P1 sont: la simplicité de sa formulation, le fait qu’il n’y ait 

qu’une seule équation à résoudre, sa facile intégration dans des codes de transferts couplés et, 

enfin sa rapidité de calcul. De plus, elle permet de traiter des cas de diffusion non isotrope et 

peut prendre en compte des conditions de parois non grises. Par contre, son principal 

inconvénient vient du traitement approximatif de la luminance et des flux issus des parois. En 

général, elle ne donne de bons résultats que dans des milieux très opaques. 

2.5.4 Méthode des ordonnées discrètes 

Cette méthode a été proposée pour la première fois par Chandrasekhar pour des 

problèmes de transfert radiatif monodimensionnel en astrophysique. Carlson et Lathrop cas 

multidimensionnels en géométrie cartésienne, cylindrique et sphérique D.Lemonnier [9], 

M.F.Modest [30]. 

La résolution de l'E.T.R avec les conditions aux limites qui lui sont associées, se fait suivant 

deux étapes: 

FHC Page30


1- Tout d’abord une discrétisation angulaire pour laquelle on choisit un certain nombre de 

directions, chacune étant associée à une pondération (homogène à un angle solide) donnée. Le 

terme intégral dans l’E.T.R et éventuellement dans les conditions aux limites, est alors 

remplacé par une somme de quadratures des luminances selon les directions choisies. Les 

équations discrètes sont obtenues à partir de l'E.T.R écrite pour chaque direction. Cette 

procédure permet de transformer l'équation intégro–différentielle en un système d'équations 

aux dérivées partielles (E.D.P). 

2- Ensuite, une discrétisation spatiale est mise en place pour résoudre le système d'équations 

ainsi obtenu. 

• Principe de la méthode 

La recherche de l'intensité en chaque point de l'espace permet de résoudre l'ETR en traitant sa 

dépendance vis-à-vis des directions angulaires du rayonnement, de la position du point 

considéré et des évolutions spectrales. Afin de simplifier cette résolution, Chandrasekhar a 

proposé de traiter la dépendance directionnelle en utilisant une discrétisation angulaire: le 

r 

rayonnement ne s'effectuant plus que sur un nombre M donné de directions Ω ( μ , η , ξ ) . 

m m m m 

L'intensité en un point donné est obtenue en résolvant tout d'abord les équations de transfert 

radiatif propre aux M directions, qui permettent d'obtenir les intensités directionnelles I (s) , 

puis en sommant ces intensités directionnelles préalablement multiples par un cœfficient de 

pondération wm 

D.Lemonnier [9], 

M 

∑ 

I(s) = w I (s) 

(2.5) 

m= 1 

m m 

Ces directions et les poids qui leurs sont affectés sont définis par des quadratures angulaires. 

• Choix des directions et de leur facteur de pondération 

Diverses quadratures angulaires sont disponibles dans la littérature. La famille la plus 

utilisée est la quadrature SN (Carlson et Lakhrope 1968). Cependant différentes études sont 

aussi réalisées à l'aide de la quadrature TN due à Thurgood (1992). Ces deux familles vérifient 

FHC Page31 

m


les mêmes critères de symétrie afin de ne privilégier aucun sens de propagation, mais se 

différencient lors du choix des directions et des cœfficients de pondération qui leur sont 

associés. 

• Les lois de symétries 

Des critères fondamentaux de symétrie ont été initialement introduits pour ces quadratures 

d'une part, afin d'assurer une symétrie par rapport aux plans de coordonnées, si la quadrature 

r 

r 

contient la direction Ωμηξ ( , , ) , alors elle contient aussi les directions Ω−μηξ ( , , ) , 

r r r r r 

r 

Ω( μ, −η, ξ), Ω( μ, η, −ξ), Ω( −μ, −η, ξ), Ω( −μ, η, −ξ), Ω( μ, −η, −ξ) 

et Ω−μ−η−ξ ( , , ), et 

elles ont toutes le même facteur de pondération, d'autre part, afin d'assurer une invariance par 

r 

rotation de 90° autour des axes de symétries, si la quadrature contient la direction Ωμηξ ( , , ) , 

r r r r 

alors elle contient aussi les directions Ω( ηξμ , , ), Ωξμη ( , , ), Ωημξ ( , , ), Ωξημ ( , , ). Les 

facteurs de pondérations doivent là aussi être les mêmes. Ces deux invariances sont tout à fait 

dans le cas de paraître mois nécessaires dans le cas de géométries complexes. 

• Le choix des directions et de leur poids 

La quadrature Sn se base sur une série de relations analytiques afin de définir ses 

directions et les poids. Cette quadrature est tous d'abord caractérisée par son ordre N (pair), 

qui correspond à un nombre M total de directions N(N+2). Il n'est en fait nécessaire de 

caractériser ces directions que sur un seul octant, les autres pouvant être obtenues en utilisant 

les relations de symétrie. Deux relations sont introduites pour le calcul des poids et des 

directions: 

- l'équation de conservation de l'intensité de corps noir (moment d'ordre 0) 

M 

∑ ∫ 

w = dΩ= 

4π 

m 

m= 1 4π 

- l'équation de conservation du flux (moment d'ordre 1) 

M 

∑μ w = ∫ μdΩ = 0 

m m 

m= 1 4π 

FHC Page32


Pour des ordres supérieurs ou égaux à 6, des degrés de liberté apparaissent pour le choix des 

directions et des poids, et il convient d'introduire de nouvelles relations telles que celle de 

Truelove: 

M 

∑ ∫ p 

μ w = μdΩ 

m m 

mtq 2πtqμ 0 

Cette relation illustre le fait que du flux incident aux niveaux des parois est effectué sur une 

moitié du domaine spatial (définie par le sens de propagation). Les valeurs des directions et 

des poids des quadratures S2, S4, S6, et S8 sont explicités aux références D.Lemonnier [9], 

M.F.Modest [30]. 

Toutefois, deux problèmes sont inhérents à cette famille de discrétisation. Le premier provient 

de l'apparition de poids négatifs pour un ordre N supérieur ou égale à 12 et le deuxième du 

non uniformité de la distribution des directions dans le domaine angulaire, ce qui favorise les 

effets de rayons. 

La quadrature TN fut développée par Thurgood (1992), afin d'essayer de pallier aux deux 

problèmes décrits ci-dessus. Au lieu de recourir à des équations de conservation pour définir 

les directions dans le premier octant, cette méthode s'appuie sur le concept géométrique. Elle 

consiste tout d'abord à mailler le triangle équilatéral défini par les sommets (1, 0,0), (0, 1,0) et 

(0, 0,1) en N 2 (pour une quadrature d'ordre N) triangles équilatéraux égaux (Fig.2.2), puis de 

tracer N 2 droites passant par l'origine du repère et chacun des centres des triangles; ces droites 

définissent les N 2 directions du premier octant. Le poids de chacune des directions est 

représenté par les aires correspondant à l'intersection de la sphère unité avec la pyramide 

ayant pour sommet l'origine et passant par le triangle associé à la direction considérée. Les 

directions définies en utilisant les relations de symétrie explicites. Le nombre total de 

directions correspondant à une quadrature TN est 8N 2 

FHC Page33


Fig.2.5 Discrétisation T3 sur le premier Octant 

Fig. 2.6 Les directions de quadrature S3 [9] 

FHC Page34


Fig.2.7 Les directions de quadrature S6 [9] 

Cette méthode très utilisée, présente quelques défauts relatifs aux choix des quadratures et 

aux domaines d'intégration : 

- La fausse diffusion (false scattering) : phénomène dû à l'erreur du schéma de dérivation 

spatiale et apparaissant plus particulièrement quand les directions sont obliques par rapport à 

l'orientation des lignes de maillage. 

- L’effet de rayon (ray effet) : est lié à la discrétisation angulaire insuffisante se manifestant 

par des discontinuités irréalistes dans la distribution des luminances et des flux de chaleur 

pouvant conduire à des solutions physiques erronées inattendues. 

2.5.5 Méthode des transferts discrets 

La méthode des transferts discrets se distingue des méthodes précédentes (flux) par le fait 

qu’elle se base sur une formulation intégrale de l’équation de transfert radiatif V.Feldheim 

[40]. 

FHC Page35


Développée à l’origine pour des géométries cylindriques et cartésiennes, elle permet d’obtenir 

des résultats précis dans ces configurations. Puisque la méthode est basée sur la technique du 

lancer de rayons, elle est indépendante du système de coordonnées utilisé et est donc 

applicable à des maillages non orthogonaux utilisés pour modéliser des géométries 

complexes. C’est d’ailleurs dans le cadre de géométries complexes qu’elle a été développée 

(modélisation du rayonnement dans les chambres de combustion, chaudières,…..). Elle offre 

de nombreux avantages, notamment un traitement visuel du rayonnement, peu de 

développements mathématiques lourds, une bonne précision et surtout une excellente 

adaptation aux maillages non structurés. Elle reste toutefois liée à l’effet de rayon et demande 

un temps de calcul assez élevé. 

2.5.6 Méthode de Monte–Carlo 

Elle a été largement utilisée dans les années 70, car elle fournit des solutions pouvant 

atteindre le même niveau de précision que les méthodes exactes. Un de ses autres atouts 

majeurs réside dans son adaptation aisée aux cas de géométries complexes et aux milieux non 

gris. Dans sa forme la plus simple, la méthode de Monte-Carlo consiste en une simulation 

directe de la phénoménologie liée au transfert radiatif au moyen d'échantillonnage statistique. 

L'énergie radiative émise par le milieu lui-même ou bien par les frontières qui l'entourent est 

quantifiée en un nombre important de "paquets de photons" que l'on nomme par commodité 

quanta; ces derniers transportent chacun la même quantité d'énergie. Le principe de la 

méthode consiste alors à suivre dans son parcours chaque quantum depuis l'endroit où il est 

émis jusqu'au lieu de son absorption, soit au sein du milieu, soit au niveau d'une surface ou 

encore jusqu'à l'endroit où il sort du système considéré D.Lemonnier[9]. Les résultats fournis 

par la méthode de Monte – Carlo sont très précis à condition de générer correctement les 

nombres aléatoires et d'en prendre un nombre très important, la grande précision de cette 

méthode conduit à la considérer comme une référence. Cependant un de ces inconvénients 

majeurs est qu'elle est très longue en temps de calcul. 

FHC Page36


2.5.7 Méthode de collocation orthogonale par SPLINE 

Cette méthode (« spline orthogonal collocation method » réalise l’approximation de la 

fonction inconnue (par exemple le profil de température) par une série de produits de 

coefficients d’expansion inconnus et de (spline) connus par paires A.Delmas [3]. On 

substitue ensuite la fonction approchée dans l’équation intégro-différentielle du rayonnement. 

L’équation obtenue doit être satisfaite en certains points (points de Gauss), en nombre 

suffisant pour fournir autant d’équations que de coefficients inconnus. L’utilisation de 

morceaux de « spline » comme fonctions d’approximation va garantir que la matrice des 

équations de transfert à résoudre sera tridiagonale. Cela permet de l’inverser rapidement et 

n’exige qu’un espace de stockage réduit lors des calculs. On remarque que cette méthode 

n’exige pas la discrétisation angulaire en plus de la discrétisation spatiale. 

La méthode de collocation orthogonale par (spline) est une technique attrayante qui permet 

d’obtenir une solution très précise sans consommer trop de ressources informatiques. On à 

démontré sa supériorité par rapport à la méthode des éléments finis en termes de temps calcul 

et de précision. Elle a été appliquée avec succès à des problèmes de couplage conductionrayonnement, 

convection –rayonnement avec diffusion et des changements de phases des 

milieux semi-transparents. 

2.5.8 Méthode des volumes finis 

Partant du fait qu’actuellement les moyens informatiques disponibles permettent la 

résolution de la plupart des transferts (quantité de mouvement, continuité et convection) sur 

des géométries quelconques grâce notamment à l’utilisation des méthodes aux volumes finis. 

Raithby et Chui, 1989 ont utilisé le même maillage et la même démarche pour la résolution 

des transferts radiatifs V.Feldheim [40]. La méthode des volumes finis est une méthode dans 

laquelle on exprime que le flux d’énergie radiative entrant et sortant au travers des faces d’un 

volume de contrôle sont compensés (en équilibre) par l’atténuation et l’augmentation 

d’énergie est dans ce même volume et pour un angle de propagation donné. 

FHC Page37


L’angle solide total est discrétisée en un nombre fini d’angles solides (angles de contrôle) 

d’une manière qui dépend du problème traité. Cette méthode permet d’utiliser le même 

maillage que celui requis pour la résolution des transferts convectifs. La méthode des volumes 

finis est conservative : La conservation globale de l’énergie est assurée pour chaque 

composante discrète de l’intensité de rayonnement, ainsi que pour le flux radiatif. 

2.6 Modèle de diffusion et d’absorption par les gouttelettes 

L’atténuation du rayonnement par une gouttelette d’eau s’explique par deux 

mécanismes : l’absorption et/ou la diffusion. L’absorption du rayonnement électromagnétique 

incident est due à une conversion, au niveau de la molécule d’eau, de l’énergie des photons 

incidents, en énergie interne (ce qui pourra se traduire, notamment, par une élévation de la 

température de la goutte). La diffusion n’intervient que dans des milieux hétérogènes 

Exemples : particules de suies en suspension dans des gaz de combustion, milieu formé de 

gouttelettes d’eau et d’air humide, elle correspond à une redistribution spatiale du 

rayonnement. La figure 2.8 présente les trois mécanismes caractérisant la diffusion du 

rayonnement par des gouttelettes d’eau sphériques entourées par l’air humide : la réflexion, la 

réfraction et la diffraction. 

Fig. 2.8 Phénomène de diffusion et d’absorption du rayonnement au sein d’une goutte. 

La réflexion de l’onde à la surface de la particule d’eau et sa réfraction, l’onde pénètre à 

l’intérieur de la goutte et après absorption partielle, émerge en se propageant suivant une autre 

FHC Page38


direction résultent toutes deux de la différence entre les indices de réfraction de la goutte et 

celui de l'air humide qui l’entoure. Les directions des rayons réfléchis et réfractés peuvent être 

obtenues à partir des lois de Descartes-Snell, ou des équations de Maxwell. 

La diffraction et le phénomène d’éparpillement du rayonnement, la direction de propagation 

du rayonnement passant au voisinage de la gouttelette se trouve ainsi modifiée (fig. 2.9). 

Les propriétés optiques d’absorption et de diffusion d’une gouttelette de rayon a et d’indice 

de réfraction m, qui interagissent avec une onde électromagnétique de longueur d’onde λ 

sont gouvernées par trois grandeurs adimensionnelles. 

Indice de réfraction 

Longueur d’onde (μm) 

Fig. 2.9 Les indices d’absorption et réfraction à 25 0 C (Hale &Querry [1973]) 

L’indice complexe de réfraction : 

Le Paramètre de taille : x = 2πa/ λ 

m = n − ik avec i 2 = - 1 

Le rapport entre l’espacement c des gouttes et la longueur d’onde : c/ λ 

FHC Page39 

Indice d’absorption


2.7 L’absorption et la diffusion par une goutte de forme sphérique 

Pour pouvoir déterminer les propriétés optiques des gouttelettes ont doit déterminer les 

facteurs d’efficacité de diffusion, d’absorption et d’extinction, ainsi que la fonction de phase 

pour les gouttelettes d’eau. La quantité d’énergie radiative absorbée et diffusée est évaluée en 

termes de section efficace d’absorption et de diffusion ( “cross section “ , notés Cdiff et Cabs). 

La section efficace d’extinction est donnée par 

Cext = Cabs + Cdiff (2.6) 

Les facteurs d’efficacité (adimensionnels) d’absorption (Qabs), de diffusion (Qdiff) et 

d’extinction (Qext) s’obtiennent en divisant la section efficace par la section droite de la 

goutte. 

2 

Qabs = Cabs / π a 

(2.7) 

2 

Qdiff = Cdiff / π a 

(2.8) 

2 

Qext = Cext / π a 

(2.9) 

Avec Qext = Qabs + Qdiff (2.10) 

En fonction du paramètre de taille x et de l’indice de réfraction m de la particule, on peut 

définir différentes régions, pour le calcul des facteurs d’efficacité et éventuellement d’autres 

propriétés telles que la fonction de phase M.Q. Brewster [25]. 

• x 1 et χ m −1 

≈ 1 Approximation de Rayleigh 

• x 1 et χ m −1 

1 Optique géométrique et théorie de la diffraction 

• x 1 et χ m −1 

1 Diffraction anormale 

• x et m arbitraires Théorie de Mie 

FHC Page40


on remarque qu’il existe plusieurs cas de calcul suivant la valeur du paramètre de taille x. 

Pour m=1, il n’y a pas de diffusion du fait de l’égalité entre l’indice de la particule et celui du 

milieu environnant. 

2.7.1 Diffusion de Rayleigh 

C’est le cas oŭ si les particules ont un diamètre très petit devant la longueur d’onde émise. 

Rayleigh a étudié l’interaction du rayonnement solaire avec l’air atmosphérique, il a conclu 

4 

que pour de très fines particules la diffusion est proportionnelle à 1/ λ . 

Ce qui serait à l’origine de la couleur bleue du ciel, la lumière bleue (courte longueur d’onde) 

est mieux diffusée que le rouge. Dans l’approximation de Rayleigh, les facteurs d’absorption 

et de diffusion ont les expressions suivantes M.Q. Brewster [25] : 

F m 

Qabs = xF1 ( m ) 

(2.11) 

Qdiff = 

24nk 

= 

( n − k + 2) + 4n 

k 

avec 1( ) 2 2 2 2 2 

où : 

4 

x F2 ( m ) 

(2.12) 

, 

( ) 

2 

2 2 2 2 2 2 2 2 

8 

⎡( n −k−1) n − k + 2 + 4nk ⎤ + 36nk 

F2( m) 

= 

⎣ ⎦ 

2 

2 

3 ⎡ 2 2 2 2 

( n − k + 2) + 4n 

k ⎤ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

n et k sont respectivement la partie réel et imaginaire de l’indice complexe relatif de 

réfraction de la particule d’eau m = n – i k. 

La fonction de phase est donnée par : 

P() 

3 

( 1 

4 

cos 

Où θ est l’angle entre la direction d’incidence et de diffusion (fig. 2.3) 

2 

νl θ = + θ). (2.13) 

FHC Page41


2.7.2 Optique géométrique 

Elle est basée sur le concept de rayon, pour décrire l’interaction entre rayonnement et goutte. 

Elle suppose que le diamètre de la particule est suffisamment grand par rapport à la longueur 

d’onde du rayonnement incident. 

Rayon incident 

Rayon réfléchis 

β 

Rayon réfracté 

Figure 2.10 Optique géométrique et composantes du rayon diffusé 

Les rayons subissent des réflexions et réfractions successives dans la direction. On peut les 

obtenir en appliquant les lois de Descartes-snell. 

Les différents facteurs d’absorption et de diffusion ainsi que d’extinction sont donnés par 

M.Q. Brewster [25]. 

Qext = 2 (2.14) 

Qabs = 1- ρ − τ 

(2.15) 

Qdiff = 1+ ρ + τ 

(2.16) 

ρ et τ sont respectivement les fractions d’énergie radiative incidente réfléchie et transmise à 

la surface de la goutte. L’avantage de cette méthode réside dans la simplicité des expressions 

employées. 

FHC Page42


2.7.3 Propriétés optiques des gouttelettes d'eau 

Nous ne présenterons dans cette partie que les équations nécessaires à la 

compréhension des solutions de Mie, et utiles de point de vue programmation; pour plus de 

détails on pourra se référer à la bibliographie (Bohman et Huffman, Brewster, M.N.Osizik 

[28]).La théorie de Mie est basée sur les équations de Maxwell prédisant la propagation d'une 

onde électromagnétique dans un milieu diélectrique ou conducteur. Les équations de Maxwell 

pour un milieu isotrope et homogène sous la forme différentielle se résument aux quatre 

équations appliquées pour les champs magnétiques (H) et électrique (E) suivantes : 

∂E 

rotH =∇× H = ε + σ E 

∂t 

∂H 

rotE =∇× H =−μ 

∂t 

divH =∇⋅ H = 0, 

divE =∇⋅ E = 0, 

, 

(2.17) 

ε , μ et σ sont respectivement la permittivité électrique, la perméabilité magnétique et la 

conductivité électrique. 

La théorie de Mie, basée sur les équations de Maxwell, décrit la diffusion d'une onde 

électromagnétique plane, par une particule sphérique homogène. 

D'un point de vue pratique, l'étape initiale pour l'obtention des solutions de Mie, est le calcul 

des cœfficients de Mie et données par (Bohman et Huffman); 

b 

a 

b 

n 

n 

= 

= 

an n 

[ Dn( mx % )/ m% + n/ x] Re[ ξn−1( x) ] −Re[ 

ξn−1( 

x) 

] 

[ mD % n( mx % ) + n / x] ξn( x) −ξn−1( 

x) 

[ mD % n( mx % ) + n/ x] Re[ ξn−1( x) ] −Re[ 

ξn−1( 

x) 

] 

[ mD % ( mx % ) + n / x] ξ ( x) −ξ 

( x) 

n n n−1 

(2.18) et (2.19) 

FHC Page43


R [-] désigne la partie réelle du nombre complexe et m% est le rapport entre l'indice de 

e 

réfraction de la goutte et celui du milieu environnant ( ( m% = m% / m% 

) . 

p e 

La dérivée logarithmique D n et la fonction Riccati-Besselξ n , apparaissant dans les équations 

(2.19) et (2.20) peuvent être calculées par récurrence directe (utilisé dans leur algorithme) 

ascendant pour D : 

n 

( ) 

ξ n(x) = ⎡⎣ 2n −1 / x ⎤⎦ξn−1(x) 

−ξn−2 

(x), 

(avec ξ n−1 = cos x −isinxet ξ 0 (x) = sinx + icosx ). 

Ou par récurrence inverse : 

[ ] 1 − 

D n 1(mx) % − = n /(mx) % − n /(mx) % + D n 1(mx) 

% − , 

La valeur initiale, qui correspond à la valeur la plus grande de n est donnée par : 

D nmax= 

0+ 

0i, 

1/3 

avec nmax = Max( mx % , x + 4x + 2) + 15 . 

Désigne le module du nombre complexe considéré. 

(2.20) 

Les facteurs d’efficacité d’extinction et de diffusion sont alors déduits des coefficients de MIE 

a n etb n , par les relations suivantes : 

Ntermes 2 

Q ext (x,m) % = 2 ∑ (2n + 1)R e(a n + b n ), 

(2.21) 

x n= 1 

Ntermes 2 

Q diff (x, m) % = 2 ∑ (2n + 1)( a n + b n ), 

(2.22) 

x n= 1 

Q (x,m) % = Q (x,m) % −Q 

(x,m). % 

abs ext duff 

(2.23) 

FHC Page44


Le nombre de N termes nécessaire pour une bonne convergence des séries ci-dessus, est 

donné par la relation suivante : 

2.8 Fonction de phase 

Ntermes=x+4x 1/3 +2 (2.24) 

La fonction de phase d’une gouttelette d’eau est la description mathématique de la 

quantité relative d’énergie radiative diffusée en fonction de l’angle dans les différents 

directions (Fig.1) 

1 

La quantité P ν L( 

ΩΩ ′ . )dΩ′ 

représente la probabilité pour qu’un faisceau incident suivant la 

4π 

direction Ω′ , soit diffusé dans l’angle solide élémentaire d Ω centré autour de la direction Ω . 

Fig. 2.11 Diffusion isotrope [25] 

La propriété importante de la fonction de phase, intervenant dans l’ETR (équation (2.16)) est 

celle de sa normalisation. 

1 

4π 

∫ 

Pν l 

Ω′ = 4π 

( Ω, 

Ω′ ) dΩ′ 

= 1. 

Pour les gouttelettes d’eau, la fonction de phase vérifie les propriétés de symétrie suivantes : 

(2.25) 

FHC Page45


P( ΩΩ , ′ ) = P( Ω′ , Ω ), 

(2.26) 

νl νl 

Pν l ( Ω, Ω′ ) = Pν 

l ( −Ω, 

Ω′ ) 

(2.27) 

Fig.2.12 Fonction de phase de MIE en fonction de longueur d’onde [34] 

2.8.1 Fonction de phase de MIE 

La fonction de phase de MIE, d’une gouttelette d’eau unique, est donnée par l’expression 

suivante (Brewster [4]) : 

2 

2( 

S1 

( θ ) 

Pν l ( r, 

θ ) 

2 

+ S 2 ( θ ) ) 

= (2.28) 

X Q 

Ntermes 

∑ 

n= 

1 

( 2n 

+ 1) 

[ 

diff 

2 

S1 

( θ ) = 

anπ 

n ( μ) 

+ bnτ 

n ( μ) 

] , 

(2.29) 

n( 

n + 1) 

Ntermes 

∑ 

n= 

1 

( 2n 

+ 1) 

[ 

S 2 ( θ ) = 

bnπ 

n ( μ) 

+ anτ 

n ( μ) 

] , 

(2.30) 

n( 

n + 1) 

μ = cos( θ ), θ étant l’angle entre les directions de diffusion (fig. 2.3). 

Les cœfficients π e t τ sont donnés par les relations de récurrence suivantes : 

2n 

−1 

n 

n ) = μπ n−1 

( μ) 

− μπ n ( μ), 

(2.31) 

n −1 

n −1 

π n ( −2 

2 

[ π ( μ) 

− π ( μ) 

] − ( 2 −1)( 

1− 

μ ) π ( μ) 

+ π ( μ), 

n ( μ) 

= μ n 

n 2 n n 1 

n 2 

(2.32) 

τ − 

− 

− 

FHC Page46


Avec π μ) 

= 0; 

π ( μ) 

= 0. 

et τ ( μ) 

= μ 

0 ( 1 

2.8.2 Fonctions de phase approchées 

1 

La fonction de phase de MIE, donnée par l’équation (2.28) est très lourde à utiliser dans un 

code de calcul, pour deux raisons principales : 

- Tous les paramètres intervenant dans l’Equation (2.28), et en particulier les fonctions 

d’amplitude S1 et S2, doivent être recalculés pour chaque angle θ , ce qui requiert un temps 

de calcul très important. 

- De plus, pour les valeurs élevées du paramètre de taille X (notamment pour de grosses 

particules), le temps de calcul nécessaire pour déterminer les cœfficients an et bn 

(utilisés dans l’équation (2.29)) devient important du fait du nombre élevé de termes de la 

série (Ntermes=x+4x 1/3 +2). 

Les fonctions de phases approchées sont basées sur des expressions simplifiées, décrivant la 

variation angulaire du rayonnement diffusé. 

Parmi elles, on peut citer le développement en polynômes de Legendre, l’approximation 

Dirac-delta, les fonctions de phase de Kagiwada-Kalaba (J.E.Hansen [13] et de Henyey- 

Greenstein [10]. Nous présentons ci-dessous, ces fonctions de phase. 

2.8.3 Expansion de la fonction de phase en polynômes de Legendre 

En vue de simplifier le calcul de la fonction de phase pour chaque angle de diffusion, 

Chu &Churchill, M.N.Ozisik [28]) a exprimé la fonction de phase sous forme de série de 

polynômes de Legendre : 

∞ 

P (cos θ ) = ∑ A P (cos θ), 

(2.33) 

νl 

n n 

n= 1 

P(cos n θ ) étant le polynôme de Legendre n et d’argument cosθ. Les cœfficients An sont liés à 

ceux de Mie ( et b ), par des relations non présentées ici, du fait de leur complexité. 

an n 

L’intérêt de ce développement en polynômes de Legendre réside dans le fait que, une fois les 

FHC Page47


cœfficients A déterminés, la valeur de la fonction de phase est connue pour tous les angles 

de diffusion θ. 

n 

2.8.4 Approximation Dirac -delta (ou Delta Eddington) 

Cette méthode est adaptée aux cas de particules dont la fonction de phase est très pointue vers 

l’avant. Le principe de l’approximation de Dirac delta W.J.Wiscomb[37],M.F.Modest [21] est 

de réduire les efforts de calcul. En prenant comme hypothèse que la diffusion dans un angle 

très petit vers l’avant, autour de la diffusion d’incidence du rayonnement, peut être traitée 

comme une transmission du rayonnement dans cette même direction. Le pic de diffusion vers 

l’avant est alors remplacé par une fonction delta (Dirac) et séparé du reste de la fonction de 

phase qui est rénormalisée, ce reste est exprimée sous forme de polynômes de Legendre et ne 

contient plus le pic de diffusion avant. Dans l’approximation Dirac delta, la fonction de phase 

est présentée sous la forme générale suivante : 

νl 

νl 

M 

∑ 

n= 0 

* 

n n 

P (cos θ ) = 2f. δ(1−cos θ ) + (1− f )(1 + A P (cos θ)), 

(2.34) 

P(cos θ ) étant le polynôme de Legendre d’ordre n, δ la fonction de Dirac, f la fraction de 

rayonnement diffusée dans la direction avant, et M l’ordre d’approximation (M=0 et M=1 

correspondent respectivement aux approximations isotrope et linéaire anisotrope). 

La principale difficulté de cette méthode est la détermination du paramètre f et des 

* 

n 

cœfficients A , obtenus par des relations de moments de l’équation (2.34) M.F.Modest [21]. 

2.8.5 Fonction de phase de Kagiwada-Kalada 

La fonction de phase de Kagiwada-Kalada traduit le rapport entre la diffusion dans les 

directions avant et arrière. Elle est basée sur un seul paramètre et s’exprime sous la forme 

suivante (Hansen [12]) : 

FHC Page48


Avec b = (α+1)/ (α-1). 

⎡ ⎛b+ 1⎞⎤ 

2⎢ln⎜ ⎟ 

b 1 

⎥ 

⎝ − ⎠ 

P(cos νl 

θ ) = 

⎣ ⎦ 

b −cos θ 

−1 

. (2.35) 

Pour une particule de rayon r, le paramètre α peut s’obtenir par le rapport entre les fonctions 

de phase de Mie (Equation (3.21) dans les directions avant et arrière : 

α = l P(r, ν θ= 0) 

. (2.36) 

P (r, θ=π ) 

νl 

L’intérêt de la fonction de phase de Kagiwada-Kalada repose sur le fait qu’elle ne dépend que 

d’un seul paramètre, qui suffit pour décrire la diffusion dans chaque angle. Toutefois, Hansen 

[12] a montré, dans l’étude des transferts radiatifs dans les couches atmosphériques 

diffusantes, que la fonction de phase de Henyey-Greenstein donnait des résultats plus précis 

que celle de Kagiwada-Kalada. 

2.8.6 Fonction de phase de Henyey-Greenstein 

La simplicité de la fonction de Henyey-Greenstein (Henyey&Geenstein [10]) réside 

dans son expression, qui ne dépend que d’un seul paramètre (le facteur d’asymétrie g ) : 

2 

1−g P(g,cos νl 

θ ) = 2 

(1−g−2gcos θ) 3/2 (2.37) 

Le facteur d’asymétrie g représente la fraction d’énergie radiative incidente diffusée dans la 

direction avant d’incidence: g = 0 Correspond à une diffusion isotrope et g = 1 et g = -1, 

correspondent respectivement à une diffusion totale vers l’avant et vers l’arrière. 

FHC Page49


6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

270 

300 

240 

330 

210 

0 

180 

Fig. 2.13 Fonction de Henyey-Greenstein (g = 0.9) [25] 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

270 

300 

240 

330 

210 

Fig. 2.14 Fonction de Henyey-Greenstein (g = - 0.9)[25] 

0 

180 

FHC Page50 

30 

150 

30 

150 

60 

120 

90 

60 

120 

90


1,6 

1,4 

1,2 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,2 

0,4 

0,6 

0,8 

1,0 

1,2 

1,4 

1,6 

270 

300 

240 

330 

210 

Fig.2.15 Fonction de Henyey-Greenstein (g = 0.15)[25] 

1,6 

1,4 

1,2 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,2 

0,4 

0,6 

0,8 

1,0 

1,2 

1,4 

1,6 

270 

300 

240 

330 

210 

Fig.2.16 Fonction de Henyey-Greenstein (g = - 0.15)[25] 

FHC Page51 

0 

180 

0 

180 

30 

150 

30 

150 

60 

120 

60 

120 

90 

90


Le facteur d’asymétrie g d’une gouttelette d’eau unique peut se calculer à partir des 

cœfficients de Mie par : 

Ntermes 4 ⎡n(n− 2) 2n+ 1 ⎤ 

g (r, m) % = 2 ∑ Re( anan+ 1 bnbn+ 1) Re( anb n) 

, 

x Q 

⎢ + + 

diff n= 1 n+ 1 n(n+ 1) 

⎥ (2.38) 

⎣ ⎦ 

a n+ 1Étant 

le nombre complexe conjugué de a n+ 1. 

De nombreux travaux de la littérature ont prouvé que la fonction de phase de Henyey- 

Greenstein s’adapte à l’étude des particules diffusantes telles que les gouttelettes d’eau 

(J.E.Hansen [13]). Elle décrit par ailleurs assez bien le pic de diffusion vers l’avant, observé 

pour les particules de grande taille (x élevé). 

2.9 Normalisation de la fonction de phase 

Pour une question de conservation du rayonnement diffusé, la fonction de phase doit 

être normalisée l’équation (2.25). L’intégrale de la fonction de phase, peut être discrétisée à 

partir d’une formule de quadrature, ce qui donne la somme suivante pour chaque direction 

d’incidence j : 

2Nd 1 

WP I HG( μi, μ j) 

= 1; 

i 1 

4 π = 

∑ j=1 ; Nd 

Altimir (1981) a montré que cette somme présente un écart par rapport à l’unité en 

conséquence des discrétisations sur l’angle polaire θ (ou son cosinus μ ) et sur l’angle 

azimutal Φ . La démarche adoptée pour la correction nécessaire à la normalisation est celle 

développée par Barkstrom (1976) et Altemir (1981) pour un problème avec symétrie 

azimutale. Pour un problème sans symétrie azimutale la démarche reste la même, mais avec 

un nombre plus grand de directions : 

Nd 1 

W(1 i +α i +αj)P( Ω, Ω′ 

). 

π i 1 

∑ 

4 = 

FHC Page52


Où α i , α j sont les facteurs correctifs. 


Les différentes techniques de résolution de l’ETR ont été présentées dans ce chapitre. 

Notre choix s’est porté sur la méthode des ordonnées discrètes qui est adaptée, d’un point de 

vue précision et temps de calcul, au type de problème analysé ici. 

Le calcul des propriétés optiques des gouttelettes d’eau peut être réalisé à l’aide de méthodes 

d’approximation (Rayleigh, optique géométrique, diffraction anormale) qui certe présentent 

l’avantage de gain en temps de calcul, mais l’inconvénient est qu’elles sont valables pour des 

tailles et indices de réfraction spécifiques. La théorie de Mie (présentée dans ce chapitre) 

est valable pour des paramètre de taille et d’indices de réfraction quelconques. 

Les fonctions de phases utilisées sont la fonction de phase approximative de delta-Dirac et 

celle d’Henyey-Greenstein car elles décrivent bien le comportement d’un milieu chargé de 

gouttes d’eau. 

FHC Page53

CHAPITRE 3 

MODELE NUMERIQUE 

3. Etude de l'extinction du flux dans le rideau en équilibre radiatif 

Le problème traité concerne la protection des installations industrielles des 

hydrocarbures, notamment les bacs de stockage de GNL contre les incendies. Pour assurer 

cette protection on installe le rideau d’eau entre le foyer de l’incendie et les installations à 

préserver (Fig.3.1). 

Fig. 3.1 Schéma du système étudié 

FHC Page57

Chapitre3 Modèle Numérique 

Le rideau d’eau joue le rôle d’un écran qui atténue le flux de chaleur rayonné par la flamme. 

La figure 3.2 représente le schéma du dispositif à étudier. La modélisation numérique consiste 

à résoudre l'équation de transfert radiatif (ETR) dans une configuration monodimensionnelle, 

représentative de l’épaisseur du rideau 

Absorption Ka 

Paroi Diffusion Kd, P( , ′ 

μ μ ) Paroi 

T0 Te 

0 μ e X 

Fig. 3.2 Problème traité 

Pour cette géométrie, la direction de propagation Ω est définie par ( μ= cos θφ , ), θétant 

l’angle polaire avec la normale, et 

φ l’angle d’azimut. Avec les changements de variable 

d ∂ 

=μ , l’équation de transfert radiatif s’exprime en géométrie monodimensionnelle (1D) 

ds ∂x 

cartésienne, en négligeant dans la notation la dépendance des propriétés optiques avec la 

position x, par : 

∂L(x, ν μ, φ) 

μ =− ⎡Kνl + Kνg +σ ⎤ ν L ν(x, μ, φ ) + KνlLbν[ Tl] + KνgLbν Tg 

∂x 

⎣ ⎦ 

⎡ 

⎣ 

⎤+ ⎦ 

Avec : 

σν 

4π 

2π1 ∫ ∫ 

Φ= ′ 0μ=− ′ 1 

Tl = température de gouttelettes 

Tg = température de gaz 

L (x, μ′ , φ′ )P ( μ, φ, μ′ , φ′ )dμ′ d φ′ 

. 

ν νl 

Lbν = luminance spectrale du corps noir. 

FHC Page58 

(3)


En prenant l’hypothèse que la luminance est indépendante de l’angle φ (symétrie azimutale 

du rayonnement), l’ETR donnée par l’équation (3) se réduit à : 

Où 

∂L(x, ν μ) 

μ =− ⎡Kνl + Kνg +σ ⎤ νl L ν(x, μ ) + KνlLbν[ Tl] + K gL ⎡ b T ⎤ 

ν ν g 

∂x 

⎣ ⎦ ⎣ 

1 

σν 

+ L ν(x, μ′ , Φ′ )P νl( 

μ, μ′ )d μ′ 

. 

2π 

∫ 

⎦ 

(3.1) 

2π 

μ=− ′ 1 

1 

Pν = P ν ( μ, φ, μ′ , φ′ 

) ′ 

π ∫ 

dφ est la fonction de phase moyennée sur les angles φ . 

l l 

2 0 

Nous prenons les deux hypothèses suivantes : 

- Pas d’absorption ni d’émission par le gaz g Kν =0. 

- Le milieu est gris. 

Kνl Kνg = K 

= 

Pν l = P 

a 

Kd grandeurs indépendantes de ν. 

On suppose en plus que le rayonnement qui se propage dans deux directions caractérisées par 

une même valeur de μ est identique. On peut donc écrire l'ETR sous une forme plus 

compacte. 

∂L 

0 

μ + KL = KaL+ KdD ∂x 

(3.2) 

Où : L(x, μ) est la luminance à la position x (x∈ 

[0, e]), dans la direction caractérisée par le 

vecteur unitaire dont la projection sur l'axe des x est le cosinus directeur μμ∈− ( [ 1,1] 

) 

K(x),K (x),K (x) sont les coefficients d'extinction, de diffusion et d'absorption au point x, 

d a 

par définition K = Ka + Kd 

0 

- L (x) est l'émission du corps noir à la température locale T(x) 

1 

1 

L(x, )P x; , d 

2 ∫ 

μ ′ 

(3.3) 

−1 

- D(x, μ ) = μ ( μ μ′ 

) 

FHC Page59


P étant la fonction de phase qui représente la probabilité pour que le rayonnement incident 

en x suivant μ′soit dévié dans la direction μ . Ainsi, par définition, P est normalisée par 

1 

1 

P(x; , ) 1 

2 ∫ μ μ ′ = ( ∀ μ) 

(3.4) 

− 

1 

On peut aussi écrire l'ETR sous la forme 

L 0 

KL K(1 )L K D 

∂ 

μ + = −ω + ω 

∂x 

. (3.5) 

Où ω( x ) représente l'albédo du milieu, défini comme le rapport du coefficient de 

diffusion et du cœfficient d'extinction 

ω ( x ) = 

K(x) d K(x) d = 

K(x) K (x) + K (x) 

a d 

3.1 Discrétisation spatiales et angulaires 

• Maillage en x 

On réalise une partition de l'intervalle [0,e] en I mailles (sous-intervalles) de largeur 

δ x éventuellement variable. 

On note i x le point central de chaque maille et i x 

1 

i ± 

2 

(3.6) 

1 

± les bornes de cette maille de sorte que, 

2 

par définition 

x i = x 

δ x 

+ (3.7) 

2 

x = x + δ x 

(3.8) 

1 1 

i + i − 

2 2 

On pose par convention x 1 = 0, et x 1 = e 

I + 

2 

2 

• Quadrature pour la méthode des ordonnées discrètes 

En géométrie monodimensionnelle, une formule de quadrature numérique est utilisée pour 

approcher l’intégrale sur l’intervalle [-1,1], apparaissant dans l’équation (3.2) 

1 N 

∫ f( μ)dμ≅∑wf( i μ) 

(3.9) 

−1 

j= 1 

FHC Page60


w i et μ i étant respectivement les poids et points des N valeurs discrètes de la quadrature. 

Différents schémas de quadrature peuvent être utilisés. Les plus usuels sont les quadratures de 

Gauss-Legendre, Lobatto, Chebyshev ou de Newton Cotes. La quadrature de Lobatto, 

contrairement à celle de Gauss-Legendre, inclut les bornes d’intégration (-1,1), ce qui peut 

être utile si l’on désire calculer les luminances dans les directions avant et arrière (selon l’axe 

des x). V.P.Nicolau [42] a utilisé une quadrature de Gauss-Legendre modifiée à 24 points, 

pour l’identification des propriétés radiatives des matériaux isolants. 

L’utilisation de la quadrature de Gauss-Legendre (Press et al. [44]) nécessite le choix d’un 

nombre de points supérieur à 20 pour la stabilité des solutions. Par suite, on calculera les 

valeurs de Gx ( ) et qx ( ) et le terme source radiatif par: 

2π1 ∫∫ 

N 

∑ j j j. 

φ= 0 −1 

j= 1 

q(x) = L(x, μμμφ≅ ) d d 2π w L(x, μ) μ 

Le rayonnement incident peut être exprimé comme suit : 

2π1 N 

∫∫ 

j 

(3.10) 

Gx= ( ) L(x, μ)dμdφ≅ 2π w L(x, μ ) 

(3.11) 

φ= 0 −1 

∑ 

j= 1 

Le terme source radiatif (divergence du flux radiatif) spectral fourni par l’équation (3.3) est 

donné par : 

2π1 N 

r ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

div(q) = K ⎢4πLb[ T] − ∫∫L(x, 

μ)dμdφ⎥ ≅K⎢[ 4πL b[T] 

−2π∑wiL(x, μj) 

⎥ 

⎢⎣ φ= 0 −1 

⎥⎦ ⎣ j1 = ⎦ 

j 

(3.12) 

Une autre technique de calcul de la divergence du flux radiatif spectral est d’utiliser un 

( ) 

schéma aux différences finies pour déterminer le terme ( dq x 

) qui est la dérivée de la densité 

dx 

de flux net radiatif spectral par rapport à la variable d’espace x. 

Enfin le terme de renforcement par diffusion est donné par: 

M 1 

D(x, μ m )= ∑ wm′ L(x, μm′ )P( x; μm, μm′ 

) 

(3.13) 

2 

m′= 1 

FHC Page61


• Contraintes portant sur le choix des quadratures 

1. symétrie par rapport à μ =0 

μ M− m+ 1= −μ m 

(3.14) 

wM− m+ 1= wm 

(3.15) 

2. conservation du moment d'ordre0 

1 M 

∫ 

−1 

∑ 

dμ= 2⇒ w = 2 (3.16) 

m= 1 

3. conservation des demi-moments d'ordre1 

m 

1 M/2 

∫ 

0 

1 

1 

μμ=− d ⇒∑ wmμ 

m =− 

(3.17) 

2 2 

m= 1 

1 M 

∫ 

0 

1 

1 

μμ= d ⇒ ∑ wmμ 

m = 

(3.18) 

2 2 

m= M/2+ 1 

Ces conditions sont nécessaires pour une bonne précision de calcul des flux pariétaux. 

En fait, les deux conditions ci-dessus sont équivalentes, du fait de la symétrie par rapport 

à μ = 0 . 

• Quadratures à poids constants 

Les contraintes précédentes imposent que 

wm= w = 2/M 

(3.19) 

M/2 

∑ μ m = −M/4 

(3.20) 

m= 1 

Avec toujours μ = −μ (symétrie par rapport à μ = 0 ). Si les valeurs de μ sont 

M− m+ 1 m 

régulièrement espacées μ m = (m −1/ 2) Δμ avec Δμ = 2 / M , la dernière contrainte revient à 

FHC Page62


Soit 

M/2 

2 

1 M 

∑ (m − ) = − 

(3.21) 

2 8 

m= 1 

M M 

( + 1) 2 

2 2 M M 

− = − . (3.22) 

2 2 8 

Ce qui est vérifié. Cela correspond à la méthode des trapèzes (w= Δ μ ). 

3.2 Equilibre radiatif 

Dans cette étude on considère que la contribution de la phase gazeuse est négligeable et 

que le milieu considéré est un milieu gris. Pour un milieu gris, l’équation de transfert radiatif 

s’écrit 

Ka Kd L(x, ) KaLb Tl Kd 

1 

μ=−1 

L(x, , ′ )P( , ′ )d . 

∂L(x, μ) 

μ =− [ + ] μ + [ ] + μ μ μ μ 

∂x 2 π ′ 

∫ μ ′ 

(3.23) 

En supposant que L(x, ) 

μ et b 

L ne varient pas avec la fréquence, et donc en particulier : 

4 

0 σT(x) 

L(x)= b L(x) 

= 

(3.24) 

π 

En absence de tout autre mode de transfert de chaleur (ni conduction, ni convection) tout ce 

qui a été émis par le milieu à un endroit donné est égal au rayonnement absorbé en ce même 

endroit. 

Cette condition se traduit par (en absence de variation de l’énergie interne) 

dq(x) 

= 0. 

(3.25) 

dx 

Ce qui par intégration de l’ETR sur toutes les directions, donne : 

Soit : 

dq(x) 

0 

= 0. ⇔ G(x)=4 π L 

(3.26) 

dx 

σ 

L(x) = = 

π 4π 

4 

0 T (x) G(x) 

. (3.27) 

FHC Page63


Pour un milieu gris en équilibre radiatif, l’ETR devient : 

∂L 

G 

μ + KL = Ka + K D 

∂x 4π 

3.3 Milieu à diffusion isotrope 

d (3.26) 

Si le rayonnement est diffusé de manière égale dans toutes les directions de l’espace la 

fonction de phase P ( μμ , ′ ) vaut 1 quel que soient μ et μ′, dans ce cas on montre aisément 

que 

G(x, μ) 

D(x, μ )= 

4π 

et l'équation (3.26) va avoir la forme suivante : 

∂L 

G 

μ + KL= K 

(3.38) 

a a 

∂x 4π (3.39) 

Ce qui correspond aussi au cas sans diffusion (Kd = 0). Par conséquent, la solution d’équilibre 

radiatif dans un milieu gris est la même que le milieu diffusant de façon isotrope ou pas. 

3.4 Milieu à diffusion anisotrope 

Si on prend l’hypothèse d’un transfert radiatif qui ne dépend que du cosinus 

directeurμ , et donc la luminance est indépendante de l’angle azimutal φ , l’expression de la 

fonction de phase doit alors être modifiée. 

Par définition, la fonction de phase est normalisée par : 

1 

P( ΩΩ , ′ )dΩ= ′ 4π 

4 π ′ 

∫ , ∀ Ω (3.41) 

Ω= 4π 

Ce qui donne dans le cas où P( μμ , ′ ) = P( μμ′ ) et en introduisant les angles φ et ψ 

π 2π 

∫ ∫ 

ψ= ′ 0φ= ′ 0 

P(a cos( φ′ −φ ) + b)sin ψ′ dψ′ dφ ′ = 4 π, 

∀ ( ψ , φ) 

(3.42) 

Cette relation peut aussi s’écrire 

FHC Page64


⎛ ⎞ 

⎜ Pa ( cos θ + bdu ) ⎟sinψ′ 

dψ′ 

4π 

⎝ ⎠ 

π 2π 

∫ ∫ = (3.43) 

0 0 

en faisant le changement de variable θ = φ′ −φet compte tenu du fait que la fonction de phase 

2π−φ ⎛ 2π 

⎞ 

P est périodique de période 2π et donc ⎜ = ⎟ 

⎜ ∫ ∫ ⎟ 

⎝ −φ 

0 ⎠ 

si on pose μ = cosψ 

et μ′= cosψ 

′ , on remarque que 

et 

2π 

avec la condition 

0 

2 

a = ( )( 

) 

2 

1−μ 1− 

μ′ 

(3.44) 

b = μμ′ (3.45) 

∫ P(a cosθ+ b)dθ= P( μ, μ′ 

) 

(3.46) 

π 

0 −1 

1 

∫P( μμ , ′ )sin ψ′ dψ ′ = ∫ P( μμ , ′ )dμ= ′ 4 π, 

∀ μ 

(3.47) 

• Cas du rideau d'eau 

Dans nos calculs monodimensionnels (cas de mur), dans lesquels on suppose une 

symétrie azimutale de la luminance, c'est-à-dire que L est indépendante de φ , C’est la fonction 

de phase 

P( μ, μ′ ) qu’on doit utiliser et non pas directement la fonction P. En effet le terme de 

diffusion au second membre de l’ETR s’écrit cas général. 

K 

μ = μ μ μ′ Ω μ 

4π π 

∫ 

′ (3.48) 

d 

D(x, ) L(x, )P( , )d ( ) 

K 

= 

4 

4 

π 2π 

d 

π ψ= ′ 0 

L(x, ψ′ )P(a cos( φ′ −φ ) + b)sin ψ′ dψd φ= ′ 0 

∫ ∫ ′ ′ 

P( μ, μ ′ ) 

φ (3.49) 

FHC Page65


1 

Kd = L(x, ψ′ )P( μ, μ′ )dμ 

4π −1 

∫ 

′ (3.50) 

• Application de la fonction de phase Henyey-Greenstein dans la lame 

La fonction de Henyey-Greenstein est de la forme suivante : 

2 

1−g P(g,cos θ ) = 

(1 g 2g cos ) 

2 3 

− − θ /2 

θ angle que font les directions incidentes et diffusée, et cos θ = ′ 

μμ . 

Dans le cas monodimensionnel, il faut calculer l’expression : 

P( μμ , ′ ) = (1−g ) 

2π 

2 dθ 

∫ 2 

3/2 

(1+ g −2ga cos θ) 

0 

(3.51) 

La détermination de cette fonction n’est pas simple. Et le résultat est [51] 

Avec 

avec : 

P( μμ , ′ ) = 

k = 

2γ 

α + γ 

2 

4(1 − g ) 

Ek ( ). 

α + γ ( α −γ) 

2 2 

α 1 g 2 gb 1 g 2gμμ′ 

(3.52) 

(3.53) 

= + − = + − (3.54) 

2 ( ) 

2 

γ = 2 ga = 2g1 −μ (1 − μ′ ) 

(3.55) 

E (k) est une fonction mathématique spéciale (intégrale elliptique du second ordre) connue de 

façon tabulée ou par intégration numérique. 

• Fonction approximative de Delta-Dirac 

On part de l'expression de la fonction de phase de Delta-Dirac (3.56) et on calcule la fonction 

de phase approximative [27]. 

P( θ ) = 2g δ(1−cos θ ) + (1−g)P ′ ( θ ) 

(3.56) 

FHC Page66


Par définition le paramètre d'asymétrie g et défini comme suit [27]: 

1 

g = P(cos θ)cosθd 4π π 

∫ 

Ω (3.57) 

4 

2π 

π 

1 

= P(cos θ)cosθsinθd 4π 

∫∫ 

Φ (3.58) 

g = 

φ= 0θ= 0 

π 

1 

= × 2π P(cos θ)cosθsin θdθ 4π 

∫ (3.59) 

1 

θ= 0 

1 

= P( ) d 

2 ∫ μ μμ avec μ=cosθ (3.60) 

−1 

1 1−f ∗ 

2f × ( μ ) μ= 1 + P ( ) d 

2 2 ∫ μ μ μ 

14243 −1 

1−f = f+ 

2 

1 

1 

∫ 

−1 

∗ 

P( μ)dμ ∗ 

S i P ( μ) ≅ 1 (isotrope), alors 

Et donc 

1 1 

1 

(3.61) 

(3.62) 

∗ ∗ 

∫P( μμ ) dμ= P{ × ∫ μdμ= 0. 

(3.63) 

−1 1 −{ 

1 

2 

1 

⎡μ⎤ ⎢ ⎥ = 0 

⎢⎣ 2 ⎥⎦−1 

Par ailleurs l’ETR s’écrit : 

avec D = 

g = f. (3.64) 

∂L 

0 Kd 

μ + (Ka + K d)L = K aL 

(T) + P( Ω Ω′ )L( Ω′ )dΩ 

∂x 4π 4π 

∫ 

r r r 

14444244443 

K 

4 

⎡ 2π 

π 

⎤ 

d × ⎢ P(cos θ)L( φθ , )sin θθφ d d ⎥ 

π ∫∫ θ= 0 

⎢φ= 0 

⎥ 

⎣ ⎦ 

D 

(3.65) 

FHC Page67


D = 

= 

K 

4 

⎡ 2π 

π 

r r r ⎤ 

d 

∗ 

× ⎢2f δ(1−cos θ)L( φθ , )sin θθφ+ d d (1−f ) P ( ΩΩ′ )L( Ω′ )dΩ⎥ 

π ∫∫ ∫ 

⎢ φ= 0θ= 0 4π 

⎥ 

⎣ ⎦ 

2 

K ⎡ π π 

⎤ 

d K ⎡ r r r ⎤ 

d 

∗ 

× ⎢2f δ(1 −μ)L( μ, φ)dμd φ ⎥+ ⎢(1 −f ) P ( Ω Ω′ )L( Ω′ 

)dΩ⎥ 

4π ∫∫ 4π 

∫ 

⎣⎢ φ= 0θ= 0 ⎦⎥ 

⎣ 4π 

14444 424444443 ⎦ 

2π 

D′ 

(3.66) 

(3.67) 

Kd D= × 2f × L( μ= 1, φ)dφ+ D′ 

4π 

∫ . (3.68) 

φ= 0 

Or L ( μ= 1, φ ) = L( θ= 0, φ ) = L( Ω) r (quelque soit φ ). 

D'où D = d K r 

× 2f × 2πL( Ω ) + D′ 

4π 

Si P alors f = g et 

∗ ≅ 1, 

Donc en conclusion, l’ETR s’écrit 

Soit, aussi 

avec Kd d 

r 

KfL( Ω ) + D′ . 

= d 

K 

r 

′ = × − Ω′ Ω 

π ∫ d . 

d D (1 g) L( ) 

4 4π 

∂L 

K(1−g) r 

μ + (K + K )L = K L (T) + K gL+ L( Ω′ 

)d 

x 4 π 

0 d 

a d a d 

∂ π ∫ Ω 

4 

∂ 

K 

μ + + = + Ω Ω 

∂ π ∫ 

r 

∗ 

L ∗ 

0 d 

(Ka K d )L K aL 

(T) L( ′ )d 

x 4 4π 

* = K (1-g). 

(3.69) 

(3.70) 

Donc dans notre calcul 

qui suit on prend en compte la fonction de phase approximative qui est 

une fonction isotrope avec un cœfficient de diffusion modifié Kd * = Kd (1-g). Le fait qu’il y ait 

un pic de diffusion avant (représenté dans la fonction de phase par le pic de Dirac δ ) signifie 

que de nombreux photons ne sont en réalité pas déviés, ils sont redirigés dans la même 

direction incidente. Donc, en pratique, tout se passe comme si le milieu est diffusant moins, 

avec un cœfficient effectif K * d inférieur à Kd. 

FHC Page68


3.5 Etude de l’effet de la concentration et taille de gouttelettes 

Dans cette étude on a négligé la phase gazeuse et on a considéré que notre milieu et gris 

Pour 

bien approcher les gouttelettes d'eau on a fait les calculs avec la fonction de Dirac-Delta 

ou Henyey-Greenstein car elles donnent les deux des résultats acceptables. 

Pour bien décrire le rideau d’eau et les paramètres qui le contrôlent on 

suivant J.L.Consalvi [19] : 

K = 

⎛3M ⎞ 

⎜ 2ρd⎟Q ⎝ ⎠ 

a abs 

l 

K 

⎛3M ⎞ 

Q 

⎝ ⎠ 

a pris le modèle 

(3.71) 

d = ⎜ 2ρ s 

ld⎟ 

ca (3.72) 

avec Q = Q + Q 

(3.73) 

ext abs dif 

où 

d : Diamètre de goutte d’eau . 

M : Masse d’eau injectée (concentration 

en gouttes). 

ρ :Masse volumique. 

Donc l’expression de l’ETR prend la forme suivante 

(3.74) 

1 

3M 3M 

⎢⎜ 2 ext sca 

ld⎟ ⎜ 2 ld⎟ 

⎝ ρ ⎠⎥ ⎝ ρ ⎠ ∫ 

⎣ ⎦ μ=−1 

∂L(x, μ) ⎡ ⎤ 

1 

μ =− 

⎛ ⎞ 

Q L(x, μ ) + 

⎛ ⎞ 

Q L(x, μ, μ′ )P( μ, μ′ )dμ′ 

∂x 2 π ′ 

Q ext ,Q abs,Q dif étant respectivement le cœfficient d’extinction d’absorption 

et de diffusion de gouttelettes évalués selon la Théorie de MIE. 

3.6 Milieu à température imposée 

Dans 

l’application du rideau d’eau, il est logique de considérer que l’émission du milieu 

(gouttelettes) 

est négligeable devant celle de la flamme, absorbant, diffusant mais non 

émettant dans ce cas l’équation de transfert radiatif a la forme suivante : 

FHC Page69


∂L(x, μ) ⎡ 3M ⎤ 

μ =− 

⎛ ⎞ 

QextL(x, ) 

x ⎢⎜ μ 

2 ld⎟ 

∂ ⎣⎝ ρ ⎠⎦ 

⎥ 

2ρ sca 

ld 

2 μ=− ′ 1 

• Conditions aux limites du problème 

1 

3M 1 

+ 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟Q 

L(x, μ, μ′ 

)P( , ′ )d ′ . 

⎝ ⎠ π ∫ μ μ μ 

(3.75) 

On suppose que les parois que délimitent la lame sont noires, la partie du coté de la 

flamme est supposée à une température 1000K, et l'autre coté est supposée à 0K (en fait, on 

néglige son émission).Le milieu considéré est non émettant et donc le rayonnement est soit 

diffusé ou absorbé par le milieu considéré. 

Les conditions aux limites portant sur la luminance aux niveaux des parois peuvent être 

exprimées comme suit : 

4 

T0 

L(0, >0) = σ 

μ 

π (3.76) 

4 

Te 

L(e,


2π L(x = e, μ) μdμ 

q(x = e) 0 

Tr = = 1 

q(x = 0) 

2π L(x = 0, μ) μdμ 

1 

∫ 

∫ 

0 

(3.81) 

Les intégrations s’effectuant sur des angles solides correspondant à ½ espace (2π stéradian). 

La réflectance totale du rideau d’eau est définie par : 

0 

∫ 

2π L(x = 0, μ) μdμ 

R = −1 

1 

. (3.82) 

2π L(x = 0, μ) μdμ 

∫ 

0 

• Résolution numérique de l'ETR 

L'intégration sur le volume de contrôle de l'ETR (3.40) sur la position i et l'angle 

solide ωm autour de μ m donne: 

A (L − L ) + B L = C 

m m,i+ 1 m,i−1m,i 

m,i m,i 

2 2 

Am 

=μmωm Avec Bm,i = k δxωm C =δxωS m,i m m,i 

L'expression la plus générale en chaque point (i, m) : 

(3.83) 

A M (Lm,e− L m,W ) + Bm,iLm,i = Cm,i 

(3.84) 

Où Lw est connue et les luminances L m,i Lm,e sont inconnues. Afin d'éliminer Lm,e 

nous 

avons recours à une extrapolation linéaire 

L − L 

mi mw 

me ≈ mw + (3.85) 

a x 

L L 

FHC Page71


avec 1 

2 

D’où 

< a x < 

L 

1 

m,i 

= 

Am Lm,w + Cm,i 

a x 

A 

a 

m 

x 

+ B 

Selon la valeur de ax on distingue trois schéma d'interpolation : 

m,i 

. (3.86) 

- Si x a = 0.5 c’est le schéma diamant, si x a = 1 on a le schéma step, 1 Ami 

, 

a x = max( ,1 − ) . 

2 B 

Ont peut choisir (le schéma pondéré). Le premier et les deuxièmes schémas sont simples à 

mettre en œuvre, mais le troisième représente le meilleur compromis entre précision et 

stabilité du calcul. 


Nous avons présenté le modèle qui permet de décrire la propagation du rayonnement 

au sein du rideau d’eau, assimilé à un milieu absorbant-diffusant gris. L’équation de transfert 

radiatif fait apparaître une fonction de phase modifiée pour tenir compte de la symétrie 

azimutale du champ de luminances. Dans le cas de gouttelettes d’eau, la fonction de phase 

classique de Henyey-Greenstein peut être remplacée par une fonction isotrope associée à un 

cœfficient de diffusion modifié. Enfin, nous avons décrit le schéma numérique utilisé pour 

résoudre l’équation de transfert radiatif. Le but de nos calculs est de prédire la transmission du 

rayonnement à travers le rideau d’eau dans le cas où une de ses faces reçoit un flux important 

(comme celui rayonné par une flamme, par exemple). 

FHC Page72 

mi ,

CHAPITRE 4 

RESULTATS ET DISCUSSION 

Tous les résultats présentés dans ce chapitre ont été obtenu par la résolution numérique 

de l’équation de transfert radiatif. Les programmes de calcul ont été écrits en FORTRAN 77 

et s’exécutent sur un PC. 

4.1 Influence du schéma d'interpolation sur les luminances 

Pour optimiser nos calculs nous avons procédé à des tests de précision concernant les 

schémas d'interpolation. Nous avons finalement retenu le schéma de type Diamant pour sa 

stabilité dans notre cas d'étude unidimensionnelle. 

Luminance normalisée 

0,35 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

μ=-1,M=20,DX=0.05 

Pondéré 

Diamant 

Step 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

Fig. 4.1 Influence des schémas d'interpolation sur la luminance 

FHC Page 74 

x/e

Chapitre 4 Résultats et discussion 

Cette figure 4.1 représente la répartition des luminances dans une configuration 

monodimensionnelle pour une lame à faces parallèles. Dans cette partie du calcul, les 

4 

luminances sont partout normalisées par σ T . Sur la face 1 (opposée à la flamme), la 

0 

température est de T0 = 1000K. Sur l'autre face elle est maintenue à 0K. Les luminances 

normalisées sont calculées en fonction de plusieurs schémas d'interpolation. On voit (fig.4.1) 

que les courbes des schémas de type step et diamant sont confondues (l'une sur l'autre). Le 

schéma pondéré dans notre cas est instable car il présente des luminances négatives, donc il 

n'est pas proche de la réalité physique. 

4.2 Influence du flux incident sur la paroi 

Rayonnement incident normalisé 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 

Epaisseur optique(kl) 

G(x) 

Fig. 4.2 Flux incident sur la paroi (X=e) 

La figure 4.2 est une représentation du rayonnement incident sur la face opposée à la flamme. 

4 

L'expression du rayonnement incident G(i) = 4σ T , normalisé par 

(i) 

σ T a donc une valeur 

propre pour chaque température correspondant à un plan donné entre les 2 faces de l'écran. La 

lame du rideau ici, est supposée non diffuse et à l'équilibre radiatif. Les 2 faces de la lame 

sont à des températures fixées. 

FHC Page 75 

4 

0


On constate que cette atténuation du flux incident (extinction du flux incident) est due aux 

propriétés du milieu considéré comme étant absorbant et diffusant. 

4.3 Transmission 

en fonction de l'épaisseur optique 

Flux transmis normalisé 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 1 2 3 4 5 

Epaisseur optique(KL) 

MODEST 

20X20 

40X40 

60X60 

100x100 

Fig. 4.3 Flux transmis en fonction de l’épaisseur optique (kl) 

4 

C ette figure 4.3 représente le flux, normalisé par σT 

, transmis par la lame en fonction de son 

épaisseur 

optique (kl). Le milieu considéré est en équilibre radiatif, diffusant de façon isotrope 

et 

absorbant le flux radiatif émis par la source de flamme. Ce flux est calculé en fonction du 

maillage 

suivant l'épaisseur de la lame. Les résultats ont été comparés avec ceux obtenus par 

Modest 

[30]. On remarque bien la concordance (courbes confondues) des résultats. Le 

raffinement 

du maillage, au-delà 20x20 n’améliore pas les résultats. 

FHC Page 76 

0


4.4 Influence de l'albédo du 

milieu sur le flux transmis 

q ( e ) 

σ T 

4 

0 

Epaisseur optique (KL) 

Epaisseur optique (Kl) 

Fig. 4.4 Flux transmis en fonction de l’épaisseur optique 

pour différents albédos, 

Comparaison avec la Méthode de Monte Carlo DX=0.01, M=100 [28]. 

La figure 4.4 montre la variation du flux transmis à travers la lame en fonction de l'épaisseur 

optique pour 

différentes valeur de l'albédo (ω = 

FHC Page 77 

Kd 

K + K 

a d 

). Le milieu est diffusant de façon 

isotrope et absorbant. Si l'albédo augmente l'atténuation diminue car l’absorption diminue. Le 

flux adimensionnel reçu par la paroi (x = e) est minimal 

car le milieu a absorbé toute l'énergie 

émise. A l’inverse si l'albédo diminue l'énergie transmise est moins importante.


4.5 Influence 

du paramètre d’asymétrie (g) 

Fonction de phase Φ 

HG 

on de phase Φ HG 

Foncti 

Fonction de phase Φ HG 

0,07 

0,06 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

0,01 

0,00 

0,06 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

0,01 

0,00 

0,040 

0,035 

0,030 

0,025 

0,020 

0,015 

0,010 

0,005 

0,000 

g=O,9 

M=20 g=O,85 

g=O,7 

g=0,5 

g=O,3 

g=O,1 

g=O 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

M=40 

COS(Θ) 

g=O,9 

g=O,85 

g=O,7 

g=0,5 

g=O,3 

g=O,1 

g=O 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

M=100 

COS(Θ) 

g=O,9 

g=O,85 

g=O,7 

g=0,5 

g=O,3 

g=O,1 

g=O 

-0,005 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

COS(Θ) 

Fig. 4.5 Fonction de phase de Henyey-Greenstein en fonction du paramètre d’asymétrie (g) 

FHC Page 78


Les figures 4.5 sont des représentations de la fonction de phase en fonction du 

paramètre d'asymétrie g. La fonction de phase est celle de Henyey-Greenstein dans une 

configuration monodimensionnelle. Elle est définie comme étant le rapport entre l'énergie 

diffusée dans l'angle solide dΏ et l'énergie diffusée dans le même angle solide si la diffusion 

était isotrope (identique dans toutes les directions); si g = 0 la diffusion est isotrope; si g=1 

elle tend vers le pic de Dirac (diffusion en avant); si g = -1 c'est une rétrodiffusion (diffusion 

en arrière) ; 

Si g ≈ 

1, 

la fonction de phase présente des pics de diffusion qui posent un problème de 

point du vue numérique. A cet effet, il fallait définir des techniques de normalisation 

adéquates pour faire répartir l'énergie équitablement dans tout l'espace. Ceci est valable pour 

plusieurs cas de quadrature variant de (20, 40 et 100). Dans le calcul de cette fonction de 

phase normalisée plus le nombre de quadratures est grand plus la diffusion est favorisée. 

La distribution d’énergie autours de la goutte n’est pas uniforme, si ont intègre la 

fonction de phase autour dans tout l’espace ont retrouve pas la valeur 1, donc on utilisent 

plusieurs technique de normalisation afin de répartir l’énergie équitablement autours de la 

goutte sphérique. 

FHC Page 79


4.6 Comparaison entre fonction de phase de HG et fonction de phase approximative 


0.22 

0.20 

0.18 

0.16 

0.14 

0.12 

0.10 

fonction de phase HG 

fonction approximative Delta-Dirac 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Paramètre d'asymetrie (g) 

Fig. 4.6 Comparaison de la fonction de Henyey-Greenstein et Delta-Dirac (approximative) 

L=1m, Qext=2, DX=0.01 

Sur cette figure nous avons représenté le flux transmis par la lame dans le cas d'une 

diffusion 

anisotrope, en équilibre radiatif. Le milieu est constitué de gouttelettes homogènes 

de 

mêmes dimensions. Les effets d'absorption sont pris en compte. Cette figure montre la 

comparaison entre deux fonctions de phases, la fonction de phase de Henyey-Greenstein 

et 

celle de Delta-Dirac (approximative). Cette dernière est une fonction isotrope avec un 

cœfficient de diffusion modifié Kd * =Kd(1-g). 

Le terme de diffusion avant est séparé du reste de l'expression de la fonction. Elle est 

adoptée pour des particules ayant des fonctions de phases très pointues vers l'avant. La 

fonction de Henyey-Greenstein dépend d'un seul paramètre g, et décrit bien un milieu formé 

de gouttes. On mène ici une comparaison entre ces deux fonctions de phase pour un même 

milieu en fonction du paramètre d'asymétrie g. Les 2 courbes ont la même allure. 

Pour la suite des calculs on a utilisé la fonction de phase de Delta-Dirac, car du point de vue 

numérique elle est plus facile à mettre en œuvre. 

FHC Page 80


4.7 Absorption transmission et réflexion du rideau 

(a1) 

(b1) 

(c1) 

Flux normalisé 



1,0 D=100µm,g=0.1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

Absorption 

Réflexion 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée(Kg/m 3 ) 

D=50µm,g=0.1 

Absorption 

Réflexion 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injecteé(kg/m 3 ) 

D=20µm,g=0.1 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,0 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée(kg/m 3 ) 

FHC Page 81


(d1) 

(e1) 

) 

(f1 




1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,85 

0,80 

0,75 

0,70 

0,65 

0,60 

0,55 

0,50 

0,45 

0,40 

D=100µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée(Kg/m 3 ) 

D=50µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injecté(Kg/m 3 ) 

D=20µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,35 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 


FHC Page 82


(g1) 

(h1) 

(i1) 




1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,85 

0,80 

0,75 

0,70 

0,65 

0,60 

0,55 

0,50 

0,45 

D=100µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée (kg/m 3 ) 

D=50µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 


D=20µm,g=0.85 

Absorption 

Réflection 

Transmission 

0,40 

0,35 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

0,00 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse u injectée(kg/m 3 d'a 

) 

Fig. 4.7 (a1, b1, c1, d1, e1, f1, g1, h1, i1) Variation de la réflexion, transmission et 

absorption en fonction du diamètre de goutte et de masse d'eau injectée. 

FHC Page 83


Les Figures.4.7 représentent la réfléctance, l’absorption et la transmittance du rideau en 

fonction du diamètre de goutte et de la quantité d'eau injectée pour plusieurs valeurs du 

paramètre d'asymétrie g. 

Nous constatons bien que le phénomène de diffusion influe sur le milieu qui est considéré non 

émettant. Les petites gouttes absorbent beaucoup plus le rayonnement que les grosses gouttes. 

Pour 20μm, La transmittance est minimale (3%), avec une absorption de l’ordre de 70%. 

La réflexion du rayonnement (renvois vers la flamme) est faible. L’atténuation est contrôlée 

par l’absorption, la réfraction, et la diffraction. 

FHC Page 84


4.8 Influence de l'épaisseur du rideau 

Transmittance 

Transmittance 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0,80 

0,75 

0,70 

0,65 

0,60 

0,55 

0,50 

0,45 

0,40 

0,35 

0,30 

0,25 

0,20 

0,15 

0,10 

0,05 

D=50µm,g=0.85 

0.4kg/m 3 

0.2kg/m 3 

0.1kg/m 3 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

Largeur du rideau(m) 

(a) 

D=100µm,g=0.85 0.4kg/m 3 

0.2kg/m 3 

0.1kg/m 3 

0,00 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 


(b) 

FHC Page 85


Transmittance 

0,9 D=200µm,g=0.85 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

0.4g/m 3 

0.2g/m 3 

0.1kg/m 3 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 


(c) 

(d) 

Fig. 4.8 (a, b, c, d) Flux transmis en fonction de l'épaisseur du rideau 

FHC Page 86


Les figures 4.8 montrent l’influence de l’épaisseur du rideau sur la transmittance. Nous avons 

considéré des milieux différents (en concentration) tout en maintenant le diamètre de goutte 

constant, pour obtenir différentes courbes de transmittance en fonction de l'épaisseur du 

rideau. 

Les niveaux d'atténuation sont significatifs pour une épaisseur du rideau d'environ 1m. Le 

graphe 4.8 (d) représente les résultats obtenus par H.Pétrel [14]. On constate que ces derniers 

ont les mêmes allures que les nôtres. Mais dans d’autres conditions de calculs. 

Les figures montres que les milieux à faibles diamètres atténuent beaucoup mieux le 

rayonnement que les gros à égal jet d’eau sur une distance minime. 

FHC Page 87


4.9 Influence de la taille et de la concentration de gouttelettes 

Flux transmis 

normalisé 

Flux transsmis normalisé 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

g=0.1,l=1m 

20μm 

50μm 

100μm 

200μm 

500μm 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 


(a2) 

1,0 g=0.5,l=1m 

20μm 

50μm 

100μm 

200μm 

500μm 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 

Masse d'eau injectée(kg/m 

0,10 

3 ) 

(b ) 

2 

FHC Page 88


Flux normalisé transmis 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

g=0.85,l=1m 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 


(c 2 ) 

(d ) 

20μm 

50μm 

100μm 

200μm 

500μm 

Fig. 4.9 (a2, b2, c2, d2) Variation du flux transmis en fonction de la concentration en gouttes. 

FHC Page 89 

2


L'influence de la concentration de goutte sur la transmittance spectrale est représentée sur les 

figures 4.9. Afin d'estimer le niveau de concentration conduisant à une atténuation notable, 

nous présentons la variation de la transmittance en fonction de la concentration de gouttes 

pour plusieurs diamètres de celle-ci. Les résultats indiquent que les niveaux d'atténuation 

significative sont obtenus pour des concentrations massiques inférieures à 0.1kg/m 3 . 

D'autre part, l'effet bénéfique de la réduction de diamètre des gouttes pour une quantité d'eau 

donnée. Ainsi pour de fines gouttelettes (d=10μ m), une atténuation de 70% est obtenue avec 

une concentration de seulement de 0.01kg\m 3 . Le graphe 4.9 (d2) représente les résultats 

obtenus par H.Pétrel [14]. Nos résultats ont les mêmes allures que celles obtenus par H. Pétrel 

[14] avec des conditions de calculs différentes. 

FHC Page 90


4.10 Influence de l’absorption de la vapeur d’eau sur la transmittance totale 



1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

d=20µm 

d=50µm 

d=100µm 

d=200µm 

d=500µm 

K g +K goutte (d=20µm) 




0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée (Kg/m 3 ) 


Fig.4.10.1 xH2O = 0.03, l=1m,Tg=300 k, Tb=1000 K 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

d=20µm 

K +K (d=20µm) 

g goutte 

d=50µm K +K (d=50µm) 

g goutte 

d=100µm 

K +K (d=100µm) 

g goutte d=200µm 

d=500µm 

K +K (d=200µm) 

g goutte 

K +K (d=500µm) 

g goutte 

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 

Masse d'eau injectée (kg/m 3 ) 

Fig.4.10.2 xH20=0.2, Tg = 333 k, l=1m, Tb=1000 K 

Fig. 4.10 Comparaison entre la transmittane en présence de la vapeur et des gouttelettes en 

fonction de la masse d'eau injectée. 

FHC Page 91


Jusqu’à présent, nous avons négligé l’absorption de la vapeur d’eau présente dans le rideau. 

Les figures (4.10.1) et (4.10.2) montrent l’évolution de la transmittance du rideau, cette fois 

en tenant compte de l’absorption du gaz. Cette absorption a été calculée d’après les 

corrélations de Leckner (Modest [30]) pour une température et une concentration de gaz 

données, uniformes dans tout le rideau. Les figures (4.10.1, 4.10.2) représentent la 

transmittance du rideau pour plusieurs diamètres de gouttes en fonction de la masse d’eau 

injectée en présence des deux phases, le gaz (vapeur d’eau) et les gouttelettes. La présence du 

gaz joue un rôle qui dans certains cas peut être aussi important que celui des gouttelettes. 

L'atténuation est favorable dans le cas des gouttes à faible diamètre à égale quantité d'eau, la 

part du gaz est aussi importante dans l'atténuation totale, Tau(totale)= Tau(gaz) Tau(goutte). 

Plus loin, pour de s diamètres >100μ m , l'atténuation est importante pour 

des jets d'eau qui 

sont supérieurs à 0.02 kg/m 3 .Les deux phases agissent comme barrière en bloquant le 

rayonnement thermique émis de la source de flamme, en absorbant et diffusant le 

rayonnement thermique émis. 

FHC Page 92

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 

Le but envisagé dans cette étude est d'aboutir à la simulation de l'atténuation d'un 

rideau d'eau traversé par un rayonnement infrarouge moyennant la variation des paramètres 

caractéristiques du rideau. Les résultats obtenus ont permit d'établir les conclusions suivantes: 

Le mécanisme d'atténuation est étroitement lié aux phénomènes de diffusion et d’absorption 

du rayonnement par les gouttelettes d'eau. 

La diffusion du rayonnement est importante pour le cas du rideau d'eau constitué de 

gouttelettes de faible diamètre. Ceci est conforme à la théorie de Mie. Par conséquent, le flux 

de chaleur traversant la lame du rideau est minimal. Le diamètre le plus performant qui 

permet d'obtenir la plus intense atténuation est celui qui se situe dans l'intervalle de 10 à 20 

μm. Cette valeur correspond au même ordre de grandeur que la longueur d'onde du 

rayonnement issu des flammes. 

Par contre l'absorption est aussi bien importante pour les rideaux d'eau à faible diamètre que 

ceux à grand diamètre. 

La concentration de gouttelettes dans le rideau d'eau constitue de même un facteur aussi 

important. Nos résultats confirment que plus la concentration est grande plus l'atténuation du 

rayonnement est importante. Il convient de souligner que si la concentration des gouttelettes 

est grande en présence de gouttes à faible diamètre l'atténuation est meilleure. Les niveaux de 

concentration de gouttelettes permettant d'obtenir les hautes performances d'atténuation (plus 

de 70%) sont inférieurs à 1 kg/m 3 . 

FHC Page 94

Conclusions et perspectives 

La simulation de l'effet de l'épaisseur du rideau d'eau a montré qu'une largeur de 1 m de 

rideau d'eau présente des résultats significatifs sur l'atténuation. 

Ce travail peut être développé en adoptant les perspectives suivantes : 

- Prise en compte de l'existence de la phase vapeur, considérée comme étant un 

gaz, dans le rideau d'eau et de son effet sur l'atténuation du rayonnement. 

- Etudier l’influence des paramètres hydrodynamiques (vitesses des particules, 

pression et débit). 

- Introduire le phénomène de couplage des modes de transferts thermique 

(convection – rayonnement). 

- Etudier ce phénomène en géométrie bidimensionnelle. 

FHC Page 95

1. LA PUISSANCE D’UN FEU 

Annexes 

Savoir estimer la puissance d’un feu, c’est prévoir les besoins en eau, pouvoir 

organiser une tactique de lutte efficace, connaître les risques auxquels sont exposés les 

sapeurs-pompiers et la population, éviter en temps utile les accidents et ne pas tenter 

l’impossible. 

La puissance P d’un feu d’incendie (de forêt par exemple) est calculée par la formule de 

Byram : P = 18700 WR (en kilowatt par mètre : kW/m) où W est la biomasse brûlée (litière, 

feuilles, aiguilles, brindilles) en kg/m 2 , et R est la vitesse de propagation de feu en mètre par 

seconde (m/s). le coefficient 18700 se rapporte à la chaleur de combustion des végétaux 

(valeur moyenne), exprimée ici en kJ /Kg (le joule - symbole J, est l’énergie produite en une 

seconde par une puissance d’un Watt – symbole W). 

Un incendie de garrigue où de forêt peut brûler 1kg /m 2 de combustible et peut se déplacer à 

0.5 m/s (1km /h). sa puissance est alors de 9350 kW/m : mille mètres d’un tel front émettent 

une puissance égal celle de 10 centrales nucléaires et dissipent en 2 Heures l’énergie de la 

bombe atomique d’Hiroshima. De tels incendies sont inhabituels, mais ils ne sont pas rares 

dans nos régions, car la masse de combustible brûlé peut atteindre et dépasser 2 kg /m 2 et la 

vitesse de 50 000 kW/m. On a observé en Australie et aux Etats-Unis des incendies de plus de 

100 000 kW/m. En comparaison, un chauffage électrique ou un radiateur à infrarouge 

ordinaire a une puissance de 1 000 Watts, soit 1kW. 

Mais une bonne estimation de la puissance du feu est le meilleur moyen d’évaluer le risque. 

Les phénomènes dangereux se produisant dans les incendies les plus énergétiques, il serait 

utile de toujours estimer la puissance du feu afin de prendre les mesures appropriées pour la 

protection des pompiers et de population. 

Sur la base d’observations, divers auteurs ont imaginé des formules pour estimer la puissance 

du feu à partir de la hauteur moyenne des flammes. Nous utilisons, pour sa simplicité 

d’emploi, celle proposée par M. Newman en 1974 : P = 300 x 2H. Par hauteur des 

flammes,on par entend la distance véritable entre les bases et leur extrémité, à ne pas 

confondre avec leur longueur lorsqu’elles sont inclinées. 

FHC Page 97

2. LA PUISSANCE RAYONNEE 

Annexes 

Le rayonnement du soleil qui parvient au sol un jour clair d’été est environ 1kilowatt 

par mètre carré (1 kW/m 2 ), c’est-à-dire 0.1 Watt par centimètre carré (0.1 W/cm 2 ). Un grille- 

pain émet 1 à 1.5 W /cm 2 , et un grille viande 2 à 3 W/cm 2 d’après les notices d’emploi. 

Le front des flammes forme un panneau radiant et émet un rayonnement thermique pouvant 

dépasser 10 W/cm 2 . Du fait que le rayonnement reçu diminue avec la distance aux flammes, 

des valeurs très supérieures ont été constatées. Par exemple, on a observé 10 W/cm 2 à 7 

mètres du front d'un incendie de foret (puissance P calculée = 35 500 kW/m) avec une 

émission de 16,3 W/cm 2 . 

Une radiation de 0,2 W/cm 2 , reçue sur la peau nue, est douloureuse. L'absorption d'un 

rayonnement thermique de 0,7 W/cm 2 pendant 90 secondes est très dangereuse, même pour 

une personne protégée par les vêtements spéciaux des sapeurs-pompiers. L'exposition à un 

rayonnement de plusieurs Watts par cm 2 est très rapidement mortelle. Comme sur un grill, les 

radiations thermiques brûlent où rôtissent à distance, et un rayonnement thermique de l'ordre 

de 1W/cm 2 peut entrainer des brûlures graves en un temps très court. 

Ensuite, l'absorption d'une grande quantité de chaleur, même au travers des vêtements, peut 

entraîner un choc thermique en quelques minutes. 

La température moyenne du front des flammes est liée empiriquement à la puissance P de 

façon directe mais complexe. Le rayonnement thermique, Pe en kW/m 2 , émis par ce front du 

feu est : Pe = 0,866 P. 

Ainsi, le rayonnement thermique d'un front de feu de puissance 2000 kW/m serait de 38,7 

kW/m 2 (3.8 W/cm 2 ) et la température moyenne des braises et des flammes de 636 °C. Ce 

rayonnement mortel serait celui reçu en se tenant à proximité immédiat du front des flammes. 

Le rayonnement reçu à distance, P(d), est bien moindre, car il diminue comme l'inverse de la 

distance dès qu'on se trouve à une distance supérieure à deux fois la hauteur des flammes : 

P(d) = P/(40 x d), exprimé en kW/m 2 . Ainsi, sans protection ni absorption du rayonnement par 

la végétation, les fumées et vapeur d'eau, on reçoit d'un front de feu de puissance 2 000 

kW/m 2 (1 W/cm 2 ) à 5 mètres encore 2 kW/m 2 (0.2 W/cm 2 ) à 25 m. 

FHC Page 98

Fig. Rayonnement reçu à distance d’un feu de puissance de 10000 kW/m [39] 

APPLICATION 

• Feu de tunnel où feu de camion 

On cherche à protéger les sapeurs contre le rayonnement des flammes ainsi que les 

voyageurs en cas d’incendie dans un tunnel : 

La transmitivité peut être tirée de la relation suivante ; 

τ q < 5000 W/m 2 

5000 W/m 2 est une valeur où une personne sera exposée à des brûlures graves 

(mortelles). Donc la transmitivité est calculée comme suit : 

τ< 

5000/q 

si on prend un feu de méthanol de diamètre de 10m et la puissance émise égale à 

34 kW/m 2 . 

Annexes 

FHC Page 99

τ = 5000/34000 = 0.147 

pour cette valeur de la transmitivité on tire les caractéristiques du rideau à utiliser. 

Donc dans ce cas, le rideau a les caractéristiques suivantes : 

1-Présence des gouttelettes seules 

1 ere cas: 

Largeur du rideau 

Masse d'eau injectée 

Diamètres de gouttes 

Transmitivité 

2 eme cas 

Largeur du rideau 

Masse d'eau injectée 

Diamètres de gouttes 

Transmitivité 

1m 

0.072 kg/m 3 

50μ m 

0.147 

1m 

0.032 kg/m 3 

20μ m 

0.147 

Annexes 

FHC Page 100

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