ESPACE DE HILBERT

42 CHAPITRE 2. ESPACE DE HILBERT
2.5 Convergence en moyenne quadratique
Il s’agit simplement d’un dictionnaire traduisant les notions de convergence d’un espace de Hilbert
dans le vocabulaire usuel de l’espace L 2 ( ; A, P).
Proposition 2.13 Dans l’espace L 2 ( ; A, P), nous appelons convergence en moyenne quadratique ou
convergence L 2 la convergence en norme (associée au produit scalaire)
Xn
L 2
m:q:
! X , Xn !
n!1 n!1 X , kXn Xk 2 = E (Xn X) 2 ! 0
n!1
Proposition 2.14 Soit (Xn) n2N ; (Yn) n2N deux suites de variables aléatoires de L 2 ( ; A, P) et X; Y deux
éléments de cet espace. Si Xn
E (Xn) 2 !
n!1 E (X) 2
E (XnYn) !
n!1 E (XY )
E (Xn) !
n!1 E (X)
m:q:
m:q:
! X, et Yn ! Y alors
n!1 n!1
2.6 Projection et Espérance conditionnelle
Soit (Xt) t2Z un processus stationnaire dé…ni sur un espace L 2 ( ; A, P). Notons L t 1(X) la fermeture
dans L 2 ( ; A, P) du sous-espace engendré par toutes les combinaisons linéaires de Xs pour s t,
c’est à dire l’ensemble des combinaisons linéaires …nis P k
i=0 aiXt i et l’ensemble des limites de toutes
combinaisons linéaires P
i 0 aiXt i tel que P
i 0 jaij < 1
Il sera aussi utilisé des sous-espaces notés L b a(X) pour dé…nir la fermeture dans L 2 ( ; A, P) des sousespaces
engendrés par toutes les combinaisons possibles de la forme
kX
i=1
aiXti
t1; : : : tk 2 Z\ [a; b]
A priori, réaliser la meilleure prédiction de Xt+1 consiste à calculer E(Xt+1=L t 1(X)):
2.6.1 Espérance conditionnelle
Bien qu’écrivant une espérance conditionnelle, nous avons restreint nos calculs à des projections linéaires
et donc à des régression linéaires. De fait, il est possible d’imaginer que les sous-espaces de type
L b a(X) contiennent un plus large éventail de fonctions : par exemple des fonctions continues, des fonctions
monotones. Dé…nissons ainsi les sous-espaces suivants :
Dé…nition 2.21 Soit X; Y deux variables aléatoires, réelles d’un espace L 2 ( ; A, P). Soit L(Y ) le sousespace
fermé formé de toutes les fonctions de L 2 ( ; A, P) qui puissent s’écrire comme g(Y ) avec g fonction
réelle monotone par morceaux. La projection orthogonale de X sur L(Y ) est appelée espérance conditionnelle
de X par Y et notée E(X=Y ).
L’existence d’une telle projection est assurée par le théorème de Riesz. Elle possède toutes les propriétés
de la projection orthogonale. Ainsi
Proposition 2.15 Soit X; Y deux variables aléatoires, réelles d’un espace L 2 ( ; A, P). E(X=Y ) véri…e
8Z 2 L(Y ); E(ZE(X=Y )) = E(ZX)