ESPACE DE HILBERT

44 CHAPITRE 2. ESPACE DE HILBERT
soit sous forme développée matricielle, en omettant l’indice X
2
6
4
(0)
(1)
.
(1)
(0)
. .
(t
(t
.
3 2
1)
2) 7 6
7 6
7 6
5 4
(t 1) (t 2) (0)
Nous reviendrons en détail plus tard sur ce système d’équations.
2
a1
a2
.
at
3
2
7
5 =
6
4
Bibliographie associée à ce chapitre
Les éléments de ce chapitre sont développés
BOX P. G. et JENKINS P. M. (1976) ”Time Series Analysis”, Holden Day, San Francisco. Chapitre
BROCKWELLl, P.J., DAVIS, R.A. (1990) ”Time Series : Theory and Methods.”, (2nd ed.),.Springer,
New York. Chapitre 2. .D. (1994), ”Time Series Analysis”, Princeton University Press, Princeton. Chapitre
1,2,3
GOURIEROUX C., MONFORT A. (1990) ”Séries temporelles et modèles dynamiques”, Economica,
Paris. Chapitre 6
Le livre le plus simple sur les espaces de Hilbert
BERBERIAN (1961) "Introdution to Hilbert Space”, Oxford University Press, New York.
2.7 Exercices
Exercice 2.3 Dans un espace hilbertien, où se trouve l’extrémité de vecteurs de même longueur ? (dessiner
dans R 2 ; R 3 ).
Exercice 2.4 Soit E l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 2 à coe¢ cients réels. Montrer que
dé…nit un produit scalaire
hA; Bi = trace( T AB)
Indication. Si A = (aij); B = (bij); trace( T AB) = (a11b11 + a21b21) + (a12b12 + a22b22)
Exercice 2.5 A partir des vecteurs X1 = (0; 1; 1) 0 ; X2 = (2; 0; 2) 0 ; X3 = (1; 1; 2) 0 construire une base
orthonormale de R3 par le procédé de Gram-Schmidt.
p
2;
Indication. Une possibilité Y1 = (0; 1
2
1
2
p 2) 0 ; Y2 = ( 1
3
p 6; 1
6
(1)
(2)
.
(t)
p p
1 0
6; 6) ; Y3 = (
6
1
3
3
7
5
p 3; 1
3
p p
1 0
3; 3) 3
Exercice 2.6 Soient les vecteurs X1 = (0; 1; 1) 0 ; X2 = (2; 0; 2) 0 ; Y = (1; 1; 2) 0 . On projette orthogonalement
Y sur le sous-espace vectoriel engendré par X1; X2. Notons cette projection b Y = X1 + X2.
1) Donner une représentation de ces trois vecteurs dans R 3 .
2) Calculer la valeur des paramètres ; en utilisant l’orthogonalité de Y b Y au sous-espace engendré
par X1; X2.
3) Calculer la valeur des paramètres qui minimise la somme des carrés résiduels dans la régression
linéaire de Y sur X1; X2.
Indication. 2) = 1=3; = 5=6
Exercice 2.7 Considérons le processus Xt = A cos(!t) + B sin(!t). A; B sont des variables aléatoires
normées, orthogonales entre elles
1) Montrer que ce processus est stationnaire.
2) Supposons données X0 = A; X1 = A cos(!)+B sin(!). En appliquant le théorème de Riesz, calculer
les meilleures prédictions linéaires \ X1(1); \ X2(1).
3) Calculer \ X3(1); \ X4(1):