ESPACE DE HILBERT

34 CHAPITRE 2. ESPACE DE HILBERT
Trouver un ”sens”à cette proposition : dans l’espace euclidien R 2 une représentation graphique donne
l’origine de son appellation.
Exemple 2.2 Soit E = fx; x = ( 1; 2; : : :); i 2 Rg l’ensemble des suite in…nies de nombres réels, tous
nuls sauf un nombre …ni. Bien entendu, ce n’est pas toujours le même nombre d’éléments non nuls pour
les di¤érents vecteurs. Dé…nissons
hx; yi = h( 1; 2; : : :); ( 1; 2; : : :)i = 1 1 + 2 2 : : :
Dé…nissons la structure naturelle d’espace vectoriel :
x + y = ( 1 + 1; 2 + 2; : : :)
Il faut véri…er que les dé…nitions précédentes font de E un espace pré-hilbertien.
Exemple 2.3 SoitF = fx; x = ( 1; 2; : : :); i 2 Rg l’ensemble des suite in…nies de nombres réels véri-
…ant (propriété dite de ”carrés sommables”)
1X
i=1
2
i < 1
Voici une des premières di¢ cultés de la structure in…nie dimensionnelle. Comment donner un sens à
la somme de deux vecteurs, au ”produit scalaire”?
Dé…nissons
x + y = ( 1 + 1; 2 + 2; : : :)
L’identité de la médiane, valable dans l’espace euclidien R donne l’inégalité
( + ) 2 < 2 2 + 2 2
La sommabilité au carré des séries ( 1; 2; : : :) et ( 1; 2; : : :) donnent par majoration, un sens au vecteur
somme. Pour le produit scalaire, dé…nissons
Utilisons l’inégalité
hx; yi = h( 1; 2; : : :); ( 1; 2; : : :)i = 1 1 + 2 2 : : :
2 j j j j j j 2 + j j 2
pour assurer l’absolue sommabilité de la série 1 1 + 2 2 : : : et donc un sens au ”produit scalaire”. Il ne
reste plus qu’à véri…er les axiomes pour ôter les guillemets précédentes...
Exemple 2.4 Soit un intervalle [a; b] et E l’espace vectoriel des fonctions dé…nies et continues sur [a; b] :
Dé…nissons
hf; gi =
Z b
a
f(x)g(x)dx
Cela donne une structure euclidienne sur E. Utilisez la notion d’intégrale de Riemann et le fait que vous
intégrez un carré et une fonction continue pour étudier le caractère dé…ni positif.
2.1.2 Propriétés d’un produit scalaire
Proposition 2.2 (Inégalité de Bouniakovski-Cauchy-Schwarz 2 notée BCS) Dans un espace pré-hilbertien
E, pour tout couple de vecteurs x; y, on a
hx; yi 2
hx; xi hy; yi
2 Schwarz Herman (1843-1921) Mathématicien allemand spécialiste des fonctions analytiques ( fonction dans le domaine
complexe), il est connu pour son égalité sur les dérivées partielles secondes d’une fonction deux fois dérivables et sur
l’inégalité dont il partage la renommée avec Cauchy et le russe Bouniakovski