ESPACE DE HILBERT

40 CHAPITRE 2. ESPACE DE HILBERT
Procédure d’orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit E un espace de Hilbert séparable. Soit
(yi) i2I une suite de vecteurs linéairement indépendants. A partir de ces vecteurs, il est possible de
construire une base orthonormale en appliquant de façon récursive la construction présentée dans la
…gure du produit scalaire ; c’est la procédure de Gram-Schmidt suivante :
Par récurrence, nous construisons un vecteur orthogonal à tous les précédents, par projection orthogonale
sur l’espace engendré par ces vecteurs puis nous le normalisons.
La procédure se déroule ainsi :
et ainsi de suite...
Les vecteurs xi forment une base orthonormale.
2.3.2 Relations
u1 = y1 x1 = u1
ku1k
u2 = y2 hy2; x1i x1 x2 = u2
ku2k
u3 = y3 hy3; x1i x1 hy3; x2i x2 x3 = u3
ku3k
De la même façon que les calculs dans un espace vectoriel s’e¤ectuent sur une base, nous allons
développer les calculs dans un espace de Hilbert grâce aux bases orthonormales.
Dé…nition 2.16 Soit E un espace de Hilbert séparable ; (ei) i2I une suite orthonormale de vecteurs. Le
i ème coe¢ cient de Fourier 6 d’un vecteur x est le nombre xi = hei; xi
Proposition 2.12 (Relation de Bessel) Soit E un espace de Hilbert séparable ; (ei) i2I une suite totale
de vecteurs, x 2 E, alors les coe¢ cients de Fourier véri…ent
X
i2I
jxij 2
kxk 2
(Identités de Parseval) Si de plus la suite (ei) i2I est une base orthonormale
2.4 Opérateurs
X
jxij 2 = kxk 2
i2I
X
xiyi = hx; yi
i2I
x = X
Dé…nition 2.17 Soit E et F deux espaces de Hilbert. Un opérateur u est une application linéaire de
E dans F:
L’ensemble des opérateurs de E dans F possède lui même une structure d’espace vectoriel normé
grâce à la dé…nition suivante :
i2I
xiei
Dé…nition 2.18 La norme d’un opérateur de E dans F est dé…nie par
kjujk = sup ku(x)k
kxk 1
6 Fourier Joseph (1768-1830) Ce mathématicien français qui vit les pyramides avec Napoléon, a développé la théorie
de la chaleur, les équations di¤érentielles et les fonctions trigonométriques. Il met ainsi en évidence l’orthogonalité de ces
dernières.