ESPACE DE HILBERT

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38 CHAPITRE 2. ESPACE DE HILBERT 2.2.5 Projection orthogonale Dans un espace vectoriel euclidien de dimension …nie, nous savons projeter orthogonalement de façon unique un vecteur sur un sous-espace : nous ”traçons”la perpendiculaire et de plus la longueur du segment ainsi créé est la plus courte distance entre le point et le sous-espace. Les espaces de Hilbert possèdent exactement la même propriété. Représentons la géométrie du produit scalaire dans R 2 . Les vecteurs de la …gure précédente véri…ent (utilisez vos connaissances sur un triangle rectangle) : hX; Y i = kXk kY k cos ( ) = kXk kPX(Y )k cos ( ) = hX; Y i kXk kY k Lorsque les vecteurs sont unitaires (kXk = kY k = 1) ; nous avons hX; Y i = cos ( ) = kPX(Y )k L’outil essentiel, dans ce cours, est l’outil de projection orthogonale. Théorème 2.1 (Théorème de RIESZ 5 de la projection orthogonale) Soit E un espace de Hilbert et F un sous-espace fermé. Soit y un point de E n’appartenant pas à F . Alors le problème inf ky xk x2F possède une et une seule solution notée y ? 2 F et telle que (y y ? ) 2 F ? . Cet élément y ? est appelé projection orthogonale de y sur F et l’application associée notée PF (y). Le résultat qui permet de manipuler l’application projection orthogonale est le suivant : 5 Frigyes (frédéric) Riesz (1880- 1956) Cet hongrois, père de l’analyse fonctionnelle, innove dans tous les domaines des espaces de Banach à l’analyse de Fourier, en passant par la théorie ergodique. Le présent théorème est une des formes d’un théorème de représentation construit avec Fischer
2.3. BASES ORTHONORMALES 39 Proposition 2.9 Soit E un espace hilbertien et F un sous-espace fermé de E. F et F ? sont des sousespaces fermés supplémentaires. Proposition 2.10 L’application qui à un point de E fait correspondre sa projection orthogonale sur un sous-espace fermé F possède les propriétés suivantes (valables pour tous les éléments ad hoc...) 1) PF ( x + y) = PF (x) + PF (y) 2) PF + PF ? = IdE 3) kxk 2 = kPF (x)k 2 + k(Id PF )(x)k 2 4) PF (xn) ! PF (x) si kxn xk ! 0 5) x 2 F ssi PF (x) = x 6) x 2 F ? ssi PF (x) = 0 7) PF PF (x) = PF (x) 8) F1 F2 ssi PF1PF2 (x) = PF1 (x) S’il existe une proposition à comprendre, il s’agit bien de cette proposition ! ! ! Avant de la démontrer, essayer de la comprendre sur un graphique dans R 2 ; R 3 . Et il est tout aussi utile de caractériser P F ? avec des résultats équivalents. Proposition 2.11 Soit E un espace de Hilbert et F un sous-espace fermé. Alors F ? ? = F . 2.3 Bases orthonormales L’équivalent de l’outil aux bases algébriques dans un espace vectoriel est pour un espace de Hilbert la base orthonormale. 2.3.1 Bases orthonormales Dé…nition 2.13 Soit E un espace de Hilbert ; (ei) i2I une famille de vecteurs est dite orthogonale si hei; eji = 0 i 6= j orthonormale si de plus keik = 1 8i 2 I Exemple 2.9 Dans l 2 la famille formée de vecteurs ei = f0; 0; : : : ; 1; : : :g le 1 étant à la i ème coordonnée, est une famille orthonormale Exemple 2.10 Soit L 2 [ ; + ] l’espace des fonctions de carré intégrable sur l’intervalle [ ; + ] La famille (ep(t)) p2Z = e ipt p2Z est orthonormale. Que dire de la famille (ep(t)) p2Z = (cos(pt)) p2Z ? Dé…nition 2.14 Soit E un espace de Hilbert ; (ei) i2I une famille de vecteurs. Si le seul vecteur orthogonal à tous les éléments ei est le vecteur nul, cette famille est dite totale. DANS LA SUITE DU COURS, L’ENSEMBLE I SERA DENOMBRABLE On parle alors de suite totale. Dé…nition 2.15 Un espace de Hilbert est appelé séparable s’il possède une suite totale. Théorème 2.2 Soit E un espace de Hilbert séparable. Il possède une base et même une in…nité de bases orthonormales. Toutes ces bases possèdent le même nombre d’éléments appelé la dimension de l’espace de Hilbert E.
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