Corrections dynamiques et analyse de vitesse - liamg

Introduction 

Correction NMO 

Un réflecteur plat 

Couches horizontales 

Réflecteur incliné 

Analyse de vitesse 

Introduction 

Correction DMO 

Principes 

Calcul de la 

correction DMO 

DMO dans le 

domaine f –k 

Influence de la vitesse 

MÉTHODES SISMIQUES 

6 - Corrections dynamiques et 

analyse de vitesse 

Bernard Giroux 

(bernard.giroux@ete.inrs.ca) 

Institut national de la recherche scientifique 

Centre Eau Terre Environnement 

Version 1.1.1 

Automne 2011

Introduction 

Définitions 

Formule de Dix 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Introduction

Introduction 

Définitions 







Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Introduction 

S 

x 

M G 

D 

Surface 

Réflecteur 

Les traces regroupées en point miroir commun n’ont pas le 

même angle d’incidence au réflecteur ; 

La correction dynamique (NMO) compense l’effet 

d’obliquité des trajets ;

Introduction 

Définitions 







Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Définitions 

Vitesse d’intervalle La vitesse d’intervalle d’une couche est la 

vitesse à laquelle se propage un front d’onde à 

l’intérieur de cette couche. 

Vitesse moyenne On assume un modèle de couches 

horizontales et isotropes. 

où 

vmoy = ∑Ni=1 vi∆τi ∑ N i=1 ∆τ , 

i 

∆τ i est le temps aller-retour vertical dans la i e 

couche ; 

v i est la vitesse d’intervalle.

Introduction 

Définitions 







Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Vitesse quadratique (RMS) 

La vitesse quadratique (vrms) est 

définie par 

où 

v 2 rms = ∑Ni=1 v2 i ∆τi ∑ N i=1 ∆τ , (1) 

i 

∆τ i est le temps aller-retour vertical 

dans la i e couche ; 

v i est la vitesse d’intervalle. 

temps 

vitesse 

intervalle 

rms

Introduction 

Définitions 







Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Vitesse de sommation 

C’est la vitesse choisie (par l’analyse de vitesse) pour 

corriger les données avant la sommation. 

Ici notée v stk. 

Elle dépend de la méthode utilisée pour l’estimer : 

v stk = vNMO = vrms pour la première couche ; 

v stk ≈ vrms pour des réflecteurs horizontaux ; 

vstk ≈ vrms 

pour des réflecteurs inclinés et parallèles. 

cos φ

Introduction 

Définitions 







Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Soit un modèle tabulaire : 

zn la profondeur du n e réflecteur (n e réflexion sur la trace 

sismique) ; 

dn l’épaisseur de la n e couche ; 

vn la vitesse d’intervalle de la n e couche ; 

tn le temps double pour traverser la couche n. 

La vitesse quadratique dans la n e couche et dans la couche 

supérieure (n − 1) est 

v 2 rms(n) = ∑n i=1 v2 i t i 

∑ n i=1 t i 

On a alors (en posant Tn = ∑ n i=1 t i) 

et v 2 rms(n − 1) = ∑n−1 i=1 v2 i ti ∑ n−1 

i=1 t i 

v 2 n = v2rms(n)Tn − v2 rms(n − 1)Tn−1 

, (2) 

Tn − Tn−1 

qui est connue sous le nom de formule de Dix. 

.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Correction NMO

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Un réflecteur plat

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Cas d’un réflecteur plat 

S 

x 

M G 

D 

Surface 

Réflecteur 

Le temps de parcours du trajet SDG est égal à 

t 2 = t 2 0 

x2 

+ , (3) 

v2 avec 

v la vitesse dans le milieu ; 

t 0 le temps aller-retour le long du trajet MD (déport égal à 0). 

L’équation (3) décrit une hyperbole.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 




La correction à appliquer pour redresser l’hyperbole est 

⎡ 

 

⎣ 1 + 

x 

⎤ 

2 − 1⎦ 

. (4) 

t 

∆tNMO = t − t0 = t0 

x 

A 

Déport 

Δt NMO 

t 0 

vNMOt0 

x 

A

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Influence du choix de v 

a) traces PMC, b) bonne vitesse : 2264 m/s, c) v=2000 m/s, d) 

v=2500 m/s.

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Couches horizontales

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Plusieurs couches horizontales 

Δt1 Δt2 Δt3 Δt N 

S 

x 

M G 

D 

v1 v2 v3 v N 

Chaque couche a une vitesse constante ; 

Le temps de parcours SDG est 

t 2 = C0 + C1x 2 + C2x 4 + C3x 6 + . . . , (5) 

où C0 = t 2 0 , C1 = 1/v 2 rms et C2, C3 sont des termes qui 

dépendent des épaisseurs et vitesses des couches.

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Plusieurs couches horizontales 

Si on considère que le déport x est petit p/r à la 

profondeur, on peut laisser tomber les termes C2, C3 et 

supérieurs ; 

Ainsi, on a 

t 2 = t 2 0 

x2 

+ 

v2 . 

rms 

En comparant avec (3), on remarque que la vitesse requise 

pour faire la correction est vrms. 

Aux grands déports, les termes C2, C3 et supérieurs font 

que le moveout n’est plus hyperboliques.

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Correction d’ordre 4 

Si on cherche plus de précision, on peut garder le terme C2 

c’est en particulier le cas lorsque l’on traite des données avec 

des longs déports, comme cela se fait de plus en plus depuis 

quelques années. 

Pour simplifier les calculs, on peut de façon itérative : 

1 Commencer avec les petits x en laissant tomber C 2. Calculer 

le champ de vitesse et choisir ainsi vrms ; 

2 Avec vrms, recalculer le champ de vitesse en considérant C 2 

variable et vrms constant ; 

3 Avec la valeur de C 2 obtenue, recalculer le champ de vitesse 

en variant vrms et en gardant C 2 constant. Choisir vrms avec 

ce dernier champ de vitesse.

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Distorsion (NMO stretching) 

La correction entraîne une distorsion de la trace

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Amplitude 

Amplitude 

2 

1 

0 

−1 

x(t) 

−2 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Temps [s] 

0.6 0.7 0.8 0.9 1 

2 

1 

0 

−1 

y(t 0 ) 

−2 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Temps [s] 

0.6 0.7 0.8 0.9 1 

x(t) → correction NMO → y(t0) ; 

x(t) = cos(2πfct) ; 

 

y(t0) = cos 2πfc t2 

0 . 

+ x2 

v 2

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Soit une ondelette de période T mesurée à un déport x et 

un temps t ; 

Après correction, la période devient T + ∆T, et le moveout à 

la fin de l’ondelette est 

(t + T) 2 = (t0 + T + ∆T) 2 + x2 

; 

v2 Après un peu d’algèbre, on a 

2(t − t0)T = 2(t0 + T)∆T + ∆T 2 ; 

En négligeant ∆T 2 , en considérant t0 >> T, et sachant que 

T = f −1 , on trouve 

∆T 

T 

= t − t0 

t0 

et ∆T = − 1 

∆f ; 

f 2 

Sachant que ∆tNMO = t − t0, on a finalement 

∆f 

f 

∆tNMO 

= − . (6) 

t0

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 




L’équation (6) nous dit que plus la correction NMO est 

importante, plus la distorsion est importante ; 

|∆f /f | [%] pour |∆f /f | [%] pour 

t0 [s] vNMO [m/s] x = 1000 m x = 2000 m 

0.25 2000 123 312 

0.5 2500 28 89 

1 3000 5 20 

2 3500 1 4 

4 4000 0.2 0.8 

En particulier, la distorsion est significative pour les grands 

déports et les temps courts.

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 




La distorsion réduit la qualité de la sommation ; 

On coupe (mute) la portion de la trace pour laquelle la 

distorsion excède un niveau donné ;

Introduction 




Distorsion 



Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Le choix du niveau de coupure est fonction 

du rapport signal/bruit recherché ; 

de la tolérance à la perte de la bande passante du signal. 

Le choix dépend aussi de l’application : 

inversion des amplitudes : coupure sévère pour minimiser la 

dépendance angulaire des réflexions (cf. éq. de Zoeppritz) ; 

migration après sommation : déport limité pour réduire les 

distorsions causées par des réflexions non hyperboliques.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Réflecteur incliné

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Cas d’un réflecteur incliné 

S 

x 

M G 

α 

D' 

D 

Surface 

φ 

Réflecteur 

Le point M n’est plus la projection du point de réflexion D ; 

Le point de réflexion D est différent pour chaque paire 

source-récepteur. 

On distingue alors 

regroupement CDP (common-depth-point gather), en français 

point miroir commun 

regroupement CMP (common-mid-point gather), en français 

point milieu commun ;

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Cas d’un réflecteur incliné 

Le temps pour parcourir SDG est 

La vitesse de correction est 

Sachant que sin α = cos φ, on a aussi 

t 2 = t 2 0 + x2 cos 2 φ 

v 2 

t 2 = t 2 0 + x2 sin2 α 

v2 . (7) 

vNMO = v 

. (8) 

sin α 

et vNMO = v 

cos φ . 

Pour un pendage de 15°, on a une différence de 4% entre 

vNMO et v, la différence grimpe à 50% pour un pendage de 

30°.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Revenons au cas de la vitesse de sommation ; 

Dans la réalité, on a affaire à plusieurs réflecteurs qui sont 

au mieux ± horizontaux ; 

Les courbures ne sont pas parfaitement hyperboliques ; 

On va trouver une vitesse v stk et un temps t stk(0) qui 

s’ajustent le mieux à la courbure ; 

On distingue en principe v stk de vNMO, cette dernière étant 

définie pour des déports courts. 

En pratique, la distinction n’est pas nette et on considère 

souvent les deux comme équivalentes.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 




Temps double 

Différence entre v stk de vNMO 

Déport 

c 

b 

a 

(a) Courbure réelle 

(b) Hyperbole s’ajustant le 

mieux à (a), avec v stk et t stk(0) 

(c) Hyperbole s’ajustant le mieux 

aux déports courts, vNMO et 

tNMO(0)

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Analyse de vitesse

Introduction 






Introduction 

Méthode t 2 –x 2 

Le spectre de vitesse 

Analyse interactive 


Principes 



DMO dans le 



Introduction

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Il existe plusieurs méthodes pour estimer la vitesse de 

sommation. 

Deux sont présentées ici : 

Méthode t 2 –x 2 ; 

Spectre de vitesse.

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Pour les déports courts, le temps de parcours sur un 

regroupement PMC est hyperbolique ; 

Si on trace les temps d’arrivée sur un graphe t 2 –x 2 , on 

obtient une droite dont la pente est 1/v 2 stk ; 

Le profil v stk = fct(t) est obtenu en reliant les pts à x = 0.

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




On effectue la sommation sur un panneau PMC après 

correction avec plusieurs vitesses sur une fenêtre donnée 

(i.e. de 1500 à 4500 m/s avec un incrément de 100 m/s). 

On peut ainsi déterminer un profil v stk en fonction du 

temps.

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Quand le rapport signal/bruit est faible, les amplitudes 

sommées ne permettent pas toujours de bien choisir le 

profil de vitesse ; 

Il existe d’autres mesures de cohérence entre traces que 

l’amplitude sommée : l’intercorrélation (normalisée ou 

non) et la semblance. 

Voyons les différences entre ces mesures. Soit un 

regroupement en PMC de M traces. 

le temps double à une trace i associé à une vitesse de 

sommation d’essai vstk est 

 

l’amplitude sommée est 

 

 

t(i) = 

t2 0 + x2 i 

v2 . 

stk 

M 

S = ∑ fi,t(i) , (9) 

i=1 

où f i,t(i) est l’amplitude de la trace i au temps t(i).

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




L’amplitude sommée normalisée est 

NS = ∑M i=1 f i,t(i) 

∑ M i=1 |f i,t(i)| . 

L’intercorrélation, calculée sur une fenêtre de temps T, est 

CC = 1 

2 ∑ ⎧ 

⎨ M 

⎩ t 

2 M 

− ∑ f 2 

⎫ 

⎬ 

i,t(i) . 

⎭ 

(10) 

∑ fi,t(i) i=1 

Ici, la sommation ∑t se fait sur les échantillons de temps de 

la fenêtre T. 

i=1

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




L’intercorrélation normalisée 

2 

NC = 

M(M − 1) ∑ t 

M−1 

∑ 

k=1 

M−k 

∑ 

i=1 

f i,t(i) f i+k,t(i+k) 

 

∑t f 2 

i,t(i) ∑t f 2 

i+k,t(i+k) 

L’intercorrélation normalisée par l’énergie est 

EC = 2 

M − 1 

Finalement, la semblance est 

NE = 1 

M 

CC 

∑t ∑ M i−1 f 2 

i,t(i) 

∑t ∑ M i=1 f i,t(i) 

∑t ∑ M i=1 f 2 

i,t(i) 

. (11) 

. (12) 

. (13)

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




On peut présenter le spectre de vitesse de deux façons :

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Facteurs affectant la justesse et la résolution du spectre de 

vitesse : 

Longueur du dispositif ; 

Couverture de sommation ; 

Rapport signal/bruit ; 

Muting ; 

Longueur de la fenêtre T ; 

Corrections statiques ; 

Choix de la mesure de cohérence ; 

Déviation du modèle hyperbolique ; 

Bande passante des données.

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence de la longueur du dispositif : 

Absence des déports longs

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence de la longueur du dispositif : 

Absence des déports courts

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence de la couverture :

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence du rapport 

signal/bruit :

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence du muting : 

(b) compensé (c) non compensé

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence de la fenêtre T : 

une fenêtre trop longue diminue la résolution verticale

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Influence des corrections statiques 

sans 

 

avec

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 



Analyse de vitesse interactive 

Collection PMC Spectre de vitesse Corrigé

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Vitesse sur-estimée

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Vitesse sous-estimée

Introduction 






Introduction 





Principes 



DMO dans le 




Intervention locale

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Correction DMO

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Correction Dip-Moveout 

S’il y a des réflecteurs de pendages différents, la correction 

NMO n’est plus adéquate car il faut choisir une vitesse de 

sommation vNMO qui ne peut représenter les différents 

pendages ; 

Rappel : pour un pendage φ, v NMO = v 

cos φ . 

Situations classiques de réflecteurs conflictuels : 

faille de décrochement ; 

flancs d’un dôme de sel. 

La correction Dip-Moveout (DMO), appliquée après la 

correction NMO, permet de préserver les pendages. 

La migration après sommation donnera alors un meilleur 

résultat.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Exemple 

Section sommée 

Section migrée 

✛ ✘ 

✚ ✙ 

sans DMO avec DMO

Introduction 






Introduction 


Principes 

Section déport nul 



DMO dans le 



Principes

Introduction 






Introduction 


Principes 




DMO dans le 



Principes 

Source Récepteur 

migration 

trace migrée 

trace zero-offset 

trace point milieu 

DMO 

NMO 

L’idée de la correction DMO est de replacer l’événement à 

la position déport nul (zero-offset).

Introduction 






Introduction 


Principes 




DMO dans le 




v 

S, R 

La section déport nul (zero-offset) est obtenue en 

considérant une source et un récepteur coïncidant ; 

Les rais sismiques sont perpendiculaires aux réflecteurs ; 

Cette géométrie est conceptuelle : elle ne peut être réalisée 

en pratique. 

La migration après sommation repose sur le concept de 

section déport nul.

Introduction 






Introduction 


Principes 



Quelques observations 

Équations de la correction 

DMO 

DMO dans le 



Calcul de la correction DMO

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 



Calcul de la correction DMO 

h h 

S ym y0 yn G ym y0 yn R N 

φ 

La procédure comporte deux étapes : 

τ 

D C 

τ 0 

B 

A 

tn 

B’ t0 

1 Appliquer la correction NMO pour passer de A au temps t à 

B au temps tn, tout deux au point yn ; 

2 Appliquer la correction DMO pour passer de B situé au 

point milieu yn, à C au temps τ 0 et au point zero-offset y 0. 

t

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 



Calcul de la correction DMO 

On effectue d’abord la correction NMO sans pendage : 

avec An = 

t 2 = t 2 n + 4h2 

v2 → ∆tNMO = tn(An − 1), 

 

2 2v , et v la vitesse dans la couche 

1 + h2 

t 2 n 

supérieure. 

La DMO implique un changement dans le temps : 

 

∆tDMO = tn − τ0 = tn 1 − 1 

 

, (14) 

A 

et dans l’espace : 

avec A = 

 

1 + h2 

t 2 n 

∆yDMO = h2 

tnA 

 

2 sin φ 

2 

v . 

2 sin φ 

v 

 

, (15)

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 




La correction DMO est proportionnelle au pendage ; 

La correction DMO diminue en fonction du temps ; 

∆yDMO ≤ 2h ; 

La correction DMO est inversement proportionnelle à la 

vitesse ; 

Pour un pendage φ donné, la correction DMO est 

proportionnelle au déport 2h ; 

Puisque la correction DMO occasionne une translation 

dans le temps et l’espace, on parle parfois de migration 

partielle avant sommation.

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 



Équations de la correction DMO 

On arrive aux équations de la DMO en partant de 

l’équation NMO pour un réflecteur incliné 

t 2 = t 2 0 + 4h2 cos2 φ 

v2 ; (16) 

où t0 est le temps zero-offset au point milieu yn ; 

La correction DMO est précédée de la correction NMO 

avec une vitesse indépendante du pendage, soit 

t 2 = t 2 n + 4h2 

v 2 

(17) 

où tn est le temps de la réflexion après la correction NMO ;

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 




On peut relier t0 et tn en récrivant l’équation (16) 

d’où on peut tirer 

On a ainsi que 

ou 

t 2 = t 2 0 

t0 = tn 

+ 4h2 

v2 − 4h2 sin2 φ 

v2 t 2 n = t 2 0 − 4h2 sin 2 φ 

v 2 

 

1 + h2 

t 2 n 

t0 = tnA avec A = 

 

2 sin φ 

v 

1 + h2 

t 2 n 

2 

; (18) 

2 sin φ 

v 

(19) 

(20) 

2 

. (21)

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 




L’objectif de la DMO est de repositionner le réflecteur à 

τ0-y0 et non à t0-yn ; 

La géométrie du problème nous dit que 

y0 = yn − ∆ 

cos φ 

où ∆ est la distance entre les points R et N. 

On peut montrer que ∆ = 2h2 

vt cos φ sin φ, avec quoi on 

0 

obtient 

y0 = yn − h2 

 

2 sin φ 

v 

équivalent à 

t0 

y0 = yn − h2 

 

2 sin φ 

tnA v 

 

∆yDMO (22) 

(23) 

(24)

Introduction 






Introduction 


Principes 





DMO 

DMO dans le 




La géométrie du problème nous dit également que 

τ0 = t0 − 

2∆ tan φ 

v 

En sortant ∆ et après un peu d’algèbre, on arrive à 

qui équivaut à 

τ0 = t0 − h2 

t0 

τ0 = tnA − h2 

tnA 

2 sin φ 

v 

2 sin φ 

On retrouve ainsi ∆tDMO = tn − τ0 = tn 

v 

2 

2 

≡ tn 

A 

 

1 − 1 

A . 

(25) 

(26) 

(27)

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 


Domaine f –k : Illustration 

Méthode Log-Stretch 


DMO dans le domaine f –k

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 





DMO dans le domaine f –k 

En pratique, φ n’est pas connu. 

Il est possible d’éviter l’évaluation de φ en travaillant dans 

le domaine f –k ; 

Domaine f –k, définition générale : 

Partant de la compressibilité P = P(y, z, t) et de l’équation 

acoustique (onde P) 

 

∂2 ∂2 1 

+ − 

∂y2 ∂z2 v2 ∂2 ∂t2 

P(y, z, t) = 0, (28) 

et P = ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33, avec ɛ la déformation ; 

On peut faire la transformée de Fourier de la variable temps 

t, et si v ne varie pas latéralement on peut aussi transformer 

selon la variable spatiale y : 

 

P(ky, z, ω) = P(y, z, t) exp(iky − iωt)dy dt. (29) 

avec ky le nombre d’onde et ω la fréquence angulaire.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






Ondelette – f dom = 10 Hz 

Temps (s) 

0 

1 

2 

3 

4 

2 

Distance (km) 

4 6 

Domaine x-t 

Freq (Hz) 

-10 

0 

-5 

Nbr d’onde (cycle/km) 

0 5 

20 

40 

60 

80 

100 

Domaine f-k

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 







Temps (s) 

0 

1 

2 

3 

4 

2 

Distance (km) 

4 6 

Domaine x-t 

Freq (Hz) 

-10 

0 

-5 


0 5 

20 

40 

60 

80 

Domaine f-k

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 







Temps (s) 

0 

1 

2 

3 

4 

2 

Distance (km) 

4 6 

Domaine x-t 

Freq (Hz) 

-10 

0 

-5 


0 5 

20 

40 

60 

80 

Domaine f-k

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






Sur la section sismique après NMO, le référentiel est 

Pn(yn, tn; h), où h est le déport ; 

L’objectif de la DMO est de passer au référentiel 

P0(y0, τ0; h) ; 

On peut montrer que (Yilmaz, 2001) 

sin φ = vky 

, (30) 

2ω0 

où ky et ω0 sont respectivement y0 et τ0 dans le domaine de 

Fourier ; 

En utilisant (30) et les équations (14) et (15), on a 

 

avec A = 

y0 = yn − h2 ky 

tnAω0 

1 + h2k2 y 

t2 nω2 . 

0 

et τ0 = tn 

, (31) 

A

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






On peut également montrer que la correction DMO dans le 

domaine f –k se fait par l’intégrale (annexe E.2 de Yilmaz) 

P0(ky, ω0; h) = 

2A 2 − 1 

A 3 

Pn(ky, tn; h) exp(−iωotnA)dtn. 

(32) 

On récupère ensuite P0 par transformée de Fourier inverse : 

 

P0(y0, τ0; h) = P0(ky, ω0; h) exp(−ikyy0 + iω0τ0)dky dω0.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






En résumé, les étapes de la correction DMO dans le domaine 

f –k sont : 

1 On démarre avec les données PMC (P(y, h, t)) et on 

applique la correction NMO avec v indépendant du 

pendage ; 

2 On classe ensuite les données PMC en section déport 

constant (common offset), i.e. on passe de Pn(yn, h, tn) à 

Pn(yn, tn; h) ; 

3 On applique la transformée de Fourier sur chaque section 

déport constant, pour obtenir Pn(ky, tn; h) ; 

4 Équation (32) : pour chaque fréquence ω0 

appliquer le déphasage exp(−iω 0tnA) ; 

multiplier par (2A 2 − 1)/A 3 ; 

sommer pour tout les tn ; 

5 On applique finalement la transformée de Fourier 2D 

inverse pour obtenir P0(y0, τ0; h).

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 





DMO dans le domaine f –k : Illustration 

Soit un modèle homogène (v=3000 m/s) comportant six 

points diffractants ; 

Réflecteurs non hyperboliques lorsque le PMC est décalé 

p/r aux points diffractants ; 

On a généré les données de 32 sections à déport constant : 

déports 0 : 50 : 1550 m ; 

63 points miroirs par section.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






(a) Section déport nul (zero-offset) théorique ; 

(b) Données synthétiques sommées après correction NMO 

3000 m/s ; 

(c) Données synthétiques sommées après correction NMO 

3600 m/s.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 





DMO dans le domaine f –k : Illustration

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






Étapes intermédiaires du traitement DMO 

(a) Sections déport constant pour des déports de 50 à 1500 

m, avec incrément de 300 m ; 

(b) Données de (a) classées en point miroir commun ; 

(c) Sections (b) après correction NMO et mute.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 





DMO dans le domaine f –k : Illustration

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






Étapes intermédiaires du traitement DMO 

(a) Sections corrigées NMO et mute reclassées en section 

déport constant pour des déports de 50 à 1500 m, avec 

incrément de 300 m ; 

(b) Réponse impulsionnelle de l’opérateur DMO ; 

(c) Sections (a) après application de l’opérateur DMO ; 

(d) Données de (c) classées en point miroir commun.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






a) Section déport nul (zero-offset) théorique ; 

b) Données synthétiques sommées après correction NMO 

3000 m/s ; 

c) Données synthétiques sommées après corrections NMO 

et DMO.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






Il est possible d’accélérer les calculs lors de l’application de 

l’équation (32) en faisant un changement de variable ; 

Hypothèse : A ≈ 1, ce qui implique une des conditions : 

petit déport h ; 

faible pendage φ ; 

temps tn long ; 

vitesse v élevée. 

En introduisant T0 = ln τ0 et Tn = ln tn, on peut écrire 

et 

où Ae = 

 

T0 = Tn − ln Ae, 

y0 = yn − h2ky , 

AeΩ0 

1 + h2 ky 

Ω 0 et Ω0 est T0 dans le domaine de Fourier.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






La correction DMO devient 

 

P0(ky, Ω0; h) = exp 

−i h2k2 y 

+ iΩ0 ln Ae 

AeΩ0 

 

Pn(ky, Ω0; h). 

où Pn(ky, Ω0; h) est la transformée de Fourier 2D de 

Pn(yn, Tn; h). 

On peut accélérer les calculs davantage en notant que le 

point miroir est invariant : le premier terme de 

l’exponentielle de (33) est ainsi éliminé ; 

De plus, en approximant ln Ae = Ae − 1, on obtient 

⎡ ⎛ 

⎞⎤ 

P0(ky, Ω0; h) = exp ⎣iΩ0 ⎝ 

1 + h2 k 2 y 

Ω0 

(33) 

− 1⎠⎦ 

Pn(ky, Ω0; h). 

(34)

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 






En résumé, les étapes de la correction DMO par la méthode 

Log-Stretch sont : 

1 On démarre avec les données PMC (P(y, h, t)) et on 

applique la correction NMO avec v indépendant du 

pendage ; 

2 On classe ensuite les données PMC en section déport 

constant (common offset), i.e. on passe de Pn(yn, h, tn) à 

Pn(yn, tn; h) ; 

3 On effectue le changement de variable pour obtenir 

Pn(yn, Tn; h) ; 

4 On applique la transformée de Fourier 2D sur chaque 

section déport constant, pour obtenir Pn(ky, tnΩ0; h) ; 

5 On applique l’équation (34) pour obtenir P0(ky, Ω0; h) ; 

6 On applique finalement la transformée de Fourier 2D 

inverse pour obtenir P0(y0, T0; h) ; 

7 On fait finalement le changement de variable inverse pour 

obtenir P0(y0, τ0; h).

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 

Gradient vertical de 


En résumé 

Influence de la vitesse

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

Influence d’erreurs sur l’estimation de la 


Si la vitesse choisie pour faire la correction NMO est 

fausse, la qualité de la correction DMO est dégradée ; 

Procédure possible : 

Choisir une vitesse et faire la NMO ; 

Appliquer la DMO ; 

Faire la NMO inverse et refaire l’analyse de vitesse ; 

Appliquer la NMO avec la nouvelle vitesse.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


vitesse

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 





3600 m/s ; 


et DMO pour v=3600 m/s.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


vitesse

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 





3000 m/s ; 


et DMO pour v=3600 m/s, correction NMO 3600 m/s 

inverse et correction NMO 3000 m/s.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

Gradient vertical de vitesse 

Jusqu’à maintenant on a considéré un milieu homogènes ; 

On peut dériver les équations pour des milieux présentant 

des gradients de vitesse ; 

Voyons les résultats pour un milieu stratifié.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


a) sections déport constant ; 

b) sections a) classées en PMC ; 

c) sections PMC après correction NMO vrms.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


a) sections déport constant après correction NMO ; 

b) réponse impulsionnelle DMO, modèle homogène ; 

c) réponse impulsionnelle DMO, modèle stratifié.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


a) sections déport constant après corrections NMO et DMO 

modèle homogène ; 

b) sections PMC après corrections NMO et DMO modèle 

homogène.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


a) sections déport constant après corrections NMO et DMO 

modèle stratifié ; 

b) sections PMC après corrections NMO et DMO modèle 

stratifié.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 


a) section déport nul théorique ; 

b) section sommée après correction NMO vrms ; 

c) section sommée après corrections NMO et DMO modèle 

homogène ; 

d) section sommée après corrections NMO et DMO modèle 

stratifié.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

En résumé 

Une erreur sur l’estimation de la vitesse dégrade la 

performance de la correction DMO, on procède alors en 

faisant ; 

une première analyse de vitesse ; 

la correction NMO pour un milieu stratifié ; 

la correction DMO ; 

la correction NMO inverse avec le modèle de vitesse 

précédent ; 

une deuxième analyse de vitesse ; 

la correction NMO avec le nouveau modèle de vitesse ; 

on peut alors faire la sommation et la migration. 

En pratique, si les gradients de vitesse sont relativement 

faibles, les équations pour un modèle homogène donnent 

des résultats satisfaisant.

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

En résumé 

a) 1 re analyse de vitesse b) 2 e analyse de vitesse (après DMO). 

a) 1 er modèle de vitesse b) 2 e modèle de vitesse (après DMO).

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

En résumé 

Section DMO sommée 

sans 2 e analyse de vitesse avec 2 e analyse de vitesse

Introduction 






Introduction 


Principes 



DMO dans le 



Erreurs sur v 



En résumé 

En résumé 

Section DMO migrée 

✗✔ 

✖✕ 

✗✔ 

✖✕ 

sans 2 e analyse de vitesse avec 2 e analyse de vitesse

Corrections dynamiques et analyse de vitesse - liamg

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