Méthodes sismiques 10 - Anisotropie - liamg

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
MÉTHODES SISMIQUES
10 - Anisotropie
Bernard Giroux
(bernard.giroux@ete.inrs.ca)
Institut national de la recherche scientifique
Centre Eau Terre Environnement
Version 1.0.2
Automne 2011

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Introduction

Introduction
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’anisotropie est définie comme la propriété d’être
dépendant de la direction ;
Si un milieu élastique est anisotrope, les ondes sismiques
se propageant dans différentes directions le feront à des
vitesses différentes ;
Dans les roches sédimentaires, les causes possibles
d’anisotropie sont :
une anisotropie intrinsèque causée par une orientation
préférentielle des grains ou par la forme des minéraux. Les
shales sont un bon exemple ;
une succession de lits isotropes de faible épaisseur par
rapport à la longueur d’onde sismique (Backus, 1962) ;
des fractures ou micro fissures orientées selon une direction
préférentielle ;
des contraintes non hydrostatiques.
Ces facteurs peuvent se combiner.

Introduction
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’anisotropie a longtemps été négligée dans le traitement
des données sismiques en raison de la difficulté à la
quantifier ;
Le traitement de l’anisotropie est devenu inévitable en
raison de
l’acquisition de données avec des déports longs ;
l’utilisation accrue des ondes S et de la biréfringence ;
δt
Milieu isotrope
Milieu anisotrope
axe rapide
Milieu isotrope
axe lent

Introduction
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’effet de l’anisotropie sur les ondes P est moins drastique
que sur les ondes S ;
Cependant, lorsque présente, ignorer l’anisotropie pour les
ondes P
provoque une distorsion dans l’imagerie des réflecteurs
inclinés et la migration avant sommation ;
entraîne une erreur sur la détermination de l’échelle de
profondeur en raison de l’incompatibilité entre la vitesse
verticale et la vitesse de sommation.
Depuis le milieu des années 90, les outils de traitement ont
été adaptés pour permettre un traitement adéquat.
La suite de ce cours est très largement tirée de Tsvankin
(2005).
Un traitement théorique exhaustif de la propagation des
ondes dans les milieux anisotropes est donné par Carcione
(2007).

Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Théorie de base
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Équation d’onde
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’équation d’onde pour les milieux anisotropes est
ρ ∂2 u i
∂t 2
− ∂τ ij
∂x j
= f i , (1)
avec
u = (u 1 , u 2 , u 3 ) le déplacement ;
x j les coordonnées cartésiennes ;
f i la force appliquée ;
τ ij le tenseur de contrainte ;
et où on assume une sommation des indices j = 1, 2, 3.
Contraintes et déformations e sont liées par la loi de
Hooke, dont la forme générale est
τ ij = c ijkl e kl . (2)
Le tenseur de déformation est
e kl = 1 ( ∂uk
+ ∂u )
l
. (3)
2 ∂x l ∂x k

Équation d’onde
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
En combinant (2) et (3) dans (1), et en assumant que le
tenseur c ijkl varie faiblement dans l’espace (dérivées
négligeables), on obtient
ρ ∂2 u i
∂t 2
− c ∂ 2 u k
ijkl = f
∂x j ∂x i . (4)
l
Notes :
Dans la littérature anglophone, c ijkl est nommé stiffness
tensor, traduit par tenseur des rigidités ;
La loi de Hooke peut aussi s’écrire e ij = s ijkl τ kl , où s ijkl est
nommé compliance tensor, traduit par tenseur des
complaisances.

Vitesse de phase et vitesse de groupe
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Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Solution pour une onde plane (f = 0) se propageant avec
une vitesse de phase V :
u k = U k e iω(n jx j /V−t)
U est le vecteur de polarisation ;
n est un vecteur normal au front d’onde (qui satisfait la
condition n j x j − Vt = const), qui permet de définir le vecteur
de lenteur p = n/V ;
ω est la fréquence angulaire.
Le vecteur de polarisation est donné par l’équation de
Christoffel
⎡
G 11 − ρV 2 ⎤ ⎡
G 12 G 13
⎣ G 21 G 22 − ρV 2 G 23
⎦ ⎣ U ⎤
1
U 2
⎦ = 0. (6)
G 31 G 32 G 33 − ρV 2 U 3
(5)

Vitesse de phase et vitesse de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les éléments G ik constituent la matrice de Christoffel et
valent
G ik = c ijkl n j n l . (7)
L’équation de Christoffel décrit un système à 3 valeurs
propres pour ρV 2 ;
Pour une phase (lenteur) donnée, l’équation (6) nous
donne ainsi trois vitesses de phase, une rapide qui
correspond à l’onde P et deux lentes (ondes S) ;
Dans un milieu anisotrope, ces composantes ne sont pas
nécessairement parallèles ou perpendiculaires à n :
il n’y a pas d’onde purement longitudinale ou transversale ;
on nomme le mode rapide « quasi-P » (ou qP), et les modes
lents « quasi-S 1 » et « quasi-S 2 »(ou qS).

Vitesse de phase et vitesse de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Le vecteur de la vitesse de groupe (V G ) indique la direction
et la vitesse à laquelle se propage l’énergie, et détermine
ainsi le rai sismique ;
source
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
θ
ψ
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
rai
vecteur de vitesse de phase k
front d’onde
V G est perpendiculaire au front d’onde ;
θ est l’angle du vecteur de lenteur p par rapport à la
verticale ;
ϕ est l’angle du rai sismique par rapport à la verticale.

Vitesse de phase et vitesse de groupe
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Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Le vecteur de la vitesse de groupe est obtenu par
V G = ∇ (k) (kV) = ∂(kV)
∂k 1
i 1 + ∂(kV) i 2 + ∂(kV) i 3 , (8)
∂k 2 ∂k 3
où k est le nombre d’onde (de magnitude k = ω/V) ;
|V| = (V G · n)
La magnitude de la vitesse de groupe est toujours plus
grande ou égale à celle de la vitesse de phase
correspondante.

Milieux tricliniques
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Notation de Voigt : on remplace les paires d’indices ij et kl
par 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6.
Les milieux tricliniques constituent le cas le plus général ;
On dénombre 21 rigidités indépendantes.
⎛
⎞
c 11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 16
c 12 c 22 c 23 c 24 c 25 c 26
c (trc) =
c 13 c 23 c 33 c 34 c 35 c 36
⎜c 14 c 24 c 34 c 44 c 45 c 46
⎟
⎝c 15 c 25 c 35 c 45 c 55 c 56
⎠
c 16 c 26 c 36 c 46 c 55 c 66
(9)

Milieux monocliniques
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Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
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VTI – vitesse de phase et
de groupe
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Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les milieux monocliniques
comportent un plan de symétrie ;
On dénombre 13 rigidités
indépendantes ;
Si le plan de symétrie est orthogonal
à l’axe x 3 , nous avons
⎛
⎞
c 11 c 12 c 13 0 0 c 16
c 12 c 22 c 23 0 0 c 26
c (mnc) =
c 13 c 23 c 33 0 0 c 36
⎜ 0 0 0 c 44 c 45 0
⎟
⎝ 0 0 0 c 45 c 55 0 ⎠
c 16 c 26 c 36 0 0 c 66
x 2
φ 1
x
φ 1
2
(10)

Milieux orthorombiques
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Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
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Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les milieux orthorombiques
comportent trois plans de
symétrie orthogonaux ;
On dénombre 9 rigidités
indépendantes ;
Si les plans de symétrie
correspondent à un système
cartésien, nous avons
⎛
⎞
c 11 c 12 c 13 0 0 0
c 12 c 22 c 23 0 0 0
c (ort) =
c 13 c 23 c 33 0 0 0
⎜ 0 0 0 c 44 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 c 55 0 ⎠
0 0 0 0 0 c 66
(11)

Isotropie transverse
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Vitesse de phase et de
groupe
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de groupe
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Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Dans la majorité des cas, et en particulier dans les milieux
sédimentaires, les milieux comportent un axe de symétrie
radiale, on est en présence d’isotropie transverse ;
On peut caractériser la signature sismique à partir de la
direction de propagation et de l’axe de symétrie ;
Le plan perpendiculaire à l’axe de symétrie est nommé
plan d’isotropie ;
Lorsque le plan d’isotropie est horizontal (par ex. pour des
shales en couches horizontales), on est en présence d’un
milieu à isotropie transverse avec axe de symétrie vertical
(VTI media en anglais), et nous avons 5 rigidités
⎛
⎞
c 11 c 11 − 2c 66 c 13 0 0 0
c 11 − 2c 66 c 11 c 13 0 0 0
c (vti) =
c 13 c 13 c 33 0 0 0
⎜ 0 0 0 c 55 0 0
(12)
⎟
⎝ 0 0 0 0 c 55 0 ⎠
0 0 0 0 0 c 66

Isotropie transverse
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groupe
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Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Lorsque l’axe est incliné (p. ex.
shales sur les flancs d’un dôme
de sel), on parle de « tilted
transverse isotropy », ou TTI
media ;
En présence de fissures orientées
dans un plan vertical, on parle
d’isotropie transverse horizontale
(HTI) ;
Nous avons toujours 5 rigidités indépendantes
⎛
⎞
c 11 c 13 c 13 0 0 0
c 13 c 33 c 33 − 2c 44 0 0 0
c (hti) =
c 13 c 13 − 2c 44 c 33 0 0 0
⎜ 0 0 0 c 44 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 c 55 0 ⎠
0 0 0 0 0 c 55
(13)

Milieu isotrope
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hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Dans le cas isotrope, nous n’avons plus que 2 constantes
indépendantes, les constantes de Lamé λ et µ, et le tenseur
vaut
⎛
⎞
λ + 2µ λ λ 0 0 0
λ λ + 2µ λ 0 0 0
c (iso) =
λ λ λ + 2µ 0 0 0
⎜ 0 0 0 µ 0 0
(14)
⎟
⎝ 0 0 0 0 µ 0⎠
0 0 0 0 0 µ

Paramètres de Thomsen
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Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Exprimer le degré d’anisotropie en termes de rigidités peut
s’avérer fastidieux et contre-intuitif ;
Pour les milieux VTI, Thomsen (1986) a défini des
paramètres permettant de séparer l’effet de l’anisotropie de
celui des vitesses « isotropes » P et S verticales :
√
c33
V P0 ≡
ρ , (15)
√
c55
V S0 ≡
ρ , (16)
ɛ ≡ c 11 − c 33
2c 33
, (17)
δ ≡ (c 13 + c 55 ) 2 − (c 33 − c 55 ) 2
, (18)
2c 33 (c 33 − c 55 )
γ ≡ c 66 − c 55
2c 55
. (19)

Paramètres de Thomsen
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groupe
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VTI – vitesse de phase et
de groupe
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hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Pour un milieu isotrope, ɛ, δ et γ valent zéro.
Ces paramètres peuvent donc servir à quantifier le degré
d’anisotropie.
Le paramètre ɛ est à peu près égal à la différence relative
entre la vitesse horizontale et la vitesse verticale de l’onde
P, et est souvent appelé « anisotropie de l’onde P ».
Note : V P (θ = 90) = √ c 11 /ρ.
Similairement, le paramètre γ donne la même mesure pour
l’onde SH ;
Le paramètre δ indique la dépendance angulaire de V P0 au
voisinage de la verticale, comme le montre la relation
d 2 V P
dθ 2 ∣ ∣∣∣θ=0
= 2V P0 δ, (20)
et est le paramètre déterminant sur la courbure
d’indicatrice (normal-moveout).

Paramètres de Thomsen
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Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
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Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les données expérimentales indiquent que ɛ et γ sont
généralement positifs ;
Dans les bassins sédimentaires, ɛ varie entre 0.1–0.3 pour
des roches modérément anisotropes et 0.3–0.5 (et
davantage) pour des shales compacts ;
On observe par ailleurs dans les shales des valeurs
modérément positives de δ (0.1–0.2), alors que des
successions de lits minces isotropes produisent des valeurs
faiblement négatives de ce paramètre ;
Lorsque ɛ = δ, le front d’onde P est une ellipse et
V(θ) =
√
V 2 0 cos2 θ + V 2 90 sin2 θ; (21)
on parle alors d’anisotropie elliptique.

Paramètres de Thomsen
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Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
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Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Partant de l’équation de Christoffel, on peut montrer que
V SH (θ) = V S0
√1 + 2γ sin 2 θ. (22)
Pour les ondes P et SV, on arrive à
V 2 (θ)
V 2 P0
= 1 + ɛ sin 2 θ − f 2
± f (
) 2
√
1 + 2ɛ sin2 θ
− 2(ɛ − δ) sin2 2θ
2
f
f
(23)
où f ≡ 1 − V2 S0
V 2 P0
= 1 − c 55
c 33
.

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’expression précédente peut se simplifier si l’anisotropie
est faible (|ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1) ;
On trouve alors
et
avec σ =
V P (θ) = V P0 (1 + δ sin 2 θ cos 2 θ + ɛ sin 4 θ) (24)
V SV (θ) = V S0 (1 + σ sin 2 θ cos 2 θ) (25)
(
VP0
V S0
) 2
(ɛ − δ).

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
La vitesse de groupe est obtenue en appliquant
l’équation (8) ;
Pour les ondes SH, on arrive à
V G =
V √
S0 1 + 2γ
√
1 + 2γ cos 2 ψ
(26)
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
et le front d’onde est une ellipse.
Pour les ondes P et SV, le front d’onde n’est pas
nécessairement elliptique, et on a que
√
( ) 1 dV 2
V G = V 1 + , (27)
V dθ
tan ψ = tan θ + V 1 dV
dθ
1 − tan V
θ . (28)
dV
dθ

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
Front d’une onde P et rais associés pour un milieu VTI
homogène avec ɛ=0.15 et γ=-0.1.
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les rais sont calculés pour un incrément constant de
l’angle de phase θ.

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
Front d’une onde SV et rais associés pour un milieu VTI
homogène avec ɛ=0.15, γ=-0.1 et σ=0.42.
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Les rais sont calculés pour un incrément constant de
l’angle de phase θ.

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

VTI – vitesse de phase et de groupe
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Méthode de Backus
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Backus (1962) a montré qu’un milieu stratifié (hétérogène)
composé de couches (isotropes ou non) se comporte
comme un milieu anisotrope homogène à la limite des
grandes longueurs d’onde ;
Soit un système à isotropie transverse arbitrairement
orienté, le tenseur des rigidités peut s’écrire
⎛
⎞
a b f 0 0 0
b a f 0 0 0
f f c 0 0 0
⎜0 0 0 d 0 0
, m = 1 (a − b) (29)
⎟ 2
⎝0 0 0 0 d 0 ⎠
0 0 0 0 0 m
où a, b, c, d et f sont les cinq constantes indépendantes.
Définissons l’opérateur 〈·〉 comme la moyenne des
propriétés pondérées par leur fraction volumique.

Méthode de Backus
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Backus a montré que le tenseur des rigidités effectives vaut
⎛
⎞
A B F 0 0 0
B A F 0 0 0
F F C 0 0 0
⎜0 0 0 D 0 0
, M = 1 (A − B) (30)
⎟
2
⎝0 0 0 0 D 0 ⎠
0 0 0 0 0 M
où
A = 〈a − f 2 c −1 〉 + 〈c −1 〉 −1 〈fc −1 〉 2 ;
B = 〈b − f 2 c −1 〉 + 〈c −1 〉 −1 〈fc −1 〉 2 ;
C = 〈c −1 〉 −1 ;
F = 〈c −1 〉 −1 〈fc −1 〉 ;
D = 〈d −1 〉 −1 ;
M = 〈m〉.

Méthode de Backus
Introduction
Théorie de base
Équation d’onde
Vitesse de phase et de
groupe
Symétries
Paramètres de Thomsen
VTI – vitesse de phase et
de groupe
Méthode de Backus
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Si les couches individuelles sont isotropes, nous avons
a = c = λ + 2µ, b = f = λ et d = m = µ ;
Pour le milieu effectif, nous avons alors :
〈 〉 〉 4µ(λ+µ)
−1 〈 λ
A =
B =
λ+2µ
〈 2µλ
λ+2µ
〈 〉 −1
C = 1
λ+2µ ;
F =
〈 1
λ+2µ
D =
〈 1µ
〉 −1
;
M = 〈µ〉.
〈
+ 1
〉 〈
+ 1
λ+2µ
〉 −1 〈 λ
λ+2µ
λ+2µ
λ+2µ
〉 2
;
〉 −1 〈 λ
λ+2µ
〉 2
;
〉
;

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Anisotropie et AVO
Références

Généralités
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
En analyse AVO, on étudie la variation du coefficient de
réflexion en fct de l’angle d’incidence (et non la variation
de l’amplitude comme le nom l’indique...) ;
Comme on peut s’en douter, le coefficient de réflexion
entre deux milieux sera affecté par une anisotropie (d’un
ou des deux milieux) ;
Si la ou les couches supérieures sont anisotropes, la
propagation (et l’amplitude) de l’onde sera conditionnée
par cette anisotropie ;
on observe une focalisation ou « défocalisation » de l’énergie
respectivement dans les zones de plus ou moins forte
concentration de rais sismiques ;
il faut pouvoir corriger ces effets pour calculer correctement
les coefficients de réflexion.

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Pour les milieux VTI à faible anisotropie, une source
ponctuelle F à l’origine et un récepteur à (r, z), l’amplitude
au champ lointain est (Tsvankin, 2005)
A(R, θ) =
F u
4πρV 2 (θ)R
} {{ }
isotrope
1
√ ( ) , (31)
sin ψ
sin θ
1 +
V 1 d2 V
dθ 2
où R = √ z 2 + r 2 et F u est la projection de F sur le vecteur
de déplacement.
Pour une onde P, nous avons (sous condition |ɛ| ≪ 1,
|δ| ≪ 1)
F u
1 − 2(ɛ − δ) sin 2 2θ + δ sin 2 θ
A P (R, θ) =
4πρVP0 2 R . (32)
1 + 2δ
Pour une onde SV, nous avons (sous condition |σ| ≪ 1)
F u 1 − 2σ sin 2 2θ + σ sin 2 θ
A SV (R, θ) =
4πρVS0 2 R . (33)
1 + 2σ

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
V P0 =8328 m/s, V S0 =4606 m/s, ɛ=-0.008, δ=-0.059, σ=0.168.
Traits pleins : eqns (32) et (33), pointillés : solutions exactes
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Amplitude au champ lointain
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Coefficient de réflexion
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
En utilisant l’approximation de faible anisotropie
(|ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1), il est possible de décomposer le
coefficient de réflexion d’une onde plane en deux
composantes
R(θ) = R iso (θ) + R aniso (θ). (34)
Pour les ondes P, la composante due à l’anisotropie est
R aniso,P (θ) = 1 2 (δ 2 − δ 1 ) sin 2 θ + 1 2 (ɛ 2 − ɛ 1 ) sin 2 θ tan 2 θ,
(les indices 1 et 2 réfèrent aux couches supérieure et
inférieure respectivement)
Note : un traitement détaillé du coefficient de réflexion est
donné par Rüger (2001).
(35)

Coefficient de réflexion
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Le paramètre δ a une influence prépondérante au déports
courts ;
Anisotropie et NMO
10 1 0 10 20 30 40 50 60 70
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
10 0
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
sin 2 θ
sin 2 θ tan 2 θ
θ (°)

Coefficient de réflexion
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Couche inférieure isotrope (cas shale/sable) ;
Haut : Ampl. norm. iso., bas : R aniso,P (θ) avec ɛ 2 = δ 2 = 0.
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références

Gradient AVO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Amplitude au champ
lointain
Coefficient de réflexion
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Le gradient AVO (terme G de Shuey) aux angles faibles
(

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Anisotropie et NMO
Annexe
Références

Généralités
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Le temps de parcours en fonction du déport x pour des
données en CMP est communément approximé par une
expansion en série de Taylor
t 2 = A 0 + A 2 x 2 + A 4 x 4 + . . . , (36)
où les coefficients sont
A 0 = t 2 0 , A 2 = d(t2 )
d(x 2 ) ∣ , A 4 = 1 d
x=0
2 d(x 2 )
t 0 est le temps double à x = 0.
[ d(t 2 ]∣
) ∣∣∣x=0
d(x 2 ;
)
(37)
La vitesse NMO décrit un moveout hyperbolique et est
obtenue en ne considérant que les deux premiers termes
t 2 hyp = t2 0 +
x2
V 2 nmo
, Vnmo 2 = 1 = d(x2 )
A 2 d(t 2 ) ∣ . (38)
x=0

Généralités
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’anisotropie entraîne deux distorsions principales :
la vitesse NMO n’est pas équivalente à la vitesse RMS valide
pour les milieux isotropes. Ceci cause des erreurs dans la
conversion temps-profondeur et produit des images migrées
en profondeurs (avec les algorithmes conventionnels) avec
un axe vertical erroné ;
la courbure d’indicatrice n’est pas hyperbolique, et la
sommation sera dégradée.

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Équations NMO 2D dans une couche
anisotrope
Tsvankin a montré que
S
z
V nmo (φ) = V(φ)
cos φ
θ
ψ V
V G
x
CMP
√
1 + 1
V(φ)
1 − tan φ
V(φ)
rai «incidence normale»
∣
d 2 V ∣∣θ=φ
dθ 2
∣
dV ∣∣θ=φ
. (39)
dθ
R
z 0
Réflecteur
φ

Équations NMO 2D dans une couche
anisotrope
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Si le réflecteur est horizontal (φ = 0), l’équation (39) se
simplifie à
V nmo (0) = V(0)
√
1 + 1
V(0)
d 2 V
dθ 2 ∣ ∣∣∣θ=0
(40)
Nous avons pour les modes P, SV et SH (couche VTI)
V nmo,P (0) = V P0
√
1 + 2δ; (41)
V nmo,SV (0) = V S0
√
1 + 2σ; (42)
V nmo,SH (0) = V S0
√
1 + 2γ. (43)
Ces équations sont valides indépendamment de l’intensité
de l’anisotropie.
Les équations pour φ ̸= 0 en milieu VTI obtenues pour
|ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1 sont données par Tsvankin (2005).

NMO 2D dans une couche anisotrope
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Lorsque φ ̸= 0 en milieu VTI et que |ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1, nous
avons
V nmo (φ) = V P(φ)
cos φ
[
]
1 + δ + 2(ɛ − δ) sin 2 φ(1 + 2 cos 2 φ) ;
Examinons comment se comporte (44) par rapport à un
réflecteur horizontal, pour lequel
V nmo (0) = V P0 (1 + δ);
(44)
En utilisant ces deux équations, on trouve
V nmo (φ) cos φ
V nmo (0)
= 1 + δ sin 2 φ + 3(ɛ − δ) sin 2 φ(2 − sin 2 φ)
} {{ }
«erreur DMO»
(45)

« Erreur DMO »
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Trait plein : méthode t 2 –x 2 , pointillé : solution exacte,
tireté : solution |ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1

« Erreur DMO »
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Trait plein : méthode t 2 –x 2 , pointillé : solution exacte,
tireté : solution |ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1

« Erreur DMO »
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Trait plein : méthode t 2 –x 2 , pointillé : solution exacte,
tireté : solution |ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1

« Erreur DMO »
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Trait plein : méthode t 2 –x 2 , pointillé : solution exacte,
tireté : solution |ɛ| ≪ 1, |δ| ≪ 1

Paramétrisation alternative
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Il est possible d’exprimer l’équation (39) en termes des
composantes horizontale (p = sin θ/V) et verticale
(q = cos θ/V) du vecteur de lenteur (Cohen, 1998)
où q ′ ≡ dq/dp et q ′′ = d 2 q/dp 2 ;
√
q
V nmo (p) =
′′
pq ′ . (46)
− q ∣
p(φ)
Cette expression est évaluée pour le rai déport-nul
(p = sin φ/V) et verticale (q = cos φ/V) ;
Cette formulation a une application directe en analyse de
vitesse, inversion et pour différente étapes du traitement.

Conversion temps-profondeur
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
L’équation NMO pour des
réflecteurs inclinés est
obtenue à partir du paramètre
du rai p (qui correspond à la
lenteur horizontale) ;
Hypothèse : le plan
d’incidence est un plan de
symétrie de l’anisotropie ;
V (N) est la vitesse de phase
dans la N e couche, x (i) est le
déplacement horizontal du
rai ;
Couche 1
Couche N-1
Couche N
x/2
CMP
x 0
x (1) x (N-1) x (N)
rai déport nul
p=sinφ/V (N) (φ)
φ
Réflecteur

Conversion temps-profondeur
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
La vitesse NMO pour le modèle de la diapo précédente est
où
V 2 nmo(N) = 1 t 0
N
∑
i=1
[
V nmo(p)
(i) ] 2 (i) t o (p), (47)
t (i)
0
(p) est le temps de parcours dans la couche i pour le rai
déport nul. Note : t 0 (p) = t 0 (0)V P0 (q − pq ′ ) ;
t 0 = ∑ N i=1 t(i) 0 ;
V (i)
nmo(p) est la vitesse d’intervalle NMO pour le rai p.
On peut appliquer la formule de Dix pour retrouver les
vitesses d’intervalle
[
V nmo
(i) ] 2 V 2
=
nmo(i)t o (i) − Vnmo(i 2 − 1)t 0 (i − 1)
, (48)
t 0 (i) − t 0 (i − 1)
où ici t 0 (i − 1) et t 0 (i) sont les temps doubles des couches
supérieure et inférieure.

Conversion temps-profondeur
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Équations NMO 2D
Paramétrisation
alternative
Conversion
temps-profondeur
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Pour un réflecteur horizontal, on peut montrer que la
vitesse NMO est reliée à la vitesse RMS par
Vnmo(N) 2 = V0,rms 2 (1 + 2ξ), (49)
où V0,rms 2 est la moyenne RMS (pondérée par t(i) o ) de la
vitesse verticale vraie et ξ est la moyenne du paramètre
d’anisotropie de l’onde considérée
1
ξ =
V0,rms 2 t 0
N [
∑
i=1
V (i)
0
] 2
ζ (i) t (i)
0 , (50)
ζ étant δ pour l’onde P, ɛ pour l’onde SV et γ pour l’onde
SH.
L’équation (49) nous indique que l’erreur relative sur la
profondeur vaut ≈ ξ, i.e. si ξ = 0.1, l’erreur est ≈ 10%.

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Onde P – milieu VTI
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Courbure d’indicatrice non hyperbolique

Motivation
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Onde P – milieu VTI
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Le canevas NMO est valable lorsque le dispositif
d’acquisition est de longueur inférieure à la distance entre
le CMP et le réflecteur ;
Pour des déports plus longs, la courbure d’indicatrice n’est
plus hyperbolique et l’utilisation du modèle NMO ne
permet pas de bien corriger la courbure ;
Une solution est de considérer les termes d’ordre
supérieurs à 2 dans la série de Taylor (36).
Grès de Taylor : V P0 =3368 m/s, V S0 =1829 m/s, ɛ=0.110, γ=-0.035, σ=0.492.

Onde P – milieu VTI
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Onde P – milieu VTI
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Le terme d’ordre 4 pour l’onde P vaut
avec f ≡ 1 − V 2 S0 /V2 P0 ;
2(ɛ − δ)(1 + 2δ/f )
A 4,P = −
t 2 P0 V4 P0 (1 + , (51)
2δ)4
Une solution assez précise et plus pratique est obtenue en
posant que le ratio VS0 2 /V2 P0
est négligeable (f = 1), ce qui
donne
A 4,P = −
t 2 P0 V4 P0
2(ɛ − δ)
= −
2η
(1 + 2δ)4
t 2 P0 V4 nmo
, (52)
où V nmo ≡ V nmo (0) et η décrit l’« inellipticité », et vaut par
définition
η ≡ ɛ − δ
1 + 2δ . (53)
η est central pour le traitement de l’anisotorpie en temps.

Onde P – milieu VTI
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Onde P – milieu VTI
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Même en utilisant le terme
d’ordre 4, l’erreur est non
négligeable pour les longs
déports ;
Une bonne approximation est
donnée par Tsvankin and
Thomsen (1994)
t 2 = t 2 0 +
x2
V 2 nmo
+ A 4x 4
1 + Ax 2 (54)
t 2 A : éq. (54)
t 2 T : Taylor ordre 4
A
où A ≡ 4
;
V90 −2−V−2
nmo
En terme de η, nous avons
t 2 = t 2 0 +
x2
V 2 nmo
+
2ηx 4
V 2 nmo[t 2 0 V2 nmo + (1 + 2η)x 2 ] . (55)

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Estimation de l’anisotropie
Annexe
Références

Généralités
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
Une fois que la présence d’anisotropie est détectée, il faut
la quantifier pour effectuer les corrections nécessaires ;
Cette tâche est difficile, en particulier si l’on veut migrer les
données en profondeur ;
seulement pour un milieu VTI simple, il faut déterminer 4
paramètres (V P0 , V S0 , δ, ɛ) ;
il faut pouvoir recourir à des mesures 3C, des VSP, tomo
entre trous).
Dans le cas de traitement des ondes P dans le domaine du
temps, la situation est moins compliquée.
Si le milieu VTI contient un réflecteur incliné sous des
couches horizontales, on peut effectuer les traitements en
temps (NMO, DMO, migration avant et après sommation)
en connaissant V nmo (0) et η dans chaque couche ;
Ces deux paramètres peuvent être obtenus à partir de la
courbure d’indicatrice non hyperbolique, donc en utilisant
seulement les réflexions des ondes P mesurées en surface ;

Détermination du paramètre η
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
Il n’y a pas de procédure unique pour déterminer η ;
En présence de réflecteurs inclinés, on peut procéder à
partir des équations (46) et (47) (méthode « TZO »
transformation to zero offset) ;
Dans le cas de réflecteurs horizontaux, on travaille avec le
formalisme de la courbure d’indicatrice non hyperbolique ;
Chaque approche comporte des variantes algorithmiques
détaillées dans Tsvankin (2005).

Méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
On cherche d’abord la vitesse d’intervalle NMO à partir de
la vitesse NMO pointée pour p = 0 ;
On part de l’équation (47) de Dix anisotrope sous une
forme intégrale, exprimée en utilisant (46), soit
Vnmo(p, 2 t 0 ) = 1 ∫ to (p) q ′′
t 0 (p) 0 pq ′ dt (56)
− q
où l’intégration se fait le long du rai (oblique) ;
Le temps de parcours oblique (dt) est lié au temps
d’intervalle vertical (dτ) par
ce qui nous amène à
dt = V P0 (q − pq ′ )dτ, (57)
V 2 nmo(p, τ) = − 1
t 0 (p, τ)
∫ τ
0
V P0 (ξ)q ′′ (ξ)dξ, (58)
où ξ a la signification de temps vertical (référentiel des
mesures) ;

Méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
Le temps déport nul correspondant à V 2 nmo(p, τ) est obtenu
en intégrant (57)
t 0 (p, τ) =
∫ τ
0
V P0 (ξ)[q(ξ) − pq ′ (ξ)]dξ. (59)
On trouve la vitesse d’intervalle en posant p = 0, et en
procédant à l’inversion de
V 2 nmo(p = 0, τ) = 1 τ
∫ τ
0
Vnmo,int 2 (0, ξ)dξ, (60)
Note 1 : V 2 nmo,int = V2 P0,int (1 + 2δ int) ;
Note 2 : cette procédure est numériquement instable. Une
solution est d’approximer V nmo,int par un polynôme et
d’inverser pour les coefficients du polynôme.

Méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
À partir de (58) et (59), on peut ensuite trouver η int par
inversion ;
Les données d’entrée sont V 2 nmo(p, t 0 ) et les valeurs
correspondantes de p et de t 0 sur la section déport nul ;
On peut déterminer ces paramètres à partir des sections
sommées à vitesse constante ou avec la semblance ;
p est la pente du réflecteur sur la section déport nul ;
Comme pour V nmo,int , on peut approximer η int par un
polynôme pour stabiliser les calculs.

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Données migrée en temps, traitement isotrope (NMO,
DMO, migration).
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
0
1
CMP
500 1000
Annexe
Références
Time (s)
2
3
4
5

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
Sections sommées à
vitesses constantes après
NMO & DMO isotropes ;
Réflecteurs
sub-horizontaux : OK pour
v ≈ 2200 m/s ;
Réflecteurs inclinés : OK
pour v ≈ 2400 m/s ;
Time (s)
Time (s)
1.2
1.6
2.0
2.4
Velocity (m/s)
2400 2450 2500 2550
1.2
1.6
2.0
Velocity (m/s)
2150 2200 2250 2300
2.4

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Estimation 1 – modèle homogène
Une valeur de η effectif de 0.07 est obtenue ;
Sections sommées à vitesses constantes après NMO &
DMO anisotropes.
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
Estimation 2 – modèle
hétérogène selon z
V nmo (0) et η obtenus à partir
de la vitesse NMO du
réflecteur incliné, évaluée en 5
points sur la faille ;
Région au dessus de 2 s (η
atteignant 0.12) correspond à
une formation de shale.
Time (s)
0
1
2
3
Velocity (m/s)
2000 4000
Time (s)
! int
0 0.05 0.10 0.15
0
1
2
3

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
→ section déport nul avec
NMO et (a) DMO isotrope
vitesse constante, et (b) DMO
isotrope v(z)
↓ (c) section déport nul après
NMO + DMO anisotrope avec
estimation 2
Time (s)
1.0
1.5
2.0
CMP
750 800 850 900 950
c
Time (s)
Time (s)
1.0
1.5
2.0
2.5
1.0
1.5
2.0
CMP
750 800 850 900 950
a
b
CMP
750 800 850 900 950
2.5
2.5

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
CMP après (a) TZO anisotrope, (b) NMO et DMO isotrope,
(c) NMO et DMO v(z) isotrope
Offset (km) Offset (km) Offset (km)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Annexe
Références
Time (s)
2
2
2
3
3
3
(a)
(b)
(c)

Exemple – méthode TZO
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
(a) migration anisotrope
des données (a) de la page
précédente
(b) migration isotrope des
données (b) de la page
précédente
Time (s)
Time (s)
CMP
900 1000
a
1
2
CMP
900 1000
1
b
2

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Déports longs inclus
CMP après correction NMO d’ordre 2
Déports longs coupés
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Zoom sur CMP après correction NMO d’ordre 2
Déports longs inclus
Déports longs coupés
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Spectre du paramètre η
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Portion non migrée
a) b) c)
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
a) isotrope, avec déports longs
b) isotrope, sans déports longs
c) anisotrope, avec déports longs

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Portion migrée après sommation
a) b) c)
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
a) isotrope, avec déports longs
b) isotrope, sans déports longs
c) anisotrope, avec déports longs

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Portion avec DMO non migrée
a) b) c)
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
a) isotrope, avec déports longs
b) isotrope, sans déports longs
c) anisotrope, avec déports longs

Analyse de vitesse - exemple
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Portion avec DMO migrée après sommation
a) b) c)
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Méthode TZO
Exemple – méthode TZO
Analyse de vitesse -
exemple
Annexe
Références
a) isotrope, avec déports longs
b) isotrope, sans déports longs
c) anisotrope, avec déports longs

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références
Annexe

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références
La transformée τ–p permet de décomposer le champ
acoustique en composantes d’onde plane ;
Cette transformation se fait par un changement de
coordonnée linéaire pour la dimension temporelle, et en
sommant selon l’axe des déports (slant stacking en anglais) ;
On peut alors visualiser les données en fonction du
paramètre du rai p ;
Chaque trace dans une regroupement τ–p correspond à une
onde plane se propageant à un angle donné par rapport à la
verticale.
Le domaine τ–p peut être avantageux pour plusieurs
traitements tels que :
migration ;
analyse de vitesse ;
interpolation des traces ;
suppression des multiples.
Hypothèse : le milieu est 1D

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références
Plusieurs tirs simultanés créent une onde plane
horizontale ;
Plusieurs tirs déphasés créent une onde plane inclinée ;
L’inclinaison θ est fonction de la vitesse de phase v, de la
distance entre les source ∆x et du délai entre les tirs ∆t
sin θ = v∆t
∆x . (61)

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
La loi de Snell stipule que la quantité sin θ/v est constante
le long d’un rai, et égale à p le paramètre du rai ;
Nous avons ainsi que
∆t = p∆x. (62)
Connaissant p et v(z), il est possible de tracer la trajectoire.
Références

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références
La transformée τ–p se fait en deux étapes :
une correction LMO (linear moveout) est appliquée par
τ = t − px, (63)
où x est le déport, t le temps double et τ l’intercepte à p = 0 ;
les données sont ensuite sommées selon x
S(p, τ) = ∑
x
P(x, τ + px), (64)
où S(p, τ) représente une onde plane associée à p.
L’opération est répétée pour plusieurs valeurs de p, de
façon à construire une collection « somme oblique »
(slant-stack gather, ou τ–p gather) ;
Note : cette opération est réversible.

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Illustration graphique de S(p, τ) = ∑ P(x, τ + px)
x
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références
Une hyperbole dans le domaine t–x correspond à une
ellipse dans le domaine τ–p.

Transformée τ–p
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Transformée τ–p
Références

Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Références

Références
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Backus, G. E. (1962). Long-wave elastic anisotropy
produced by horizontal layering. Journal of Geophysical
Research, 67(11) :4427–4440.
Carcione, J. M. (2007). Wave Fields in Real Media : Wave
Propagation in Anisotropic, Anelastic, Porous and
Electromagnetic Media, volume 38 of Handbook of Geophysical
Exploration : Seismic Exploration. Elsevier, 2 nd edition.
Cohen, J. K. (1998). A convenient expression for the nmo
velocity function in terms of ray parameter. Geophysics,
63(1) :275–278.
Mavko, G., Mukerji, T., and Dvorkin, J. (2009). The Rock
Physics Handbook. Cambridge University Press, 2 edition.
Rüger, A. (2001). Reflection Coefficients and Azimuthal AVO
Analysis in Anisotropic Media. Number 10 in Geophysical
Monograph. SEG.

Références
Introduction
Théorie de base
Anisotropie et AVO
Anisotropie et NMO
Courbure
d’indicatrice non
hyperbolique
Estimation de
l’anisotropie
Annexe
Références
Thomsen, L. (1986). Weak elastic anisotropy. Geophysics,
51(10) :1954–1966.
Tsvankin, I. and Thomsen, L. (1994). Nonhyperbolic
reflection moveout in anisotropic media. Geophysics,
59(8) :1290–1304.
Tsvankin, I. (2005). Seismic Signatures and Analysis of
Reflection Data in Anisotropic Media, volume 29 of Handbook
of Geophysical Exploration : Seismic Exploration. Elsevier.
Yilmaz, O. (2001). Seismic data Analysis. Society of
Exploration Geophysicists.