Comportement individuel face au risque : nouveaux apports dans le ...

supérieure ou égale à 3, la cascade n’est pas « nouvelle », l’agent précédant ayant déjà ignoré
son propre signal. Pour qu’il n’y ait pas de cascade, il faut que le signal reçu par un agent soit
contraire à celui reçu par l’agent qui le précède. Cela arrive, pour deux agents, avec une
probabilité
2.
q. ( 1−
q)
. Pour qu’il n’y ait pas de cascade après n agents, il faut que ce schéma
se reproduise n 2 fois. La probabilité qu’il n’y ait pas de cascade après n agents (NC) est
donc :
n
( 2.
q.
( 1 ) )2
P −
nc = q
On calcule également les probabilités que les cascades soient informatrices ou non sur la
véritable probabilité d’occurrence du risque. La probabilité d’avoir une cascade correcte (CC)
est obtenue en faisant la somme des probabilités qu’elle apparaisse après chacun des agents, et
ce jusqu’à l’agent n. On peut l’écrire :
P
P
P
bc
= q
2
+
n ⎛ −1
⎜ 2
2
= q . ⎜∑
⎜ k = 0
⎝
n
2
−1
2
( 2. q.
( 1−
q)
) . q + ... + ( 2.
q.
( 1−
q)
) 2 . q
⎞
( ( ) ) ⎟
⎟ ⎟ k
2.
q.
1−
bc q
bc
2 1−
= q .
1−
n
( 2.
q.
( 1−
q)
) 2
( 2.
q.
( 1−
q)
)
⎠ , ce qui donne finalement :
( ( ) )
2
n
2 ⎛
⎞
q . ⎜1−
2.
q.
1−
q 2 ⎟
=
⎝
⎠
q + 1−
q
( ) 2
, soit encore :
La probabilité d’avoir une cascade incorrecte (CI) est obtenue en faisant la somme des
probabilités qu’elle apparaisse après chacun des agents, et ce jusqu’à l’agent n. On peut
l’écrire :
P
mc
=
2
⎛
⎜
⎝
q +
2 ( 1−
q)
. 1−
( 2.
q.
( 1−
q)
)
( ) 2
1−
q
n
2
⎞
⎟
⎠
Si l’on ne considère que le cas dans lequel le nombre d’agents dans le réseau est très grand,
2. q. 1− q < 1.
nous observons nécessairement une cascade lors du passage à la limite car ( )
Celle-ci est informative sur la véritable probabilité d’occurrence avec une probabilité :
fq
=
q
2
+
q
2
( ) 2
1− q
Elle est mauvaise avec la probabilité complémentaire :
1−
fq
=
q
2
( )
( ) 2
2
1−
q
+ 1−
q
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