Comportement individuel face au risque : nouveaux apports dans le ...

1 - L’inaptitude du modèle EU à rendre compte de l’évaluation du risque
par les agents
Après les temps de relative ignorance vis-à-vis du risque, tout au moins comme objet
mathématique et économique, le critère de l’espérance d’utilité, axiomatisé par Von Neumann
et Morgenstern a donné une impulsion décisive à la théorie du risque. Le propos,
formellement, est de trouver une fonction de valorisation V : Θ → ℝ , rendant compte du
comportement de l’agent face au risque, telle que si θ, θ '∈Θ
, alors :
( ) ( )
θ ≥ Θθ
' ⇔ V θ ≥ V θ ' .
1.1 - Une théorie « miracle », mais contestable
Nous considérons l’aléa étudié comme une application de l’ensemble des états de la nature,
noté S, vers l’ensemble des conséquences, noté ζ . Cela s’écrit formellement : θ : S → ζ .
L’ensemble des états de la nature est muni d’une loi de probabilité considérée, dans un
premier temps, connue par l’agent. Ses préférences sont représentées de manière large par la
relation suivante : ≥ Θ sur Θ , la relation de préférence stricte étant notée ≻ Θ . Par ailleurs, il
est possible d’associer à un risque θ une loi de probabilité notée P. La relation de préférence
≥ Θ induit alors sur l’ensemble des lois de probabilités à support fini dans ζ , noté Λ , une
relation de préférence ≥ Λ (en notant ≻ Λ la préférence stricte et ∼ Λ la relation
d’indifférence).
Le théorème de Von Neumann et Morgenstern (VNM) met en évidence que si Λ , muni de
≥ Λ satisfait aux axiomes de préordre total, de continuité et d’indépendance, alors il existe
une fonction d’utilité U, représentant les préférences ≥ Λ
12 . En se donnant une loi de
probabilité P, cette fonction peut s’écrire de la manière suivante :
Dans le cas discret, en appelant x i chacune des conséquences possibles, de probabilité p i :
n
( ) i. ( i)
U P = ∑ p u x
i=
1
, avec u application de ζ dans ℝ , continue, croissante et définie à une
transformation affine près. Dans le cas continu, en supposant P à support borné dans ℝ , et en
appelant f sa fonction de densité, la fonction d’utilité s’écrit : U ( P) = ∫ f ( x) . u ( x) dx . Ce
ℝ
théorème permet ainsi, de donner une représentation cardinale des préférences des agents sur
les lois de probabilité, correspondant à une représentation des préférences en situation de
risque. En notant P la loi de probabilité associée à un risque θ ; P’ la loi associée à un risque
θ ' , nous avons :
( ) ( ) ( ) ( )
θ ≥ Θθ ' ⇔ P ≥ ΛP
' ⇔ U P ≥ U P ' ⇔ U θ ≥ U θ '
Les auteurs formulaient ici une théorie séduisante, avec un formalisme épuré, permettant de
déduire des résultats intéressants à partir de quelques axiomes portant sur les préférences et
répondant, plus de deux siècles après sa formulation, au paradoxe de Saint-Pétersbourg de
Bernoulli. Ce modèle présente la caractéristique de séparer le traitement des conséquences de
12 Voir Cohen et Tallon (2000), pour une présentation complète.
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