Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

Pour x ∈ R d , soit ˆα x ∈ {ˆα 1 , ˆα 2 , . . . , ˆα m } tel que
et enn,
donc
On a alors les inégalités suivantes :
En notant toujours ˆx :=
T (0, x)
∣ ‖x‖
x
‖x‖
− µ(ˆx)
∣
x ∈ ⋃
B(aˆα x , aε),
a≥0
a x := inf{a | x ∈ B(aˆα x , aε)}
α x := a x ˆα x .
a x ≤ ‖x‖ ≤ a x (1 + ε) et |x − α x | ≤ 2a x ε. (1.13)
, il vient,
≤
T (0, x)
∣ ‖x‖
Traitons séparément les quatre parties du membre de droite.
i. ∣ ∣∣∣ T (0, x)
‖x‖
ii. ∣ ∣∣∣ T (0, α x )
‖x‖
− T (0, αx )
‖x‖
∣ ≤ T (x, αx )
‖x‖
lim sup
T (0, x)
∣
‖x‖→∞ ‖x‖
− T (0, ∣ αx )
∣∣∣ ‖x‖ ∣ + T (0, α x )
− ax
‖x‖ ‖x‖ µ(ˆαx )
∣
+
a x
∣ ‖x‖ µ(ˆαx ) − µ(ˆα x )
∣ + |µ(ˆαx ) − µ(ˆx)| .
≤ C |x − αx | + 2
‖x‖
− T (0, αx )
‖x‖
≤ C 2ax ε + 2
‖x‖
∣ ≤ 2Cε.
≤ C 2‖x‖ε + 2 ,
‖x‖
− ax
‖x‖ µ(ˆαx )
∣ = ax
T (0, α x ∣
)
‖x‖ ∣ a x − µ(ˆα x ∣∣∣
)
∣ ≤ T (0, α x )
a x − µ(ˆα x )
∣ ,
et comme d'après (1.13), a x → ∞ quand ‖x‖ → ∞, l'équation (1.12) implique que, p.s.,
iii.
lim sup
T (0, α x )
∣
‖x‖→∞ ‖x‖
− ax
‖x‖ µ(ˆαx )
∣ = 0.
∣ ∣∣∣ a x
∣
‖x‖ µ(ˆαx ) − µ(ˆα x ∣∣∣
)
∣ ≤ a x ∣ ∣∣∣
‖x‖ − 1 . sup µ ≤ ε sup µ,
S d−1 S d−1
la dernière inégalité résultant de (1.13). La fonction µ étant continue sur le compact S d−1 , sup S d−1 µ < ∞.
iv.
|µ(ˆα x ) − µ(ˆx)| ≤ C|ˆα x − ˆx| ≤ C
√
2
(1 − √ 1 − ε 2 )
≤ 2Cε.
Ainsi, en faisant tendre ε vers 0 suivant un ensemble dénombrable, on obtient bien que, p.s.,
lim
T (0, x)
∣
‖x‖→∞ ‖x‖
− µ
( )∣ x ∣∣∣
= 0. (1.14)
‖x‖
4) Étudions à présent les propriétés de la fonction µ. Pour des raisons pratiques, on l'étend à R d en posant, pour
x ∈ R d ,
µ(x) := ‖x‖µ(ˆx).
Ainsi, en faisant le changement r ↦→ r‖x‖, l'équation (1.12) devient : p.s., quel que soit x ∈ R d ,
T (0, rx)
lim = µ(x). (1.15)
r→∞ r
Remarquons que, si on choisit une suite (r n ) n∈N de réels telle que r n → ∞ quand n → ∞ et telle que tous les
r n x et r n y soient dans Z d , on a,
T (0, r n y)
∣ r n
− T (0, r ∣
nx) ∣∣∣
≤ T (r nx, r n y) (loi)
= T (0, r n(y − x))
r n r n
r n
P
GGGGGGGA µ(y − x),
n → ∞
P
où GGGGGA désigne la limite en probabilité.
Le fait que r nx et r ny soient dans Z d assure l'égalité en loi par invariance par translation de la loi des arêtes.
Sans cette hypothèse, on pourrait se trouver dans un cas où T (x, y) (loi)
≠ T (0, y − x), si (y − x) ∗ ≠ y ∗ − x ∗ , comme
le montre la gure 1.11.
Par suite, en prenant la limite en probabilité dans l'équation précédente, on obtient que µ vérie l'inégalité
triangulaire : p.s., pour tout x, y ∈ R d ,
|µ(y) − µ(x)| ≤ µ(y − x). (1.16)
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