Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

Ceci dénit bien les clusters d'un modèle de percolation par site sur Z d : on vérie par récurrence que pour tout
n ∈ N ∗ ,
(Ĉ(u1 ), Ĉ(u 2), . . . , Ĉ(u n)
) (loi)
=
(
)
C(u 1 ), C(u 2 ), . . . , C(u n ) .
En eet,
Ĉ(u 1 ) (loi) = C(u 1 ),
et, conditionnellement à (C(u 1 ), C(u 2 ), . . . , C(u n)), trois cas sont possibles :
s'il existe i ∈ 1, n tel que u n+1 ∈ C(u i ), c'est-à-dire u i u n+1 , on a
C(u n+1 ) = C(u i ),
si u n+1 ∈ ∂B n , avec B n := (⋃ n
i=1 C(u i) ) , alors u n+1 ne peut pas être ouvert car sinon il serait relié à un point
de B n donc à un C(u i ) pour un certain i ∈ 1, n. On a donc
C(u n+1 ) := ∅,
enn, si u n+1 /∈ B n := B n ∪ ∂B n , la loi de C(u n+1 ) est celle du cluster de percolation de u n+1 sur Z d \B n ,
donc C(u n+1 ) a la loi du cluster de u n+1 de
ξ(u n+1 )\B n .
On obtient ainsi que la famille (Ĉ(u)) u∈Z d a bien la loi des clusters d'une percolation par site sur Zd .
2) On va pouvoir maintenant majorer stochastiquement leur cardinal. Grâce à cette construction, on a que pour
tout u ∈ Z d , il existe v ∈ Z d tel que
Ĉ(u) ⊆ ξ(v) et u ∈ ξ(v).
Donc, pour tout u ∈ Z d ,
En appelant
}
{|ξ(v)| |Ĉ(u)| ≤ sup | v ∈ Z d , u ∈ ξ(v) .
{
}
U(u) := sup |ξ(v)| | v ∈ Z d , u ∈ ξ(v) ,
on vient de montrer la majoration stochastique
(
( )
|C(u)|
)u∈Z ≼ U(u)
d u∈Zd. (2.7)
3) Les ξ(u) vérient pour tout ω les hypothèses du lemme 2.3.4 (en fait, comme p < p c, on a même que p.s.
ξ(u) ∈ (u + Ξ) ∪ {∅}). L'équation (2.6) montre que, pour tout ξ ∈ Ξ, on a p.s.
1
|ξ|
Compte tenu de la domination stochastique (2.7), on a
lim sup
l→∞
1
l
∑
sup
ξ∈Ξ(l)
u∈ξ
∑
1 ∑
U(u) ≤ 2 sup
u∈ξ
ξ ′ ∈Ξ, ξ⊆ξ ′ |ξ ′ |ξ(u ′ )| 2 .
|
u ′ ∈ξ ′
1 ∑
sup |C(u)|
ξ∈Ξ(l) |ξ|
u∈ξ
1 ∑
≤ lim sup sup U(u)
l→∞ ξ∈Ξ(l) |ξ|
u∈ξ
1 ∑
≤ 2 lim sup sup
l→∞ ξ∈Ξ(l), ξ ′ ∈Ξ, ξ⊆ξ ′ |ξ ′ |ξ(u ′ )| 2
|
u ′ ∈ξ ′
1 ∑
= 2 lim sup sup
l→∞ ξ ′ ∈Ξ, |ξ ′ |≥l |ξ ′ |ξ(u ′ )| 2
|
u ′ ∈ξ ′
= 2 lim sup
1 ∑
sup
l→∞ k≥l ξ ′ ∈Ξ, |ξ ′ |≥k |ξ ′ |ξ(u ′ )| 2
|
u ′ ∈ξ ′
= 2 lim sup 1 ∑
sup
l→∞ k≥l ξ ′ ∈Ξ(k) |ξ ′ |ξ(u ′ )| 2
|
u ′ ∈ξ ′
1 ∑
= 2 lim sup sup |ξ(u ′ )| 2
l→∞ ξ ′ ∈Ξ(l) l
u ′ ∈ξ ′
1 ∑
= 2 lim sup sup |ξ(u)| 2 .
l→∞ l ξ∈Ξ(l)
u∈ξ
|C(u)| = lim sup
l→∞
Les variables ( |ξ(u)| 2) sont i.i.d. et ont des moments exponentiels de tout ordre d'après le théorème 1.5.4
u∈Z
puisque d p < p c , donc le théorème 2.3.2 s'applique et on obtient le résultat désiré.
□
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