Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

Le premier point de vue consiste donc à regarder les quantités T (0, u) pour un u ∈ Z d donné (le
point 0 étant l'origine de Z d , i.e. (0, 0, . . . , 0)).
Le second consiste à s'intéresser à la zone imprégnée au temps t ∈ R + si le uide part de l'origine,
c'est-à-dire à
˜B(t) := { u ∈ Z d | T (0, u) ≤ t } .
Pour simplier les résultats concernant le comportement asymptotique de ˜B(t), on introduit
l'ensemble
[
B(t) := ˜B(t) + − 1 2 , 1 d {
= u + (x 1 , x 2 , . . . , x d ) | u ∈
2] ˜B(t) ; ∀i ∈ 1, d, − 1 2 ≤ x i ≤ 1 }
. (1.1)
2
~
B(t)
B(t)
0
On a alors clairement
˜B(t) +
Figure 1.2 Représentation des ensembles ˜B(t) et B(t)
(
− 1 2 , 1 2) d
⊆ { x ∈ R d | T (0, x) ≤ t } ⊆ ˜B(t) +
[
− 1 2 , 1 2] d
,
et donc
B(t) = {x ∈ R d | T (0, x) ≤ t}. (1.2)
Et enn, pour i ∈ 1, d, on notera ε i l'arête (0, 0, . . . , 1, 0, . . . , 0) où le 1 est en i-ème position.
1.2 Coloriages aléatoires
1.2.1 Dénitions et notations
Les modèles les plus standards consistent à prendre les t(e) i.i.d., ou éventuellement indépendants
dont la loi ne dépend que de la direction de l'arête 1 . Au cours de ce mémoire, on s'intéressera plus
particulièrement au modèle de coloriage aléatoire, déni comme suit.
On se donne un ensemble S ni ou dénombrable et une famille (X u ) u∈Z d de variables aléatoires
i.i.d. à valeurs dans S . Il faut imaginer les éléments de S comme des couleurs, on colorie donc
aléatoirement les sommets du graphe Z d .
Pour les représentations, on coloriera souvent tout l'ensemble u + ( − 1 2 , 1 2) d
de la couleur du
point u pour plus de clarté.
1. c'est-à-dire qu'il existe un probabilité µ (resp. d probabilités µ 1 , µ 2 , ..., µ d ) telle que la famille ( t(e) ) soit
e∈E
distribuée selon d µ ⊗Ed (resp. µ ⊗E
1 ⊗ µ ⊗E
2 ⊗ . . . ⊗ µ ⊗E
d ). 4