Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

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u (u) Figure 2.7 Minoration de µ alors en remarquant que {C ∩ Γ ∗ , C ∈ C} forme une partition de Γ ∗ , on a Ainsi, 1 + T (0, kε 1 ) k 1 + T (Γ) ≥ |C| = ∑ C ∈C 1 = ∑ ∑ 1 |C ∩ Γ ∗ | C ∈C u∈C ∩Γ ∗ = ∑ ∑ 1 |C (u) ∩ Γ ∗ | C ∈C u∈C ∩Γ ∗ = ∑ 1 |C (u) ∩ Γ ∗ | . u∈Γ ∗ 1 + T (Γ) = inf 0kε Γ k 1 ∑ ≥ 1 inf 0kε Γ k 1 1 |C (u) ∩ Γ ∗ | u∈Γ ∗ ∑ 1 1 ≥ inf 0kε Γ |Γ ∗ | |C (u) ∩ Γ ∗ | 1 u∈Γ ∗ ⎛ ⎞−1 ≥ inf ⎝ 1 ∑ 0kε Γ |Γ ∗ |C (u) ∩ Γ ∗ | ⎠ | 1 u∈Γ ∗ ⎛ ⎞−1 ≥ inf ⎝ 1 ∑ 0kε Γ |Γ ∗ |C (u)| ⎠ | 1 u∈Γ ∗ ⎛ ⎞−1 ≥ inf ⎝ 1 ∑ Γ |Γ ∗ |C (u)| ⎠ | ⌢ 0·, |Γ ∗ u∈Γ |≥k ∗ ⎛ ⎞−1 = inf inf ⎝ 1 ∑ |C (u)| ⎠ . l≥k Γ l ⌢ 0·, |Γ ∗ u∈Γ |=l ∗ L'inégalité de la troisième ligne provient du fait que si 0 Γ kε 1 , alors |Γ ∗ | ≥ k, celle de la quatrième est Γ l'inégalité de Jensen pour la fonction concave x ↦→ 1 . On rappelle que la notation ⌢ 0 x · signie que Γ est un chemin auto-évitant issu de 0. En passant à la limite p.s. k → ∞, il vient, ⎛ ⎞−1 µ ≥ ⎜ 1 ∑ ⎝lim sup sup |C (u)| ⎟ l→∞ Γ l ⎠ . ⌢ 0·, |Γ ∗ u∈Γ ∗ |=l 32
Il sut donc de montrer que, p.s. Si on note, pour u ∈ Z d , on a pour tout u ∈ Z d , lim sup l→∞ où la notation ⊔ désigne l'union disjointe. Ainsi, lim sup l→∞ sup Γ ⌢ 0·, |Γ ∗ |=l 1 l sup Γ ⌢ 0·, |Γ ∗ |=l 1 l ∑ u∈Γ ∗ |C (u)| < ∞. { C (u) C i si X (u) := u = s i , ∅ si X u ≠ s i ∑ C (u) = u∈Γ ∗ |C (u)| = s⊔ C i , i=1 s∑ i=1 lim sup l→∞ sup Γ ⌢ 0·, |Γ ∗ |=l 1 l ∑ u∈Γ ∗ |C i (u)|. Étant donné que l'on s'est ramené au cas s < ∞, il s'agit donc de montrer que, pour tout i ∈ 1, s, p.s. Or lim sup l→∞ lim sup l→∞ sup Γ ⌢ 0·, |Γ ∗ |=l sup Γ ⌢ 0·, |Γ ∗ |=l 1 l ∑ 1 l ∑ u∈Γ ∗ |C i (u)| < ∞. |C i (u)| ≤ lim sup u∈Γ ∗ l→∞ sup ξ∈Ξ(l) 1 l ∑ |C i (u)| où l'ensemble Ξ(l) a été déni précédemment par (2.5) : pour tout chemin Γ auto-évitant issu de 0, Γ ∗ est bien sûr un animal. Mais les C i (u), u ∈ Z d sont les clusters d'une percolation (par site) de paramètre p i et donc de conclure que, pour tout i ∈ 1, s, ce qui achève la preuve de ce théorème. lim sup l→∞ 2.4 Coloriages dépendants sup ξ∈Ξ(l) 1 l ∑ |C i (u)| < ∞, u∈ξ On cherche à étendre le résultat du théorème 2.3.6 à des coloriages aléatoires dépendants. On considère toujours une famille (X u ) u∈Z d de variables aléatoires à valeurs dans S , mais au lieu de les supposer i.i.d., on suppose simplement que cette famille a une loi invariante par translation et qu'elle est ergodique. On dénit encore les temps d'arêtes par la relation t ({u, v}) = 1 {Xu≠X v}. Ces temps d'arête héritent des propriétés d'invariance par translation et d'ergodicité de la famille (X u ) u∈Z d, et le théorème 1.4.1 s'applique toujours. En revanche, on n'a pas en général une unique constante de temps µ comme c'était le cas précédemment. On connaît néanmoins une condition garantissant qu'on se trouve dans le cas i. du théorème de forme asymptotique, c'est-à-dire dans le cas où la forme asymptotique n'est pas R d tout entier. Pour u ∈ Z d , notons G u := σ ( X v , v ∈ Z d \{u} ) , la tribu des événements qui ne dépendent pas de ce qu'il se passe en u. Théorème 2.4.1 Pour que toutes les constantes de temps soient strictement positives (cas i. du théorème 1.4.1), il sut que sup P(X 0 = s i | G 0 ) des X u conditionnellement à G u (qui ne dépend pas de u ∈ Z d par invariance par translation), on retrouve la même condition que pour le théorème 2.3.6, à savoir |p| < p c . u∈ξ □ 33
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