Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

1.5.3 Percolation de premier passage par sites
Plutôt que de se donner des temps d'arête, c'est-à-dire considérer que traverser une arête prend
un certain temps, on peut aussi envisager le modèle qui consiste à se donner des temps de site,
c'est-à-dire considérer que c'est la traversée d'un site qui prend du temps.
Ainsi, on se donne une famille de v.a. ( t(u) ) et on dénit le temps de passage du chemin
u∈Z d
Γ = (e 1 , e 2 , . . . , e l ) par
T (Γ) =
et toujours le temps de voyage de u à v par
∑
u∈ ⋃ l
i=1 ei t(u),
T (u, v) := inf T (Γ).
uv
Γ
Ce modèle est très utile dans l'étude des coloriages aléatoires car on peut de temps en temps
s'y ramener par comparaison comme on le verra au cours du second chapitre. C'est pourquoi on
l'introduit brièvement ici.
On retrouve alors les mêmes résultats que ceux énoncés au cours de ce chapitre, à savoir l'existence
de la constante de temps, que l'on notera ˜µ pour éviter toute ambiguïté, et le théorème de
forme asymptotique. De plus, on a l'analogue des théorèmes 1.5.6 et 1.5.5, à savoir :
Théorème 1.5.7 Soit une suite de lois de probabilité (U n ) n∈N qui tend faiblement vers la probabilité
U. Alors
˜µ(U n ) → ˜µ(U).
En d'autres termes, ˜µ est continue pour la topologie de la convergence faible.
Théorème 1.5.8 Soit un modèle de percolation de premier passage standard par site. Alors
˜µ > 0 si et seulement si P(t(u) = 0) < p c (Z d , site).
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