Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

0
nk
k
1
donc
Or, la formule de Stirling implique que
Figure 2.3 Majoration de P(N k > nk)
k! ∼ √ ( ) k k
2πk ,
e
(snkγ n ) k
k!
∼ (sneγn ) k
√
2πk
.
Ainsi, pour n assez grand tel que
(sneγ n ) < 1,
on obtient que P(N k > nk) tend uniformément vers 0 sur l'ensemble {p ∈ P (S ) | |p| < α}.
On a alors, en passant à la limite k → ∞ dans (2.4), pour n assez grand, quel que soit p ∈ P (S ) tel que |p| < α,
d'où l'égalité.
µ n(p) ≤ µ(p),
2) Traitons maintenant le cas où s = ∞. Soit ˜p ∈ P (S ) tel que |˜p| < 1 . On va montrer de façon analogue au 1)
λ
que (µ n ) n∈N ∗ est uniformément stationnaire au voisinage de ˜p.
Soit |˜p| < α < 1 . Il existe S ∈ N tel que
λ ∑
il vient
donc
Alors si
Ainsi, sur le voisinage de ˜p
pour r ∈ N ∗ , par convexité de x ↦→ x r , il vient
s∑
i=1
p r i ≤ Sαr + ∑ i>S
i>S
˜p i ≤ α 2 .
|p − ˜p| < α
2S ,
∑
p i ≥ ∑ ˜p i − S α
2S ≥ 1 − α,
i≤S i≤S
∑
p i ≤ α.
iS i>S
Le reste de la preuve est le même en remplaçant s par S + 1 et en restant sur le voisinage V .
Remarque. On a simplement majoré la probabilité que N k soit grand par la probabilité qu'il
existe un long chemin de faible temps de parcours. On n'a à aucun moment pris en compte le fait
que c'est la longueur d'une route minimale. Cet argument ne pourra donc pas fonctionner si un des
p i est grand, car alors, il va y avoir de grands clusters de la i-ème couleur et donc des long chemins
de faible temps de parcours.
Par exemple, si p i dépasse le seuil critique de percolation de Z d par site, il va y avoir un cluster
inni de couleur i et dans ce cas, on pourra avoir des chemins arbitrairement grands de très faible
temps de parcours.
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