Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

La première inégalité est obtenue en majorant P(T (Γ) ≤ k) par la probabilité qu'il existe k indices i 1 , i 2 , . . . , i k
tels que
X u0 = X u1 = . . . = X ui1 ,
(c.f. gure 2.2).
X ui1 +1 = Xu i 1 +2 = . . . = Xu i 2
,
. . .
X uik +1 = X uik +2 = . . . = Xu l ,
e l
u ik
u
u i5
i1
u i2
u i4
u i3
u 0
e 2
e 1
Appelons
Figure 2.2 Majoration de P(T (Γ) ≤ k)
{
}
N k := inf |Γ| | 0 Γ kε 1 , T (Γ) = T (0, kε 1 )
la longueur minimale d'une route de 0 à kε 1 .
On avait obtenu au cours de la démonstration du lemme 2.2.1
ce que l'on peut réécrire
E [T n(0, k)] ≤ E [T (0, kε 1 )] + k P ( T (0, kε 1 ) < T n(0, k) ) ,
[ Tn(0, k)
E
k
]
≤ E
[ T (0, kε1 )
k
(2.3)
]
+ P(N k > nk). (2.4)
Montrons que pour n assez grand, P(N k > nk) tend uniformément vers 0 sur l'ensemble des p tels que |p| ≤ α.
On a
P(N k > nk) ≤ P(il existe un chemin auto-évitant Γ de longueur nk tel que T (Γ) ≤ k)
≤
≤
∑
P ( T (Γ) ≤ k )
Γ
⌢
0·, |Γ|=nk
( ) nk
a nk s
k
k+1 |p| nk+1
La première inégalité provient du fait que si N k > nk, il existe un chemin auto-évitant de 0 à kε 1 de longueur
supérieure à nk dont le temps de parcours est T (0, kε 1 ) ≤ k. A fortiori, il existe un chemin auto-évitant de longueur
nk issu de 0 dont le temps de parcours est inférieur à k (c.f. gure 2.3).
Γ
⌢
La notation 0 · signie que Γ est un chemin auto-évitant issu de 0.
Et comme
il existe γ < 1 tel que pour n assez grand (k ≥ 1),
λ < 1 α ,
Dans ce cas, pour |p| ≤ α, on a
P(N k > nk)
( γ
) nk
a nk ≤ .
α
≤
≤
( γ
) nk (nk) k
s k+1 α nk
α k!
s (snkγn ) k
.
k!
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