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Analyse des structures
Expertise
Fig. 11. Détermination des réactions : état final du tracé.
les nœuds correspondant aux forces initialement inconnues. Il
s’agit de cheminer de nœud en nœud, partant d’un point vers
lequel seules deux barres convergent, la détermination de leurs
efforts normaux permettant de réduire le nombre d’inconnues
à deux pour le nœud suivant, et ainsi de suite. L’astuce est de
construire le polygone en ajoutant les forces connues dans
l’ordre donné par un même sens de rotation autour de chaque
nœud. De cette façon, le tracé des vecteurs pour l’équilibre
d’un nœud peut servir directement pour le nœud suivant, ce
qui réduit le nombre d’opérations.
Fig. 12. Exemples de structures de type treillis isostatiques.
Considérons le point A (fig. 13) vers lequel convergent des
forces connues, F 1
, F 2
et F 3
, et deux forces inconnues, N 1
et N 2
, dont les lignes d’action sont D 1
et D 2
. Ce système de
forces est en équilibre si le polygone des forces se referme
(somme vectorielle nulle). La méthode la plus simple consiste
à commencer par construire la somme des cinq forces, en
partant des forces connues (F 1
, F 2
et F 3
). Puis le polygone
doit être fermé par des vecteurs dont les directions sont celles
de D 1
et D 2
. Il suffit alors de tracer les parallèles de D 1
et D 2
passant respectivement par l’origine de F 1
et l’extrémité de
F 3
sur le polygone, leur point d’intersection I permettant de
définir l’extrémité et l’origine respectivement de N 1
et N 2
. Les
intensités et sens de ces forces sont ainsi déterminés.
L’épure de Cremona consiste à résoudre ce problème type
pour tous les nœuds de la structure, les actions des barres sur
COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008
Considérons un treillis (fig. 14) soumis à deux forces inégales F 1
et F 2
appliquées aux nœuds B et D, les réactions d’appui R A
et
R F
ayant déjà été déterminées par la méthode décrite au § 2.2.
Il est impossible de commencer la résolution par l’un des
nœuds B, C, D ou E puisque, initialement, le nombre de forces
inconnues y est supérieur à deux. Nous suivons donc le trajet
suivant :
– nœud A : détermination de N 1
et N 2
connaissant R A
;
– nœud B : détermination de N 3
et N 4
connaissant N 1
et F 1
;
– nœud C : détermination de N 5
et N 6
, connaissant N 2
et N 4
;
– nœud D : détermination de N 7
et N 8
connaissant N 5
, N 3
et F 2
;
– nœud E : détermination de N 9
connaissant N 6
et N 8
;
– nœud F : vérification de l’équilibre sous l’action de N 9
, N 7
et R F
.
Les quatre constructions (fig. 15, quatre derniers schémas)
montrent respectivement les états du polygone correspondant
successivement à l’équilibre des nœuds A, B, et C ainsi que le
résultat final. Sur les trois schémas relatifs aux nœuds A, B et
C, les forces connues sont représentées en vert. Sur le schéma
final, les traits verts indiquent les éléments comprimés.
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