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Analyse des structures Expertise Fig. 11. Détermination des réactions : état final du tracé. les nœuds correspondant aux forces initialement inconnues. Il s’agit de cheminer de nœud en nœud, partant d’un point vers lequel seules deux barres convergent, la détermination de leurs efforts normaux permettant de réduire le nombre d’inconnues à deux pour le nœud suivant, et ainsi de suite. L’astuce est de construire le polygone en ajoutant les forces connues dans l’ordre donné par un même sens de rotation autour de chaque nœud. De cette façon, le tracé des vecteurs pour l’équilibre d’un nœud peut servir directement pour le nœud suivant, ce qui réduit le nombre d’opérations. Fig. 12. Exemples de structures de type treillis isostatiques. Considérons le point A (fig. 13) vers lequel convergent des forces connues, F 1 , F 2 et F 3 , et deux forces inconnues, N 1 et N 2 , dont les lignes d’action sont D 1 et D 2 . Ce système de forces est en équilibre si le polygone des forces se referme (somme vectorielle nulle). La méthode la plus simple consiste à commencer par construire la somme des cinq forces, en partant des forces connues (F 1 , F 2 et F 3 ). Puis le polygone doit être fermé par des vecteurs dont les directions sont celles de D 1 et D 2 . Il suffit alors de tracer les parallèles de D 1 et D 2 passant respectivement par l’origine de F 1 et l’extrémité de F 3 sur le polygone, leur point d’intersection I permettant de définir l’extrémité et l’origine respectivement de N 1 et N 2 . Les intensités et sens de ces forces sont ainsi déterminés. L’épure de Cremona consiste à résoudre ce problème type pour tous les nœuds de la structure, les actions des barres sur COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008 Considérons un treillis (fig. 14) soumis à deux forces inégales F 1 et F 2 appliquées aux nœuds B et D, les réactions d’appui R A et R F ayant déjà été déterminées par la méthode décrite au § 2.2. Il est impossible de commencer la résolution par l’un des nœuds B, C, D ou E puisque, initialement, le nombre de forces inconnues y est supérieur à deux. Nous suivons donc le trajet suivant : – nœud A : détermination de N 1 et N 2 connaissant R A ; – nœud B : détermination de N 3 et N 4 connaissant N 1 et F 1 ; – nœud C : détermination de N 5 et N 6 , connaissant N 2 et N 4 ; – nœud D : détermination de N 7 et N 8 connaissant N 5 , N 3 et F 2 ; – nœud E : détermination de N 9 connaissant N 6 et N 8 ; – nœud F : vérification de l’équilibre sous l’action de N 9 , N 7 et R F . Les quatre constructions (fig. 15, quatre derniers schémas) montrent respectivement les états du polygone correspondant successivement à l’équilibre des nœuds A, B, et C ainsi que le résultat final. Sur les trois schémas relatifs aux nœuds A, B et C, les forces connues sont représentées en vert. Sur le schéma final, les traits verts indiquent les éléments comprimés. www.editionsdumoniteur.com | 67
Expertise Analyse des structures Fig. 13. Équilibre d’un nœud soumis à plusieurs forces dont deux sont inconnues. Fig. 14. Géométrie et forces appliquées. Concernant l’équilibre du nœud A, les sens déterminés pour N 1 et N 2 montrent que ces forces sont dirigées respectivement vers le nœud pour la barre 1, et à l’opposé pour la barre 2, ce qui signifie que la première est en compression, la seconde en traction. Il est important de reporter ces sens sur le schéma de la structure en notant que si la barre 1 « pousse » sur le nœud A, elle fait de même sur le nœud B ; il faudra donc la considérer en sens inverse pour traduire l’équilibre de ce nœud, comme indiqué sur l’état suivant de la construction. L’effort normal N 1 étant à présent connu, il est possible de progresser vers le nœud B, en réalisant la somme N 1 + F 1 dans l’ordre donné par un sens de rotation autour du nœud identique à celui considéré pour l’étape précédente, c’est-à-dire dans le sens des aiguilles d’une montre. N 3 et N 4 sont ensuite déterminées. En procédant de cette façon, les tracés des forces N 2 et N 4 peuvent être utilisés tels quels (moyennant l’inversion du sens) afin de poursuivre la démarche par la construction des forces N 5 et N 6 nécessaires à l’équilibre du nœud C. Sur le schéma donnant le résultat final, l’intensité et la nature de l’effort N 9 déterminées par l’équilibre du nœud E Fig. 15. Étapes de tracé de l’épure de Cremona. (sous-polygone N 6 , N 8 , N 9 ) vérifient aussi l’équilibre du nœud F, comme le montre la fermeture du sous-polygone N 9 , N 7 , R F . R F a en effet son origine sur l’extrémité de F 2 , et son extrémité sur l’origine de R A , puisque R A + F 1 + F 2 + R F doit être nul. En représentant en vert les efforts de compression, le 68 | www.editionsdumoniteur.com COMPLÉMENT TECHNIQUE > Septembre/Octobre 2008
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