Symétrie centrale - Académie en ligne

Sommaire de la séquence 3
Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Je découvre la symétrie centrale par l’expérience .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Je construis le symétrique d’un point par une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
J’étudie le symétrique d’un segment par une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
J’étudie le symétrique d’une figure simple par une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
J’étudie le symétrique d’un cercle par une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Je construis le symétrique d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Je reconnais et je construis des axes et des centres de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
J’étudie la conservation du périmètre et de l’aire par une symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . 86
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Objectifs
être capable de déterminer si une figure possède un centre de symétrie.
Savoir construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’une demi-droite,
d’un angle, d’un cercle.
Connaître et utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale.
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que
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Séance 1
séance 1 — Séquence 3
Je découvre la symétrie centrale par l’expérience
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n° 3.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret. Une fois que tu auras terminé le
test, reporte-toi à son corrigé et lis attentivement les réponses, sans négliger les commentaires du
professeur, qui t’apporteront des renseignements utiles.
je révise les acquis de la 6 e
1- Coche le ou les cases où les figures
bleue et verte sont symétriques par
rapport à la droite (d).
(d)
(d)
®
ZZ
Z Z
®
2- Les deux figures ci-dessous devraient être
symétriques, mais le dessinateur a commis
quelques erreurs. Combien au juste ?
(d)
®
Z
(d)
Z
®
Z
Z
(d)
® 4
® 3
® 2
® 1
3- Un segment possède :
4- Un rectangle possède :
D
E
F
A
C
® 2 axes de symétrie.
® aucun axe de symétrie.
® 4 axes de symétrie.
® 3 axes de symétrie.
B
® aucun axe de symétrie.
® 2 axes de symétrie.
® 3 axes de symétrie.
® 4 axes de symétrie.
Le test t’a permis de revoir certaines propriétés et définitions essentielles sur la symétrie axiale.
Maintenant, nous allons découvrir ensemble une nouvelle symétrie : la symétrie centrale.
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Séquence 3 — séance 1
Prends une nouvelle page de tes cahiers de cours et d’exercices puis note sur chacun d’eux
« SÉQUENCE 3 : SYMÉTRIE CENTRALE ». L’activité de découverte de cette séquence s’intitule
« Qui a raison ? ». Ses différentes étapes te permettront de découvrir progressivement la symétrie
centrale. Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 1 Qui a raison ?
En observant les figures suivantes,
Delphine, Vincent et Jihanne affirment :
F 1
X
O
F 2
Delphine : Vincent : Jihanne :
« La figure F 2
et la figure
F 1
sont symétriques par
rapport à une droite. »
« La figure F 2
et la figure
F 1
ne sont pas syméttriques
par rapport à une
droite. »
Qui a raison ? Rédige soigneusement tes réponses.
« La figure F 2
et la figure
F 1
sont symétriques
mais pour m’en rendre
compte, j’ai dû plier deux
fois mon papier calque.
Consigne : utilise du papier calque pour vérifier l’affirmation de Jihanne.
Dans l’exercice suivant, que tu effectueras sur ton livret, nous allons faire une approche
expérimentale de la symétrie centrale.
Exercice 2
1- Regarde la figure ci-contre et effectue les trois étapes
proposées ci-dessous.
Les flèches oranges et vertes ne servent qu’à faciliter
l’expérience que tu vas réaliser : elles ne sont pas un élément
de la figure.
O
58
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séance 1 —
Séquence 3
Étape 1 Étape 2 Étape 3
Pose une feuille de papier calque
et reproduis par transparence la
figure, avec un crayon de coulleur
bleu et le point O. Trace en
orange et en vert les flèches.
2- Complète :
L’objectif est de faire tourner le
calque autour de O d’un demitour
exactement.
Maintiens bien le calque dans sa
position initiale, plante la pointe
de ton compas sur O à travers le
calque et la feuille du livret. Fais
tourner le calque. Tu auras fait
un demi-tour exactement lorsque
la flèche orange de ton calque se
superposera exactement sur la
flèche verte du modèle.
Fixe le calque dans cette position
sur ton livret avec du papier
adhésif.
a) La figure initiale et la figure sur calque sont-elles symétriques par rapport à la droite
qui prolonge les deux flèches ?
OUI - NON
b) D’après toi, par rapport à quel point ces deux figures sont-elles symétriques ?
…………………..…………………..
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu reproduiras la figure sur un
calque que tu colleras dans ton cahier.
j
e retiens
Découverte de la symétrie centrale
Figures symétriques par rapport à un point
Deux figures sont symétriques par rapport à un
point O si, en faisant tourner un calque d’un
demi-tour autour de O, les deux figures se
superposent exactement.
Ici, les deux poissons sont symétriques par rapport
au point O.
On dit également :
• Le poisson 2 est le symétrique du poisson 1
par rapport au point O.
• Le poisson 1 est le symétrique du poisson 2 par rapport au point O.
O 180°
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
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Séquence 3 — séance 1
Exercice 3 Qui a raison ? – suite –
Voici trois figures :
Figure 1 (c’est la figure de l’exercice 1)
F 1
X
O
F 2
Figure 2
Figure 3
O
O
Voici les affirmations de camarades :
Delphine : Vincent : Jihanne :
« Les deux formes de la
figure 1 sont symétriques
par rapport au point O. »
« Les deux feuilles ne
sont pas symétriques
par rapport au point O. »
« Les deux gouttes d’eau
sont symétriques
par rapport au point O. »
Qui a raison ? Tu justifieras tes réponses après avoir utilisé un calque comme dans l’exercice 2.
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
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séance 1 —
Séquence 3
Exercice 4
Construis le symétrique de chacune de ces deux figures par rapport au point O.
Tu n’utiliseras cette fois pas de calque car le quadrillage te permet de faire les constructions.
O
O
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
je comprends la méthode
Construire le symétrique de la figure par rapport
au point O à l’aide du quadrillage
O
2 carreaux
vers le bas
1 carreau
vers la gauche
1 carreau
vers la droite
2 carreaux
vers le haut
O
O
1- Je suis les lignes
horizontales et
verticales qui mènnent
du point O
au point dont on
veut construire le
symétrique.
2- J’effectue un déplaccement
« dans le
sens contraire »
par rapport à O
pour obtenir
le symétrique du
point.
3- Je fais de même
pour les trois
autres points.
4- Je n’ai plus qu’à
relier les quatre
points obtenus.
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
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Séquence 3 — séance 1
Exercice 5
Construis le symétrique de chacune de ces figures par rapport au point O.
1-
2-
O
O
3-
4-
O
O
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu reproduiras facilement la figure
sur un calque que tu colleras dans ton cahier.
j
e retiens
Centre de symétrie
Une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point O si le symétrique de la
figure par la symétrie de centre O est la figure elle-même.
O
Ici, la figure est symétrique par rapport au point O :
son symétrique par rapport à O est elle-même.
62
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séance 2 —
Séquence 3
Séance 2
Je construis le symétrique d’un point
par une symétrie centrale
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 6
La figure ci-dessous est symétrique par rapport au
point O.
1- a) Par rapport à O, quel est le symétrique de A ?
A
D
de B ? de C ? de D ?
b) Trace le segment [DD’].
B
Les points D, O et D’ semblent-ils alignés ?
C
O
(oui / non) ..................................................
C'
Mesure les longueurs DO et D’O.
Quel point semble être le milieu de [DD’] ?
....................................................................
Trace le segment [CC’].
D'
A'
Quel point semble être son milieu ? .................................................
2- À l’aide des constatations faites ci-dessus, que peux-tu dire d’un point M, de son
symétrique M’ par rapport à un point O, et du point O ?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le, ainsi que la figure, sur ton cahier de
cours.
j
e retiens
Symétrique d’un point par rapport à une symétrie centrale
Définition
Dire que le point A’ est le symétrique du point A par rapport
O
au point O signifie que :
A
• les points A , O et A’ sont alignés
• et que OA = OA’
Cela revient à dire que le point O est le milieu du segment [AA’].
B'
A'
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
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Séquence 3 — séance 2
Exercice 7
Marque un point A sur ta feuille puis un point M.
1- Construis le symétrique M’ du point M par rapport au point A, sans utiliser ta règle
graduée.
2- Rédige un programme de ta construction.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.
je comprends la méthode
Construire le symétrique A’ d’un point A
par rapport à un point O
A
O
1-
2-
A
3-
A
O
A
A'
O
O
A'
Je trace la droite (AO). Je
peux aussi me contenter
de tracer la demi-droite
[AO). Je pique la pointe
de mon compas sur le
point O puis je prends
l’écartement qui corresppond
à la longueur AO.
Je reporte cette longueur AO sur
la droite (AO), ou sur la demidroite
[AO) , à partir de O mais
« de l’autre côté », de telle sorte
que le point A’ soit sur la droite
(AO) mais pas sur la demi-droite
[OA). Pour cela, je garde la pointe
du compas piquée en O et je fais
pivoter mon compas. Je trace un
petit arc de cercle.
Je nomme A’ le point commun
à ce petit arc de cercle et à la
droite (AO).
O est le milieu de [AA’] puisqque
les points A , O et A’ sont
alignés et que AO = OA’.
A et A’ sont symétriques par
rapport au point O puisque O
est le milieu de [AA’].
Effectue les trois exercices suivants directement sur ton livret.
64
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séance 2 —
Séquence 3
Exercice 8
Les points M et M’ sont symétriques par rapport au point K. En utilisant la méthode
précédente, construis celui qui manque, pour chacune des figures ci-dessous :
Figure 1
Figure 2
M'
K
K
M
M
Figure 3
MRT est un triangle équilatéral.
S
K
Z
R U T
Exercice 9
Construis :
• B le symétrique du point A par rapport
au point O.
• C le symétrique du point B par rapport
à la droite (d).
• D le symétrique du point C par rapport
à la droite (d’).
• E le symétrique du point D par rapport
au point O’.
(d)
(d')
O
O'
A
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Séquence 3 — séance 3
Exercice 10
Complète :
Le symétrique du point A par rapport au point B
est le point ……..
Le symétrique du point D par rapport au point F
est le point ……..
Le symétrique du point K par rapport au point D
est le point ……..
Le symétrique du point K par rapport à la droite (d’)
est le point …..
A
B
K
C
D
E
L
F
M
(d)
Le symétrique du point M par rapport au point L
est le point …….
G
Le symétrique du point M par rapport à la droite (d)
est le point …..
H
(d')
Le symétrique du point H par rapport au point E
est le point …….
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 11
Trace un cercle Ω de centre K et de rayon 3,2 cm.
1- Marque un point A sur le cercle Ω puis construis son symétrique B par rapport au point K.
2- Démontre que KA = KB.
3- Démontre que B est sur le cercle Ω.
4- Marque un point C sur le cercle Ω puis construis le point D qui a pour symétrique par
rapport à K ce point C. Que peux-tu dire du point D ?
5- Quel est le centre de symétrie du cercle Ω ? Ne Justifie pas ta réponse.
Séance 3
J’étudie le symétrique d’un segment
par une symétrie centrale
Maintenant que tu as appris à construire le symétrique d’un point par une symétrie centrale, tu vas
découvrir une propriété importante de la symétrie centrale.
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
66
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séance 3 —
Séquence 3
Exercice 12 Qui a raison ? – suite –
Construis, sur la figure ci-dessous, les symétriques
respectifs A’ , B’ et C’ des points A , B et C ,
par rapport au point O.
C
A
O
B
Voici les conjectures de tes trois camarades (Rappel : une conjecture est une affirmation que l’on
pressent sans l’avoir prouvée) :
Delphine : Vincent : Jihanne :
« On dirait que la distance
de A’ à B’ est la même que
celle de A à B. »
« On dirait que la distance
de A’ à C’ est la même que
celle de A à C. »
« On dirait que la distance
entre deux points est la
même que celle entre leurs
symétriques par rapport à
un même point. »
Qui a raison ? Pourquoi ? .................................................................................................
.........................................................................................................................................
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours.
j
e retiens
Conservation de la distance par une symétrie centrale
Propriété :
La distance entre deux points est la même
A
que la distance entre leurs symétriques
par rapport à un point.
O
Ici, on a : A’B’ = AB.
B'
Remarque : On dit que la symétrie centrale
conserve les distances.
B
On dit aussi que les distances sont invariantes par une symétrie centrale.
On rappelle que la symétrie axiale conserve également les distances.
A'
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
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Séquence 3 — séance 3
Exercice 13 Qui a raison ? – suite –
1- Construis les symétriques respectifs A’
et B’ des points A et B par rapport
au point O.
B
O
A
2- Place un point M sur le segment [AB]
puis construis son symétrique M’ par rapport au point O.
Trace en bleu le segment [A’B’].
Que constates-tu pour les points A’ , B’ et M’ ?
.....................................................................................................................................
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 14
1- a) Trace un segment [KL] puis marque un point A tel que A ∉ (KL).
b) Construis les symétriques respectifs K’ et L’ des points K et L par rapport au point A.
Trace enfin le segment [K’L’].
c) Que peux-tu en déduire pour la distance K’L’ ? Démontre ce que tu affirmes.
2- a) Marque un point M sur le segment [KL].
b) D’après l’inégalité triangulaire, que peux-tu dire des distances KL , KM et ML ?
c) Construis le symétrique M’ de M par rapport à A.
d) Démontre que M’ ∈ [K’L’].
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
j
e retiens
Symétriques de figures par une symétrie centrale
Symétrique d’un segment par une symétrie centrale
Propriété :
Le symétrique d’un segment par rapport
à un point est un segment.
Ici, le symétrique, par rapport au point M,
du segment [AB] est le segment [A’B’].
A
Propriété :
Si deux segments sont symétriques
par rapport à un point alors ils ont
la même longueur.
Ici A’B’ = AB
Lis attentivement le paragraphe suivant.
B
O
B'
A'
68
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séance 3 —
Séquence 3
je comprends la méthode
Construire le symétrique d’un segment
par rapport à un point
A
O
B
1-
2-
B'
B'
A
O
A
O
A'
A'
B
B
Je construis les symétriques respectifs A’ et B’ des
extrémités A et B du segment [AB] par rapport
au point M.
Je trace le segment d’extrémités A’ et B’.
Le symétrique du segment [AB] par rapport au
point M est le segment [A’B’].
Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu utiliseras un papier calque.
Exercice 15
1- Construis les symétriques de ces trois segments par rapport au point O.
B
Cas 1
A
O
E
D
Cas 2
F
Cas 3
O
O
C
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Séquence 3 — séance 3
2- Construis, pour chacun des trois cas, le milieu du segment et son symétrique par rapport
à O. Que remarques-tu ?
Exercice 16
1- Construis le symétrique de la figure 1 par rapport au point O.
O
2- Construis le symétrique de la figure par rapport au point K.
K
Exercice 17
1- Construis un triangle EDF tel que ED = 4 cm , DEF ∑ = 35° et EDF ∑ = 45°.
2- a) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point E.
b) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point D.
c) Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point F.
70
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Séance 4
séance 4 —
J’étudie le symétrique d’une figure simple
par une symétrie centrale
Séquence 3
Maintenant que tu as étudié le symétrique d’un segment par rapport à un point, tu vas étudier le
symétrique d’une droite par rapport à un point puis d’une demi-droite par rapport à un point.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 18 Qui a raison ? – suite –
1- Trace une droite (∆) et marque un point O qui n’appartient pas à (∆).
2- Marque trois points A , B et C sur la droite (∆) puis construis leurs symétriques respectifs
A’ , B’ et C’ par rapport au point O. » Voici les réactions de trois camarades :
Delphine : Vincent : Jihanne :
« Les points A’ , B’ et C’
« Non, ils ne le sont pas ! »
semblent alignés. »
Qui a raison ? Conseil : On ne demande pas de justifier, ici.
« Seuls les points A’ et B’
sont alignés. »
3- Trace la droite (A’B’), nomme-la (∆’). puis marque un point M sur cette droite. Construis
le point N dont M est le symétrique par rapport à O. Que constates-tu ? On ne demande
pas de justifier, ici.
4- Recopie et complète les conjectures suivantes :
a) On dirait que le symétrique par rapport à O de n’importe quel point de la droite
……… est sur la droite………… .
b) On dirait que n’importe quel point de la droite ……… est le symétrique, par rapport
à O, d’un point de la droite…… .
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le, ainsi que la figure, sur ton cahier de cours.
j
e retiens
Symétrique d’une droite par une symétrie centrale
Propriété :
Le symétrique d’une droite par rapport à un point (∆)
est une droite.
Si une droite (∆’) est le symétrique d’une droite (∆) A
O
par rapport à O,
• Tout point de (∆) a pour symétrique, par rapport
à O, un point de (∆’).
B
• Tout point de (∆’) est le symétrique, par rapport
à O, d’un point de (∆).
Remarque :
• Le symétrique d’une demi-droite est une demi-droite.
Ici, le symétrique de [AB) est la demi-droite [A’B’).
A
• La propriété précédente signifie aussi que : « Des points
O
alignés ont pour symétriques par rapport à un point des
points qui sont, eux aussi, alignés ». On dit que la symétrie
B
centrale conserve les alignements de points.
La symétrie orthogonale conserve,également, les alignements de points.
(∆')
B'
B'
A'
© Cned, Mathématiques 5e — 71
A'
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Séquence 3 — séance 4
Lis attentivement le paragraphe suivant.
je comprends la méthode
Construire le symétrique de la droite (xy)
par rapport au point K
x
y
K
1- x
B
2- x
B
A
A
K
y
K
y
A'
A'
B'
B'
Il me suffit de choisir deux points de la droite
(xy), par exemple A et B. Je les choisis éloignés
l’un de l’autre pour que ma construction soit
précise. Je construis leurs symétriques respectifs A’
et B’ par rapport au point K.
Je trace la droite (A’B’). Cette droite (A’B’) est
le symétrique de la droite (xy) par rapport au
point K.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Tu construiras les figures sur une feuille de
papier calque que tu colleras sur ton cahier d’exercices une fois que tu auras vérifié tes constructions
sur le corrigé.
Exercice 19
1- Reproduis par transparence les trois figures ci-dessous puis construis le symétrique (d’)
de la droite (d) par rapport au point K, dans chaque cas.
A
K
B
(d)
72
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séance 4 —
Séquence 3
(d)
K
(d)
K
2- Que constates-tu pour la dernière figure ? On ne demande pas de justifier, ici.
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 20
Trace une droite (d) et place un point M tel que : M ∉ (d).
1- Construis le symétrique de la droite (d) par rapport au point M. Quelle conjecture fais-tu ?
2- Construis le symétrique du point M par rapport à la droite (d).
Nous allons maintenant essayer de démontrer quelle est la position relative d’une droite et de son
symétrique. Pour cela, effectue les deux exercices suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 21
Trace une droite (d) et place un point O tel que : O ∉ (d).
1- a) Construis la droite (d’), symétrique de (d) par rapport au point O.
Nous allons démontrer que les droites (d) et (d’) sont parallèles.
b) Place un point A sur (d). Construis un point B sur (d) tel que le triangle AOB
soit isocèle en O.
Construis A’ et B’ les symétriques respectifs de A et B par rapport au point O.
Trace ensuite le quadrilatère AB’A’B.
2- a) Démontre que les diagonales du quadrilatère AB’A’B ont le même milieu.
b) Démontre que les diagonales du quadrilatère AB’A’B ont la même longueur.
c) Démontre que (d) et (d’) sont parallèles.
Lis attentivement le paragraphe suivant puis apprends-le.
j
e retiens
Propriété :
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point
alors ces deux droites sont parallèles.
B
A
(∆)
O
A'
(∆')
Ici (AB) // (A’B’)
ou encore (∆) // (∆’)
B'
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Séquence 3 — séance 4
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
Exercice 22
Les droites (xy) et (x’y’) sont parallèles.
Quel est le symétrique de la demi-droite [Rx) par rapport à O ?
x'
R'
y'
O
x
R
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
y
Exercice 23
Construis le symétrique (d’) de la droite (d) par rapport au point O sans utiliser le compas ni
la règle graduée.
A
(d)
O
A'
Exercice 24
Le triangle ABC a été effacé. Es-tu capable de construire son symétrique A’B’C’ par rapport
au point O sans prolonger le tracé du triangle ABC ?
B
O
C
74
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séance 5 —
Séquence 3
Séance 5
J’étudie le symétrique d’un cercle par une symétrie centrale.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 25
1- Trace un cercle Ω de centre O et de rayon 3 cm. Marque cinq points A, B, C, D et E sur ce
cercle puis marque un point S à 5 cm de O.
2- Construis les symétriques respectifs O’, A’, B’, C’, D’ et E’ des points O, A, B, C, D et E
par rapport au point S. Que remarques-tu ?
3- a) Détermine les distances O’A’ , O’B’ , O’C’ , O’D’ et O’E’. Justifie.
b) Que peux-tu en déduire sur la position des points A’ , B’ , C’ , D’ et E’ ? Justifie.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours.
j
e retiens
Symétrique d’un cercle par rapport à un point
Propriété :
Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle dont :
• le rayon est le même que celui du cercle initial
• le centre est le symétrique par la symétrie
centrale, du centre du cercle initial.
Ici, le cercle Ω , de centre O et de rayon
3 cm, a pour symétrique par rapport
au point M, le cercle Ω’ de centre O’ et
de rayon 3 cm. le point O’ est le symétrique
du point O par rapport au point M.
O
3 cm
Ω
M
Ω'
3 cm
O'
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Tu construiras chacune des trois figures sur une
feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d’exercices une fois que tu auras vérifié tes
constructions sur le corrigé.
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Séquence 3 — séance 5
Exercice 26
Trace le symétrique C ’ du cercle C 1
par rapport à B, le symétrique du cercle C ’ 2
par
rapport à A et le symétrique du cercle C ’ 3
par rapport à C.
C 1
R
B
C 2
O
A
C 3
S
C
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Tu construiras à nouveau chacune des trois
figures sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton cahier d’exercices une fois que tu
auras vérifié tes constructions sur le corrigé.
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séance 5 —
Séquence 3
Exercice 27
Construis le symétrique de chacune des trois figures, respectivement par rapport à P , à O,
et à R.
P
C
1
O
A
B
O 1
C
2
O
R
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
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Séquence 3 — séance 5
Exercice 28
On a représenté un cercle C et son symétrique C ’ par rapport au point R. Construis à
l’aide d’une règle non graduée uniquement le symétrique M’ du point M puis le symétrique
N’ du point N, par rapport à R.
C '
N
M
C
R
Exercice 29
Construis en bleu le symétrique de la figure noire par rapport au point O.
Consigne : tu n’as le droit d’utiliser que ta règle non graduée.
Les cercles Ω 1
, Ω 2
, Ω 3
et Ω 4
sont concentriques. Cela signifie qu’ils ont le même centre : le
point O.
O
Ω 1
Ω 2
Ω 3
Ω 4
78
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séance 6 —
Séquence 3
Séance 6
Je construis le symétrique d’un angle
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. Pour chaque question, tu reproduiras la figure
sur du papier calque puis tu la complèteras au fur et à mesure sur ce calque. Tu colleras ensuite les
deux calques complétés sur ton livret une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé,
après avoir terminé l’exercice.
Exercice 30
Dans toute la suite, on considère la symétrie centrale de centre O.
a) Consigne :
Complète : Mesure :
Construis les Le symétrique de
BAC ∑ = .....................
symétriques l’angle BAC ∑ est
respectifs [A’B’) et l’angle .............. B ∑ ' A' C'
= ................
[A’C’) des demidroites
[AB) et [AC).
b) Consigne :
Construis les
symétriques
respectifs [G’x’) et
[G’y’) des demidroites
[Gx) et [Gy).
Complète :
Le symétrique de
l’angle xGy ∂ est
l’angle ...............
Conjecture :
............................
............................
............................
............................
............................
............................
Mesure :
Conjecture :
Mesure :
xGy ∂ = ......................
x'G'y' ∑ = ...................
............................
............................
............................
............................
............................
x
C
A
G
B
y
O
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. Tu reproduiras la figure sur du papier calque
puis tu la complèteras au fur et à mesure sur ce calque. Tu colleras ensuite le calque complété sur
ton livret une fois que tu auras vérifié tes constructions sur le corrigé, après avoir terminé l’exercice.
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Séquence 3 — séance 6
Exercice 31
Construis le symétrique de l’angle BAC ∑ par rapport au point D et le symétrique de l’angle
xFy ∂ par rapport au point H.
x
B
F
A
H
C
D
Tu complèteras la figure de l’exercice suivant directement sur ton livret, mais tu rédigeras tes
réponses sur ton cahier d’exercices.
y
Exercice 32
Voici un triangle EAU tel que :
AE = 3 cm , AU = 3,7 cm, UE = 4,5 cm
et un point S.
A
S
U
E
1- Construis les symétriques respectifs E’ , A’ et U’ des points E , A et U par rapport au point S.
2- Que peux-tu affirmer sur les longueurs des côtés symétriques des deux triangles EAU et
E’A’U’ ? Justifie.
3- Les triangles EAU et E’A’U’ sont-ils superposables ? Que peux-tu déduire sur les angles de
ces triangles ?
Lis attentivement le paragraphe suivant puis apprends-le.
j
e retiens
Symétrique d’un angle par une symétrie centrale
Propriété
Le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de
même mesure.
Ici, comme les angles xOy ∂ et x´O´y´ ∂ sont symétriques par rapport
au point A, on peut en déduire que leurs mesures sont égales :
xOy ∂ = x´O´y´ ∂ .
y
x
O'
O
A
y'
x'
80
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séance 6 —
Séquence 3
Effectue l’exercice suivant sur ton livret.
Exercice 33
Les points A’ et B’ sont les symétriques des points A et B
par rapport au point O. Construis à l’aide d’un
rapporteur l’angle x'A'B' ∑ symétrique de xAB ∑ par rapport à O.
x
A
B
O
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
B'
A'
Exercice 34
a) Que peut-on dire d’un angle qui est le symétrique d’un angle droit par une symétrie
centrale ?
b) Par une symétrie centrale,
• une droite (d) a pour symétrique (∆)
• une droite (d’) a pour symétrique (∆’).
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des droites (∆) et (∆’) ?
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Tu reproduiras la figure sur un papier calque.
Exercice 35
1- Quelle est la nature précise du triangle KLM ?
2- Construis le symétrique K’L’M’ du triangle KLM
par rapport au point N.
3- Quelle est la nature précise du triangle K’L’M’ ?
K
N
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
L
M
Exercice 36
Par une symétrie centrale, une droite (d) a pour symétrique (∆) et une droite (d’) a pour
symétrique (∆’).
De plus, les droites (d) et (d’) sont parallèles.
a) Fais une figure.
b) Démontre que (∆) et (d’) sont parallèles.
c) Démontre que les droites (∆) et (∆’) sont parallèles.
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Séquence 3 — séance 7
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.
j
e retiens
Symétriques de droites parallèles
Symétriques de droites perpendiculaires
Propriété
Par une symétrie centrale, les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites
parallèles et les symétriques de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Tu reproduiras la figure sur un papier calque.
Exercice 37
Construis le symétrique de la figure par rapport à O
sachant que :
• B est le milieu de [AC].
• G ∈ [AF].
G
F
E
D
Consigne : utilise autant que tu le peux les propriétés
de la symétrie centrale, au lieu de la méthode
traditionnelle de construction du symétrique d’un point.
A
B
C
Conseil : utilise les indications ajoutées en bleu.
O
Séance 7
Je reconnais et je construis des axes et des centres de symétrie
On commence par rappeler qu’une figure admet un centre de symétrie par rapport à un point O si le
symétrique de la figure par la symétrie de centre O est la figure elle-même.
Dans cette séance, tu vas apprendre à retrouver le centre de symétrie ou le(s) axe(s) de symétrie d’une figure.
Effectue les trois exercices suivants sur ton livret.
82
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séance 7 —
Séquence 3
Exercice 38
Pour chacune des deux figures, le point O est-il le centre de symétrie ?
Figure 1
Figure 2
E
H
A
O
O
F
G
(O : point d’intersection des diagonales
du carré EFGH)
B
C
Exercice 39
Parmi les figures ci-dessous, lesquelles admettent un centre de symétrie ? Place alors le
centre de symétrie O sur la figure.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Exercice 40
Sur chacune des figures ci-dessous, trace, sur ton livret, en bleu le(s) axe(s) de symétrie et
marque le centre de symétrie en noir.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Tu feras par contre les constructions
directement sur ton livret.
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Séquence 3 — séance 7
Exercice 41 Qui a raison ? – suite –
1- Voici une figure qui admet un axe de symétrie.
On veut construire cet axe.
Voilà les réactions de trois camarades :
Delphine : Vincent : Jihanne :
« On prend deux points et
on trace la perpendiculaire
à la droite qui passe par ces
deux points. »
« Mais non ! On prend deux
points qui semblent syméttriques
et on trace la perppendiculaire
à la droite qui
passe par ces deux points. »
« Non, non ! On plie la
figure et on trace l’axe sur la
pliure. »
Qui a raison ? On ne demande pas de justifier.
Et toi : que ferais-tu ? Rédige, avec tes propres mots, une méthode pour construire l’axe
de symétrie puis construis-le.
2- Voici une figure qui admet un centre de symétrie.
On veut construire ce centre.
Voilà les réactions de tes trois camarades :
Delphine : Vincent : Jihanne :
« On trace le segment qui
a pour extrémités un point
et son symétrique puis on
cherche le milieu de ce segmment.
»
Qui a raison ? On ne demande pas de justifier.
« Mais non ! On prend deux
points qui semblent syméttriques
et on trace la perppendiculaire
à la droite qui
passe par ces deux points. »
« Non, non ! On trace un
segment qui joint deux
points qui semblent syméttriques
et on refait la même
chose avec deux autres
points qui semblent symétriqques
: ça suffit. »
Et toi : que ferais-tu ? Rédige, avec tes propres mots, une méthode pour construire le centre
de symétrie puis construis-le.
84
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séance 7 —
Séquence 3
Effectue les trois exercices ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 42
La figure ci-dessous possède un centre de symétrie. Construis-le.
Exercice 43
Complète la figure de telle façon qu’elle admette le point A comme centre de symétrie.
G
H
F
I
A
E
Exercice 44
Complète la figure de
telle façon qu’elle
admette le point K
comme centre de
symétrie.
Utilise autant que tu le
peux les propriétés de la
symétrie centrale, au lieu
de la méthode traditionnelle
de construction du
symétrique d’un point.
L
K
N
M
O
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Séquence 3 — séance 8
Séance 8
J’étudie la conservation du périmètre et
de l’aire par une symétrie centrale
Effectue la construction de l’exercice suivant sur une feuille de papier calque que tu colleras sur ton
cahier d’exercices une fois que tu l’auras vérifiée sur le corrigé.
Exercice 45
1- Construis un triangle DEF rectangle en E tel que ED = 3 cm et EF = 5 cm. Construis
ensuite le carré EFGH tel que : H ∈ [DE). Construis enfin le cercle C de diamètre [EF].
2- a) Calcule l’aire A du triangle DEF.
DEF
b) Calcule le périmètre p EFGH
et l’aire A
EFGH
du carré EFGH.
c) Calcule la longueur l du cercle C . Donne la valeur exacte.
3- On considère la symétrie centrale de centre D.
a) Construis DE’F’ le symétrique du triangle DEF, le carré E’F’G’H’ symétrique du carré
EFGH et le cercle C ’, symétrique du cercle C .
b) Calcule l’aire A ’ du triangle DE’F’.
DE’F’
Calcule le périmètre p E’F’G’H’
et l’aire A
E’F’G’H’
d) Calcule la longueur l’ du cercle C ’.
4- Que remarques-tu ? Quelle conjecture peux-tu établir ?
du carré E’F’G’H’.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, recopie-le et retiens-le bien.
j
e retiens
Conservation des périmètres et des aires par une symétrie orthogonale ou centrale
Propriété :
Si deux figures sont symétriques, par rapport
à un point, alors elles ont le même périmètre
O
et la même aire.
Ici, les deux figures sont symétriques par rapport
au point O,
donc elles ont le même périmètre et la même aire.
On dit que la symétrie centrale conserve les périmètres et les aires.
On savait déjà depuis la sixième que la symétrie axiale conservait les périmètres et les aires.
Nous savons maintenant qu’il en est de même pour la symétrie centrale.
Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
86
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séance 8 —
Séquence 3
Exercice 46
La figure F 1
ci-dessous a une aire de 14 cm².
1- Construis :
Le symétrique F 2
de la figure F 1
par rapport à O.
Le symétrique F 3
de la figure F 1
par rapport à P.
O
Le symétrique F 4
de la figure F 2
par rapport à P.
F 1
P
2- Calcule l’aire de la figure composée par F 1
, F 2
, F 3
et F 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 47
1- Calcule le périmètre p de la figure F ci-contre. Donne la valeur exacte.
1 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2- Construis le symétrique F ’de cette figure par rapport au point S.
3- Quel est le périmètre de F ’ ?
Prends ton cahier d’exercice et effectue l’exercice ci-dessous.
F
S
Exercice 48
∑
1- Le triangle ABC est tel que AC = 4 cm , ACB = 90° et
∑
CBA
∑
= CAB .
a) Quelle est la nature exacte du triangle ABC ?
b) Construis le triangle ABC.
c) Calcule l’aire S du triangle ABC.
2- a) Construis le symétrique B’ de B par rapport à la droite (AC) et le symétrique A’ de
A par rapport à la droite (BC).
b) Quelle est la nature exacte des triangles AB’C et A’BC ?
c) Quel est le symétrique du triangle ABC par rapport au point C ?
d) Détermine ensuite la nature exacte de ce symétrique.
3- Trace en bleu le quadrilatère ABA’B’.
a) Quelle est sa nature ?
b) Calcule son aire S’.
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Séquence 3 — séance 9
Séance 9
J’effectue des exercices de synthèse
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Tu complèteras cependant la figure
directement sur ton livret.
Exercice 49
Voici huit figures nommées 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 et 8.
8
C 1;8
1 2 4
3
7 6 5
Voici un modèle : « Les figures 1 et 8 sont symétriques par rapport au point C 1 ; 8
».
Rédige sept phrases sur le modèle : « Les figures ...... et ….. sont symétriques par rapport
….... ».
Tu indiqueras sur la figure les points ou les droites qui sont centres ou axes de symétrie. Pour
t’y retrouver plus facilement, tu peux par exemple nommer (d 7 ; 6
) ou(d 6 ; 7
) l’axe de symétrie des figures
6 et 7, ou comme dans l’exemple C 1 ; 8
le centre de symétrie des figures 1 et 8.
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 50
1- Construis le triangle MAT tel que MA = 4 cm , AT = 5 cm et TM = 6 cm.
2- Construis le cercle C circonscrit au triangle MAT. Nomme O son centre.
3- Construis les symétriques respectifs M’ , A’ et T’ des points M , A et T par rapport au
point O. Trace en bleu le triangle M’A’T’.
4- Quel est le cercle circonscrit au triangle M’A’T’ ? Justifie ta réponse.
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
88
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séance 9 —
Séquence 3
Exercice 51
En observant la figure ci-dessous, mets une croix dans les cases du tableau lorsque tu es
d’accord avec la phrase proposée.
(Δ) et (Δ’)
(AB) et (AC)
(Δ) et (xy)
[AB) et [AC)
[AC) et [EB)
sont symétriques par rapport
à la droite (d) au point O au point A
(∆)
(d)
C
A
O
(∆')
E
B
x
y
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Séquence 3 — séance 9
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche
directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés,
lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.
je m’évalue
1- Coche les phrases vraies :
figure 1
(d)
figure 3
O
figure 2
figure 4
O
(d)
2- Coche les phrases vraies :
® Si A est le milieu de [BC], alors B
et C sont symétriques par rapport
au point A.
® Si A et B sont symétriques par
rapport à la droite (d), alors (d) est
la médiatrice du segment [AB].
® Si les segments [AB] et [CD] sont
symétriques par rapport à une
droite, alors les droites (AB) et
(CD) sont parallèles.
® Un cercle possède une infinité de
centres de symétrie.
® (d) est un axe de symétrie de la figure 1.
® (d) est un axe de symétrie de la figure 2.
® O est un centre de symétrie de la figure 3.
® O est un centre de symétrie de la figure 4.
3- Deux figures F et F ’ sont symétriques par
rapport à une droite (Δ). Quel est le symétrique
du symétrique de F par rapport à (Δ) ?
® F
® F ’
® On ne peut pas le savoir.
5- Par une symétrie centrale :
® Le symétrique d’une droite est une droite
parallèle.
® Le symétrique d’un cercle est un cercle de
même rayon.
® Le symétrique d’un angle est un angle de
même mesure.
® Le symétrique d’un carré est un carré.
4- Deux figures F et F ’ sont
symétriques par rapport à un
point O. Quel est le symétrique du
symétrique du symétrique de F par
rapport à O ?
® F
® F ’
® On ne peut pas le savoir.
6- Quelle propriété ci-dessous n’est
pas vérifiée à la fois par la symétrie
centrale et la symétrie axiale ?
® La conservation des angles
® La conservation des longueurs
® La conservation du parallélisme
® Le symétrique d’une droite est
une droite parallèle.
90
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je m’évalue (suite)
7- Un rectangle possède-t-il un centre de
symétrie ?
® Oui. Le centre de symétrie est un des
sommets.
® Non.
® Oui. Le point d’intersection de ses
diagonales est un centre de symétrie.
® Oui. Le point d’intersection des
médiatrices de deux de ses côtés
consécutifs est un centre de symétrie.
9- Un cercle C de rayon 5 cm a pour
symétrique par rapport à un point un
cercle C ’. Le cercle C ’ a environ pour
longueur :
® 3,14 cm
® 10 cm
® 5 cm
® 31,4 cm
séance 9 — Séquence 3
® 29,97 cm 2
8- Un triangle équilatéral possède-t-il un
centre de symétrie ?
® Oui. Le centre du cercle circonscrit
au triangle.
® Non.
® Oui. Un de ses sommets est centre
de symétrie.
® Oui. Le point d’intersection des
médiatrices de deux de ses côtés
consécutifs est un centre de symétrie.
10- ABC est un triangle équilatéral dont
l’aire est de 10 cm 2 . D et E sont
les symétriques respectifs de B et
A par rapport à C. F et G sont les
symétriques respectifs de D et C par
rapport à E. Quelle est l’aire de la
figure obtenue ?
® 90 cm 2
® 10 cm 2
® 30 cm 2
© Cned, Mathématiques 5e — 91
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