Bruits et signaux parasites - LPP

“Bruits et signaux parasites” – Module Instrumentation
2) Lien entre la DSP et l’énergie d’un signal aléatoire
On s’appuie sur le théorème de Wiener-Khintchine :
On rappelle que la fonction d’auto-corrélation d’un signal x(t) s’exprime :
1 T
C xx ( τ ) = lim ∫ x(
t)
x(
t −τ
) dt
T →∞ T 0
Et la TF inverse
S ( f ) = TF[
( τ )]
x C xx
Si le signal est un signal aléatoire à valeur moyenne nulle, la fonction d’auto-corrélation
sera nulle partout sauf en τ=0 : C ( τ ) ≠ 0 pour τ = 0
Le théorème de Wiener-Khinchine devient :
D’où :
∫
∞
0
TF
S
−1
x
xx
( f ) df
=
T →∞
Cette relation importante démontre l’équivalence entre la valeur efficace du signal et
l’intégrale de la DSP du signal sur tout le spectre pour un signal aléatoire.
C
C
1
lim
T
xx
xx
∫
( τ )
= ∫ ∞ j2πτ
Sx(
f ) e
0
= TF
[ S ( f )]
df
x
∫ ∞
−1
[ S
x
( f
( 0) = S ( f ) df
0
T
0
x(
t)
2
dt
x
)]
C. Coillot (LPP: Laboratoire de Physique des Plasmas)