circuits avec ampli op

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6. Le graphique de G = H = 2, 3 1+ 100( x − 1/ x) 2 est : 2 Le maximum a lieu pour ω = ω0 , G = 2, 3 . 7. W = 0 , car H = 0 pour ω = 0 . 8. w1 = A v1 = −7, 6 cos ω 2 t 1.5 G 9. w 2 est très petit par rapport à w 1 car H est nettement 1 plus petit que dans le cas précédent, la courbe de H en fonction de ω présentant son maximum assez aigu pour la question 8. 0.5 10. w = W + w1 + w2 w1. En effet, V + v 1 +v2 est la série de Fourier de u s . 0 11. On a réalisé un doubleur de fréquence qui transforme cos ωt en cos 2ωt . III. 1) Le même courant traverse et R u : La loi des nœuds en S s’écrit R1 3 u2 v R 1 − v R u − v + R 1 − + + 2 4 − v− − u = . R = i . En outre, s = v+ = v− . La relation entre s et i s’obtient en éliminant u entre ces relations : R3 R4 u = v− − ( u1 − v− ) = v+ + R4i − ( u2 − v+ ) R R 1 2 3 0.5 1 1.5 2 2.5 x 1 R3 i = ( u2 − s) − ( u1 − s) R2 R1R4 2) Pour que le montage se comporte comme une source de courant, il faut que i soit indépendant de s , donc que R1R4 u2 − u1 R 2 = . Alors i = . R R 3 2 3) Le théorème de Millman pour l’entrée inverseuse s’écrit : v u2 u + R2 R4 Le théorème de Millman en S s’écrit : v + = . 1 1 1 + + R R R 2 4 u u1 u + R R 1 1 + R R 1 3 − = . ⎛ u2 u u1 u ⎞ ⎜ + + ⎟ du D’où : ⎜ R2 R4 R1 R3 τ + u = µ ⎟ ⎜ − dt 1 1 1 1 1 ⎟ ⎜ + + + ⎟ ⎝ R2 R4 Ru R1 R3 ⎠ du ⎡ 1 1 ⎤ 4) Cette équation est du type τ + au = Au 1 + Bu2 , où a = 1 + µ − dt R . 3 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 R ⎢ + + 4 R ⎜ + 1 ⎜⎝R 2 R ⎟ ⎥ ⎣ u ⎠⎦ La solution de cette équation est la somme d’une solution particulière qui ressemble à Au + et de la solution générale de l’équation sans second membre, cste. exp( − at / τ ) ; il faut que cette fonction tende vers zéro quand t → ∞ , 1 3 1 Bu 2 donc que a > 0 pour que le système soit stable, c’est-à-dire que u (t) suive Au 1 + Bu2 . Si au contraire a < 0 , u(t) croît en valeur absolue jusqu’à ce que la saturation soit atteinte. 5) µ est très grand (10 5 ). 6) Par conséquent, la condition de stabilité est approximativement 1 1 R3 ⎛ 1 1 ⎞ 1 R3 0 1 1 R4 1 − > ⇒ + < + + ⇒ > − R3 ⎛ 1 1 ⎞ R ⎜ 1 1 ⎜⎝R 2 Ru ⎠ ⎟ Ru RR 1 4 1 R4 R + + + 2 R ⎜⎝R R ⎠ ⎟ 1 2 u DS : ampli op, page 10
IV. e1 e2 s1 + + 1) Montage 1. Millman : 0 = v R R R + = v− = s1 = − ( e1 + e2) (montage sommateur). 1 1 1 + + R R R e1 + s2 v− = ⎫⎪ ⎪ Montage 2. Montages diviseur de tension : 2 s2 e2 e e ⎬ ⇒ = − 1 (opération différence). 2 v+ = ⎪ 2 ⎪⎭ e1 + s3 Montage 3. Montage diviseur de tension : 0 = v+ = v− = s3 = −e 2 1 (montage inverseur). ⎧ 1 ⎛ e ⎞ si e 0, s ln 2.a) Pour la diode, i = e / R, u = −s , soit ⎪ > = − a ⎜ RI ⎟ ⎨ ⎜⎝ 0 ⎠ (amplificateur logarithmique). ⎪ si e < 0, l'AO est saturé ⎪⎩ e 2.b) u e i, soit ⎪ ( ) ⎧⎪ si e > 0 s = −RI0 exp a = s = −R ⎨ (amplificateur exponentiel). ⎪ si e < 0 l'AO est saturé ⎪⎩ 3) 1 1 Si 1 0, 1 ln e 1 2 e > s = − ; si 2 0, 2 ln e 1 ee 1 2 e > s = − ; s3 1 2 a RI0 a RI = − s − s = ln ; si s , soit 2 3 0 a ( RI0 ) > 0 ( ) 2 ee 1 2 ee 1 2 ee 1 2> RI0 , s4 = − R I0 exp( as3) = − ; s5 = − s 4 = RI RI 0 4) Ce montage ne fonctionne que si e 1 > 0 et e 2 > 0 et ee 1 2> ( RI0) 2 . En réalité, la caractéristique de la diode n’est opérationnelle que sur une gamme très étroite de tension. Il faut donc compliquer ce montage pour avoir un multiplieur efficace. V. 1) La sortie de l’AO est reliée à l’entrée inverseuse, ce qui stabilise le régime linéaire par contreréaction ; elle n’est pas reliée à l’entrée non inverseuse ; une telle liaison déstabiliserait le régime linéaire. 2) Si V em est trop grand, v s risque d’être écrêté. 0 i u région utile 3) A basse fréquence, les condensateurs ont une grande impédance, si bien qu’on peut supprimer leurs branches sans perturber le montage. Les résistances R et R′ sont alors parcourues par le courant i = 0 , d’où v = v = v = v et + e + − H = 1. 4) A haute fréquence, les condensateurs ont une impédance petite, si bien qu’on peut les remplacer par des fils. Alors v + = 0 , d’où v− = v s = 0 et H = 0 . 5) vA = v + = v− = vs. vB vA R et C sont en série, donc = ⇒ vB = vs ( 1 + jRCω ). 1 1 R + jC ω jC ω ve 1 + vs ( + jC′ ω R ) Le théorème de Millman en B donne : v R′ B = . 1 1 + + jC ′ ω R′ R En combinant ces deux relations : 1 1 ve 1 vs ( 1 + jRCω)( + + jC′ ω) = + vs ( + jC′ ω R′ R R′ R ) 1 ve ⎡ 1 1 1 ⎤ 2 = = R′ ⎢( 1+ jRC ω)( + + jC ′ ω) − ( + jC ′ ω) ⎥ = 1+ j ( R + R′ ) C ω − RR′ CC ′ω H v ⎣ R′ R R ⎦ s 1 H 2 2 2 ω = à 1 + . Ces deux polynômes ont mêmes 4 ω 2 2 2 6) Il faut identifier ( 1− RR′ CC′ ω ) + ( R + R′ ) C ω 2 2 ω ( R + R′ ) coefficients en : − 2RR′ CC′ + 1 2 ω 0 = = . R R′ CC′ ( R + R′ )C C 2 = 0 ⇒ C′ = ( R + R′ ) 2 C 2RR′ DS : ampli op, page 11 4 0 4 et mêmes coefficients en ω : s
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