Théorie de Lyapunov, commande robuste et ... - LAAS CNRS

Relaxation lagrangienne : théorèmes des alternatives 14
Soit l’application linéaire A : E → S
A adj : S → E est l’application adjointe
∀ x ∈ E, ∀ Z ∈ S, 〈A(x), Z〉 S
=
〈 〉
x, A adj (Z)
E
Théorème 2 (Alternative forte)
Une des assertions suivantes est exactement vérifiée
1- ∃ x ∈ E tel que A(x)+A 0 ≻ 0
2- ∃ Z ∈ S +∗ telle que A adj (Z) =0 et 〈A 0 , Z〉 S
≤ 0
Théorème 3 (Alternative faible)
Une des assertions suivantes au plus est vérifiée
1- ∃ x ∈ E tel que A(x)+A 0 0
2- ∃ Z ∈ S +∗ telle que A adj (Z) =0 et 〈A 0 , Z〉 S
≤ 0
De plus, si A 0 = A(x 0 ) pour x 0 ∈ E ou si ̸ ∃ x ∈ E tel que A(x) 0 alors une seule des
assertions est exactement vraie.
Théorie de Lyapunov, commande robuste et optimisation
JNMACS
06/09/05