Corrigé - ENS de Cachan - Antenne de Bretagne
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Université Rennes 1, <strong>ENS</strong> <strong>Cachan</strong> <strong>Bretagne</strong> Mercredi 25 avril 2012<br />
Cours Équations différentielles 2<br />
L3, Math 1ère année<br />
Examen terminal (Éléments <strong>de</strong> correction)<br />
Durée: 2 heures<br />
Examen sans document ni calculatrice. Ce sujet comporte <strong>de</strong>ux pages. Les exercices<br />
sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. La clarté <strong>de</strong> la rédaction<br />
constituera un élément important dans l’appréciation <strong>de</strong>s copies (notamment, indiquer<br />
soigneusement les hypothèses <strong>de</strong>s théorèmes et les résultats du cours utilisés).<br />
Exercice 1<br />
Résoudre explicitement les équations différentielle suivantes,<br />
Sol.:<br />
(E1)<br />
{<br />
x ′ (t) =<br />
1<br />
x(t)(1+t 2 ) ex2 (t)<br />
x(0) = 1.<br />
Il s’agit un problème à variables séparables: e −x2 xdx = dt<br />
1+t 2 d’où<br />
−1<br />
2 e−x(t)2 = artan(t) + C<br />
et la constante C est déterminée par la condition initiale à t = 0, C = −1 . On déduit<br />
2e<br />
x(t) =<br />
√<br />
−ln(−2artan(t) + e −1 ), pour tout t ∈]t − , t + [, t − = tan(e −1 /2 − 1/2), t + = tan(e −1 /2)<br />
On peut vérifier lim t→t − x(t) = +∞. Le second membre <strong>de</strong> l’équation différentielle dans<br />
(E1) étant clairement continu et localement liptschitzien, le théorème <strong>de</strong> Cauchy-Lipschitz<br />
implique que c’est l’unique solution maximale <strong>de</strong> (E1).<br />
Sol.:<br />
(E2)<br />
{<br />
x ′ (t) = − x(t)<br />
x(1) = 0.<br />
t<br />
− 1 − x2 (t)<br />
t 2<br />
On cherche formellement une solution <strong>de</strong> la forme x(t) = ty(t). On obtient<br />
ty ′ (t) = −(y(t) + 1) 2 .<br />
C’est une équation à variables séparables: −dy/(y+1) 2 = dt/t, d’où (y(t)+1) −1 = ln(t)+C.<br />
La constante C = 1 est déterminée en utilisant la condition initiale à t = 1. On déduit<br />
x(t) =<br />
tln(t)<br />
1 + ln(t)<br />
pour tout t > 0.<br />
Par le théorème <strong>de</strong> Cauchy-Lipschitz, c’est l’unique solution maximale <strong>de</strong> (E2) sur l’intervalle<br />
]0, +∞[.<br />
1
Exercice 2<br />
On considère le système différentiel suivant:<br />
(E)<br />
{<br />
x ′ (t) = (3t − 1)x(t) + (t − 1)y(t)<br />
y ′ (t) = −(t + 2)x(t) + (t − 2)y(t).<br />
1. Vérifier que (E) admet une solution non triviale <strong>de</strong> la forme X 1 : t ↦→ (ψ(t), −ψ(t)),<br />
où ψ est une fonction scalaire à déterminer.<br />
Sol.:<br />
En remplaçant (x, y) par (ψ, −ψ) dans (E), on obtient <strong>de</strong>ux fois l’équation<br />
ψ ′ (t) = 2tψ(t). On peut donc prendre X 1 (t) = (e t2 , −e t2 ) .<br />
2. Trouver une <strong>de</strong>uxième solution X 2 <strong>de</strong> (E) qui soit indépendante <strong>de</strong> X 1 .<br />
Indication: Métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> réduction <strong>de</strong> D’Alembert: chercher X 2 sous la forme X 2 (t) =<br />
ϕ(t)X 1 (t) + (0, z(t)), où t ↦→ ϕ(t) et t ↦→ z(t) sont <strong>de</strong>ux fonctions scalaires à déterminer.<br />
Sol.:<br />
On considère l’application linéaire <strong>de</strong> R 2 dans R 2 suivante:<br />
L t : (x, y) ↦→ ((3t − 1)x + (t − 1)y, −(t + 2)x + (t − 2)y).<br />
En insérant X 2 (t) = ϕ(t)X 1 (t) + (0, z(t)) dans (E), on obtient<br />
ϕ ′ (t)X 1 (t) + ϕ(t)X ′ 1(t) + (0, z ′ (t)) = ϕ(t)L t X 1 (t) + L t (0, z(t)).<br />
D’après 1), X ′ 1(t) = L t X 1 (t), d’où<br />
et <strong>de</strong> manière équivalente<br />
{<br />
ϕ ′ (t)X 1 (t) + (0, z ′ (t)) = L t (0, z(t)),<br />
ϕ ′ (t)e t2 = (t − 1)z(t)<br />
−ϕ ′ (t)e t2 + z ′ (t) = (t − 2)z(t).<br />
En ajoutant les <strong>de</strong>ux équations, on obtient z ′ (t) = (2t−3)z(t), d’où z(t) = z(0)e t2 −3t .<br />
Ainsi, ϕ ′ (t) = (t − 1)z(0)e −3t , et ϕ(t) = ϕ(0) + z(0) ( 2 − 3t<br />
e −3t − 2 . Comme<br />
9 9)<br />
X 1 (0) = (1, −1), X 2 (0) = (ϕ(0), −ϕ(0) + z(0)), en posant par exemple ϕ(0) = 0,<br />
z(0) = 1, on obtient une solution indépendante avec X 2 (0) = (0, 1),<br />
X 2 (t) = (ρ(t), ρ(t) + e t2−3t ) avec ρ(t) = e t2( 2 − 3t<br />
e −3t − 2 .<br />
9 9)<br />
3. Expliciter la résolvante S(t), qui vérifie S(0) = Id.<br />
Sol.: Par définition, les colonnes <strong>de</strong> S(t) sont les composantes <strong>de</strong>s solutions dont les<br />
conditions initiales sont respectivement (1, 0), (0, 1). En choisissant judicieusement<br />
z(0) et ϕ(0), on obtient<br />
(<br />
e<br />
S(t) =<br />
t2 + ρ(t)<br />
−e t2 − ρ(t) + e t2 −3t<br />
)<br />
ρ(t)<br />
−ρ(t) + e t2 −3t<br />
avec ρ(t) = e t2( 2 − 3t<br />
e −3t − 2 .<br />
9 9)<br />
2
Exercice 3<br />
On considère l’équation différentielle<br />
x ′ (t) + x(t) − 5e −t x(t) 5 = 0<br />
(E)<br />
1. Montrer que si une solution <strong>de</strong> (E) s’annule en un point, alors c’est la solution nulle.<br />
Sol.: Soit x une solution <strong>de</strong> (E) qui s’annule en un point t 0 . On considère le<br />
problème <strong>de</strong> Cauchy {<br />
x ′ (t) = −x(t) + 5e −t x(t) 5<br />
x(t 0 ) = 0.<br />
Comme (x, t) ↦→ −x + 5e −t x 5 est clairement continue et localement lipchitzienne par<br />
rapport à x, par le théorème <strong>de</strong> Cauchy-Lipschitz, ce problème possè<strong>de</strong> une unique<br />
solution maximale. Or la solution constante nulle sur R est solution, donc x(t) est la<br />
solution constante nulle <strong>de</strong> ce problème en dimension un.<br />
2. Trouver un changement <strong>de</strong> variable qui transforme l’équation différentielle (E) en<br />
problème linéaire.<br />
Indication: On pourra cherche une transformation du type x = y α .<br />
Sol.:<br />
On pose formellement x(t) = y(t) α On obtient<br />
αy(t) α−1 y ′ (t) = −y(t) α + 5e −t y(t) 5α<br />
en divisant formellement par y(t) α−1 , on obtient<br />
αy ′ (t) = −y(t) + 5e −t y(t) 4α+1<br />
En posant α = −1/4, on obtient le problème linéaire<br />
y ′ (t) = 4y(t) − 20e −t .<br />
D’après 1), les solutions non triviales <strong>de</strong> (E) ne s’annulent pas, donc le changement<br />
<strong>de</strong> variable y(t) = 1/x(t) 4 convient.<br />
3. Déterminer toutes les solutions maximales <strong>de</strong> (E). Indiquer suivant la valeur <strong>de</strong> x(0)<br />
celles qui sont globales.<br />
Sol.: On cherche les solutions non nulles <strong>de</strong> (E). On résout le problème linéaire<br />
obtenu au 2). On obtient y(t) = Ce 4t +4e −t . On détermine la constant C = 1/x(0) 4 −4<br />
en utilisant la condition y(0) = 1/x(0) 4 , ainsi<br />
y(t) = (1/x(0) 4 − 4)e 4t + 4e −t .<br />
On constate que y s’annule sur R si et seulement si (1/x(0) 4 − 4)X 4 + 4X possè<strong>de</strong><br />
une racine X > 0, c.-à-d. 1/x(0) 4 − 4 < 0, et <strong>de</strong> manière équivalente |x(0)| > √ 2/2.<br />
Une solution maximale <strong>de</strong> (E) est donc globale si et seulement si<br />
|x(0)| > √ 2/2 ou x(0) = 0.<br />
3
Exercice 4<br />
On considère le système différentiel suivant<br />
{<br />
x ′ (t) = x(t) + sin ( 3x(t) − y(t) )<br />
y ′ (t) = e x(t) − 1<br />
1. Justifier l’existence d’une unique solution maximale, prenant la valeur (x(0), y(0)) =<br />
(x 0 , y 0 ) à l’instant t = 0. On notera I l’intervalle <strong>de</strong> définition <strong>de</strong> cette solution.<br />
Sol.: On remarque que l’application (x, y) ↦→ (x + sin(3x − y), e x − 1) est localement<br />
lipschitzienne (car <strong>de</strong> classe C 1 ), donc par le théorème <strong>de</strong> Cauchy-Lipschitz il existe<br />
une unique solution maximale vérifiant une condition initiale fixée.<br />
2. Montrer que I = R.<br />
Indication: on pourra montrer |x(t)| ≤ e |t| (|x 0 | + |t|).<br />
Sol.: On considère la solution maximale, définie sur I =]t − , t + [ intervalle ouvert,<br />
<strong>de</strong> l’équation différentielle. La fonction sinus étant bornée entre −1 et 1, en intégrant<br />
la première équation entre 0 et t, on obtient |x(t)| ≤ |x 0 | + | ∫ t<br />
0 (|x(s)| + 1)ds|. Par le<br />
lemme <strong>de</strong> Gronwall, on déduit |x(t)| ≤ e |t| (|x 0 | + |t|) pour tout t ∈ I.<br />
Supposons par l’absur<strong>de</strong> t + < +∞. On obtient |x(t)| ≤ e |t+| (|x 0 | + |t + |) = M et<br />
|y(t) − y 0 | ≤ | ∫ t<br />
0 ex(s) − 1)ds| ≤ |t + (e M − 1)|. Ainsi (x(t), y(t)) est borné lorsque<br />
t → t + . Par le théorème <strong>de</strong>s majorations a priori, on déduit t + = +∞. De la même<br />
manière, on montre t − = −∞.<br />
3. Déterminer les points d’équilibre <strong>de</strong> l’équation differentielle.<br />
Sol.:<br />
On résout:<br />
On trouve (x, y) = (0, kπ), k ∈ Z.<br />
x + sin(3x − y) = 0, e x − 1 = 0<br />
4. Etudier la stabilité <strong>de</strong> ces points d’équilibre. Sol.: La jacobienne du champ <strong>de</strong><br />
vecteurs <strong>de</strong> l’équation différentielle s’écrit<br />
J(x, y) =<br />
( )<br />
1 + 3 cos(3x − y) − cos(3x − y)<br />
e x 0<br />
et la valeur <strong>de</strong> la jacobienne au point d’équilibre (0, kπ) est<br />
J(0, kπ) =<br />
(<br />
1 + 3(−1)<br />
k<br />
(−1) k+1 )<br />
1 0<br />
-Pour k pair, on a trace(J(0, kπ)) = 4 > 0, <strong>de</strong>t(J(0, kπ)) = 1 > 0 donc les <strong>de</strong>ux<br />
valeurs propres <strong>de</strong> J(0, kπ) sont strictement positives et le point d’équilibre est instable.<br />
-Pour k impair, on a <strong>de</strong>t(J(0, kπ)) = −1 < 0, donc les valeurs propres sont non<br />
nulles et <strong>de</strong> signes opposées. L’équilibre (0, kπ) est un point selle (avec une direction<br />
stable et une direction instable).<br />
4
Exercice 5<br />
On considère l’équation différentielle d’ordre 2<br />
(⋆) x ′′ (t) + x 5 (t) = 0.<br />
1. On pose X(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) avec x 1 (t) = x(t) et x 2 (t) = x ′ (t). Transformer l’équation<br />
(⋆) sous la forme d’un système différentiel<br />
(E)<br />
X ′ (t) = F(X(t)),<br />
avec F : R 2 → R 2 une fonction <strong>de</strong> classe C 1 .<br />
Sol.:<br />
F(X) = (x 2 (t), −5x 5 1(t)).<br />
Donner la matrice jacobienne <strong>de</strong> F en (0, 0).<br />
Sol.: ( )<br />
0 1<br />
0 0<br />
Remarque: la jacobienne a ses valeurs propres nulles, les théorèmes classiques <strong>de</strong><br />
stabilité par linéairisation ne s’appliquent donc pas.<br />
2. Etudier la stabilité <strong>de</strong> la solution nulle <strong>de</strong> (E).<br />
Indication: Vérifier que V (x, y) = 1 3 x6 + y 2 est une fonctionnelle <strong>de</strong> Lyapunov.<br />
Sol.: Soit (x(t), y(t)) la solution maximale <strong>de</strong> (E) avec condition initiale (x(0), y(0)) =<br />
(x 0 , y 0 ). On observe<br />
d<br />
dt V (x(t), y(t)) = 2x′ (t)x(t) 5 + 2y(t)y ′ (t) = 0<br />
On déduit 1 3 x(t)6 + y(t) 2 = 1 3 x6 0 + y 2 0. Ainsi<br />
|x(t)| ≤ (x 6 0 + 3y 2 0) 1/6 , |y(t)| ≤ ( 1 3 x6 0 + y 2 0) 1/2<br />
Comme la limite lorsque (x 0 , y 0 ) tend vers zero <strong>de</strong> (x 6 0 + 3y 2 0) 1/6 et ( 1 3 x6 0 + y 2 0) 1/2 est<br />
nulle, on déduit que pour tout ρ > 0, pour tout x 0 , y 0 assez petits, on a<br />
|x(t)| ≤ ρ, |y(t)| ≤ ρ.<br />
Ceci montre la stabilité du point d’équilibre (0, 0).<br />
3. En déduire que les solutions <strong>de</strong> l’équation (⋆) sont globales, c-à-d, définies sur R.<br />
Sol.: On a en fait montré au 2) que les solutions <strong>de</strong> (E) sont bornées. Par le<br />
théorème <strong>de</strong>s majorations a priori, les solutions <strong>de</strong> (E) sont donc globalement définies<br />
sur R.<br />
5