Exercices

3 Critère de Nyquist.
(Voir exercice 1.3)
3.1 Filtre Adapté.
On dispose d'une source binaire : Hypothèse H 0 : La source émet le signal x( t) = s( t)
.
Hypothèse H 1 : La source émet le signal x( t) = − s( t)
.
On observe le signal z( t) = x( t) + b( t)
où b( t ) est un bruit blanc de densité spectrale
bilatérale de puissance S ( f ) . Le récepteur est composé d'un filtre de réponse impulsionnelle
b
hr ( t ) suivi d'un échantillonneur à l'instant τ . Soit y( τ ) la variable obtenue y( τ ) = r( τ ) + n( τ )
On définit le rapport signal sur bruit par :
2
r ( τ )
ρ =
2
E{n ( τ )}
N
On suppose que l'on est en bruit blanc : Sb( f ) =
0
2
1) Déterminer, en utilisant l'inégalité de Schwartz, la réponse en fréquence H ( f ) du
filtre de réception qui maximise le rapport signal sur bruit ρ .
2) Quelle est la particularité de la fonction s( t) ∗ h ( t)
( ∗ est le produit de convolution)
3) Que devient ce filtre si le bruit est de densité spectrale Sb( f ) ≥ 0 presque partout
4) Montrer que ce filtre peut se représenter par un filtre blanchissant suivi du filtre
adapté en bruit blanc.
5) Quel est le filtre adapté ( en bruit blanc) à une impulsion rectangulaire, à une
impulsion sinusoïdale
6) Donner les formes des signaux à la sortie du filtre de réception.
r
r
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GET/INT/CITI 2005-2006