Examen terminal - ENS Cachan

Université Rennes 1, ENS Cachan Bretagne Mercredi 25 avril 2012
Cours Équations différentielles 2
L3, Math 1ère année
Examen terminal
Durée: 2 heures
Examen sans document ni calculatrice. Ce sujet comporte deux pages. Les exercices
sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. La clarté de la rédaction
constituera un élément important dans l’appréciation des copies (notamment, indiquer
soigneusement les hypothèses des théorèmes et les résultats du cours utilisés).
Exercice 1
Résoudre explicitement les équations différentielle suivantes,
Exercice 2
(E1)
(E2)
{
x ′ (t) =
1
x(t)(1+t 2 ) ex2 (t)
x(0) = 1.
{
x ′ (t) = − x(t)
x(1) = 0.
On considère le système différentiel suivant:
(E)
t
− 1 − x2 (t)
t 2
{
x ′ (t) = (3t − 1)x(t) + (t − 1)y(t)
y ′ (t) = −(t + 2)x(t) + (t − 2)y(t).
1. Vérifier que (E) admet une solution non triviale de la forme X 1 : t ↦→ (ψ(t), −ψ(t)),
où ψ est une fonction scalaire à déterminer.
2. Trouver une deuxième solution X 2 de (E) qui soit indépendante de X 1 .
Indication: Méthode de réduction de D’Alembert: chercher X 2 sous la forme X 2 (t) =
ϕ(t)X 1 (t) + (0, z(t)), où t ↦→ ϕ(t) et t ↦→ z(t) sont deux fonctions scalaires à déterminer.
3. Expliciter la résolvante S(t), qui vérifie S(0) = Id.
Exercice 3
On considère l’équation différentielle
x ′ (t) + x(t) − 5e −t x(t) 5 = 0
(E)
1. Montrer que si une solution de (E) s’annule en un point, alors c’est la solution nulle.
1

2. Trouver un changement de variable qui transforme l’équation différentielle (E) en
problème linéaire.
Indication: On pourra cherche une transformation du type x = y α .
3. Déterminer toutes les solutions maximales de (E). Indiquer suivant la valeur de x(0)
celles qui sont globales.
Exercice 4
On considère le système différentiel suivant
{
x ′ (t) = x(t) + sin ( 3x(t) − y(t) )
y ′ (t) = e x(t) − 1
1. Justifier l’existence d’une unique solution maximale, prenant la valeur (x(0), y(0)) =
(x 0 , y 0 ) à l’instant t = 0. On notera I l’intervalle de définition de cette solution.
2. Montrer que I = R.
Indication: on pourra montrer |x(t)| ≤ e |t| (|x 0 | + |t|).
3. Déterminer les points d’équilibre de l’équation differentielle.
4. Etudier la stabilité de ces points d’équilibre.
Exercice 5
On considère l’équation différentielle d’ordre 2
(⋆) x ′′ (t) + x 5 (t) = 0.
1. On pose X(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) avec x 1 (t) = x(t) et x 2 (t) = x ′ (t). Transformer l’équation
(⋆) sous la forme d’un système différentiel
(E)
X ′ (t) = F(X(t)),
avec F : R 2 → R 2 une fonction de classe C 1 . Donner la matrice jacobienne de F
en (0, 0).
2. Etudier la stabilité de la solution nulle de (E).
Indication: Vérifier que V (x, y) = 1 3 x6 + y 2 est une fonctionnelle de Lyapunov.
3. En déduire que les solutions de l’équation (⋆) sont globales, c-à-d, définies sur R.
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