Identification des modules équivalents d'une poutre composite à ...

N° d'Ordre: ECL 89-001 Année 1989 

THESE 

présentée devant 

L'ECOLE CENTRALE DE LYON 

pour obtenir 

le titre de DOCTEUR INGENIEUR 

spécialité: mécanique 

par M. CHAIYAPORN Somsak 

IDENTIFICATION DES MODULES EQUIVALENTS 

D'UNE POUTRE COMPOSITE A PARTIR D'ESSAIS 

VIBRATOIRES NON-MODAUX 

Soutenue le 19 Janvier 1989 devant la Commission d'Examen 

Jury MM. R. HENRY (Président) 

J.C. DUFORET 

B. DUPERRAY 

L. JEZEQUEL (Directeur de Thèse) 

F. SIDOROFF (Rapporteur) 

A. VAUTRIN (Rapporteur)

ECOLE CENTRALE DE LYON 

Directeur :3. BORDET 

Directeur Adjoint : R. RICHE 

Directeur de l'Administration de la Recherche : P. CLECHET 

Directeur des Etudes : F. SIDOROFF 

LISTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L. 

(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984, 

modifié par l'Arrêté du 21 mars 1988) 

Mathématiques-Informatique-Systèmes 

B. DAVID 

C.M. BRAUNER 

3.F. MAITRE 

CONRAD 

THOMAS 

MUSY 

Cl. SCHMIDT-LAINE 

Professeur 2e Classe 

Professeur 2e Classe - Univ.- Bordeaux 

Professeur 1ère Classe 

Maître Assistant ENSM-St-Etienne 

Maître de Conférences 


Chargée de Recherche au CNRS 

Physicochimie des Matériaux 

P. CLECHET 

J. 3OSEPH 

P. PICHAT 

3.M. HERRMANN 

N. 3AFFREZIC 

ESCHALIER 

A. GAGNAIRE 

Cl. MARTELET 

3.R. MARTIN 

R. OLlER 

TAILLAND 



Directeur de Recherche au CNRS 


Chargée de Recherche au CNRS 







Métallurgie et Physique des Matériaux 

P. GUIRALDENQ 

D. TREHEUX 

3. BLANC-BENON 

3. BRUGIRARD 

COQUILLET 

D. 3UVE (Mme) 

NGUYEN Du 



Professeur - LYON I 

Professeur - LYON I 


Ingénieur d'Etude - 2e C. 

Assistant Titulaire 

Electronique 

P. VIKTOROVITCH 

G. HOLLINGER 

BLANCHET 

KRAWCZYK 

M. LE HELLEY 

P. LEYRAL 

O. BONNAUD 

J. BOREL 

3.P. CHANTE 




Chargé de Recherche au CNRS 


Maître Assistant 

Professeur - INSA - Rennes 

Direct. Technique Sté E.F.C.I.S. 

Professeur - INSA - Lyon

Electrotechnique 

Ph. AURIOL 

A. FOGGIA 

A. NICOLAS 

G. RO3AT 


Professeur 1ère Classe - I.N.P.G. 



Mécanique des Solides 

B. CAMBOU 

F. SIDOROFF 

L. 3EZEQUEL 

Cl. SURRY 

L. VINCENT 




Professeur - E.N.I.S.E. 


Technologie des Surfaces 

3.M. GEORGES 

3. SABOT 

T. MATHIA 

Ph. KAPSA 

3.L. LOUBET 

3.L. MANSOT 

1M. MARTIN 

H. MONTES 









Mécanique des Fluides 

3. MATHIEU 

3. BATAILLE 

B. GAY 

3.N. GENCE 

3EANDEL 

ALCARAZ 

LEBOEUF 

R. MOREL 

Cl. CAMBON 

3.P. BERTOGLIO 

P. FERRAND 

M. LANCE 

Professeur Classe Exceptionnelle 

Professeur Lyon I 






Maître de Conférences INSA 


Chargé de Recherche au CÑRS 



Acoustique 

(Mlle) 

G. COMTE-BELLOT 

M. SUNYACH 

D. 3UVE 

Ph. BLANC-BENON 

Professeur Classe Exceptionnelle 

Professeur IUT-Lyon 

Maître de Conférences - LYON I 


Machines Thermiques 

M. BRUN 

Ph. ARQUES 


Professeur 2e Classe

4 

REMERCIEMENTS 

Je tiens à exprimer ma reconnaissance envers tous 

ines professeurs, qui au cours de mes études, m'ont prodigué 

leurs enseignements. En particulier, Monsieur le Professeur 

L. Jézéquel du Département de Mécanique des Solides et 

Monsieur le Professeur F. Sidoroff Directeur des Etudes de 

l'E.C.L. qui m'ont accueilli dans leur laboratoire. Qu'il me 

soit permis de les remercier, tout particulièrement, pour la 

confiance qu'ils m'ont accordé et pour l'initiative de ce 

sujet. 

J'exprime ma gratitude envers Monsieur le Professeur 

R. Henry de GMD Structure à l'I.N.S.A. de Lyon, Monsieur le 

Professeur A. Vautrin de Ecole Supérieure des Mines à 

St.Etienne, Monsieur J.C. Duforet, ingénieur du Service 

Technique de Construction Armes Navales et Monsieur 

B. Duperray, ingénieur de Métravib à Ecully d'avoir bien 

voulu participer à mon jury. 

Enfin, j'exprime ma reconnaissance à l'ensemble du 

personnel ainsi qu'à ines collègues du laboratoire de 

mécanique des solides pour leur aide et leur amitié, en 

particulier, Monsieur P. Chamblette.

5 

RESUME 

Le but de ce travail est de proposer une méthode 

permettant d'identifier les caractéristiques dynamiques 

(modules de Young et de Coulomb complexes) des matériaux. 

Elle est basée sur l'analyse de la réponse forcées de 

poutres. 

Les valeurs de l'impédance au point courant d'une 

poutre (homogène ou symétriquement stratifiée) libre-libre 

chargée à son centre sont mesurées. Les modules complexes 

équivalents sont obtenus à chaque fréquence d'excitation en 

comparant les valeurs expérimentales à celles calculées à 

l'aide d'un développement limité de l'impédance exacte. En 

balayant en fréquence, on obtient en continue les variations 

des caractéristiques du matériau. 

Pour obtenir le module de Young complexe, une seule 

poutre a été utilisée dans le cadre des approximations 

d 'Euler-Bernouilli. 

Pour obtenir le module de Coulomb complexe lorsqu'il 

a une influence non négligeable comme dans le cas de poutres 

composites, on utilise deux poutres de longueurs 

différentes. Dans ce cas on se place dans le cadre des 

approximations de Timoshenko. On utilise la poutre la plus 

longue pour calculer le module de Young complexe et la plus 

courte pour calculer le module de Coulomb complexe à chaque 

pas de fréquence.

6 

ABSTRACT 

An identification method of dynamic characteristic 

of material (complex Young's modulus and complex shear 

modulus), based on an analysis of the response of a forced 

vibrated beam, is presented. 

An impedance at the mid-point of a free-free 

(homogeneous or symmetric sandwich) beam is mesured. The 

apparent complex moduli are obtained at each frequency of 

excitation by comparing the experimental impedance with the 

calculated one. 

The calculated impedance is obtained by using a 

development in series of the exact impedance. By verying the 

frequency, the variation of the complex moduli with respect 

to the frequency is obtained. 

In order to identifying the complex Young's modulus, 

only one Euler-Bernouilli beam is needed. 

In the case of a composite beam or whenever the 

secondary effects are important, the complex shear modulus 

can also be identified by using two Timoshenko beams. The 

first beam, the longer one, is used to determine the complex 

Young's modulus. Whereas, the second beam, the shorter one, 

is used to determine the complex shear modulus.

7 

INTRODUCTION 

Les matériaux composites sont de plus en plus 

utilisés en construction mécanique. En effet, les matériaux 

composites ont des rapports raideur-masse importants qui 

peuvent donc réduire la masse des structures tout en leur 

permettant de conserver leurs caractéristiques mécaniques. 

De plus il possède souvent de bonnes propriétés 

amortissantes, une meilleur durée de vie en fatigue et en 

corrosion. Ainsi, les matériaux composites ont été introduit 

avec succès dans les structures soumises à des excitations 

dynamiques telles que les pièces de véhicule, les pièces de 

machine tournante, les articles de sports, ... etc. 

L'idée de diminuer les vibrations en utilisant les 

matériaux composites multicouches a été introduite pour le 

première fois par William Swallow [24] en 1939 dans le 

"British Patent Specification". Au début des années 50, P. 

Léonard [11] s'est attaché à mesurer le coefficient 

d'amortissement des matériaux composites à revêtement simple 

(sans plaque de contrainte) en fonction du coefficient 

d'amortissement de la couche viscoélastique. 

Peu après, H. Oberst [12] a proposé une méthode pour 

calculer ce coefficient. Il a ainsi montré que 

l'amortissement total dépend du coefficient d'amortissement 

du matériau viscoélastique et aussi de son épaisseur. 

En 1961, Keer et Lazan [21] ont étudié 

analytiquement les caractéristiques amortissantes des 

poutres sandwiches dans le cadre des approximations de 

Euler-Bernouilli. En particulier ils ont estimé l'énergie

8 

dissipée par cycle dans le cas de vibrations forcées. Dès 

1959, E.M. Kirwin Jr. (15] a montré que l'amortissement des 

matériaux dépend aussi de la fréquence. D.J. Mead et S. 

Markus (14] ont étendu le travail de Keiwin en établissant 

une équation du 6ème ordre pour décrire le mouvement 

transversal d'une poutre stratifiée en 3 couches en 

négligeant la déformation transversale. Plus récemment, R.N. 

Miles et P.G. Reinhall ont continué le travail de Mead et 

Markus en tenant compte de la déformation transversale [25]. 

Pour déterminer les caractéristiques dynamiques d'un 

matériau composite à partir d'essais, on peut utiliser les 

méthodes suivantes: 

1. Méthodes basées sur les oscillations libres d'un 

oscillateur simple ou d'un système continu. Aprés 

application de la force d'excitation, on peut déduire la 

raideur et le coefficient d'amortissement du matériau à 

partir des caractéristiques des vibrations amorties. Ces 

procédures donnent des résultats satisfaisants dans un 

domaine fréquentiel restreint et pour des matériaux 

présentant un amortissement peu élevé. [3],[27],[36] 

Méthodes basées sur l'analyse des résonances de 

structures simples mettant en évidence les caractéristiques 

dynamiques à identifier. Ces procédures sont applicables à 

des matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez 

élevées mais elles donnent des caractéristiques uniquement 

dans les zones de résonance. Des appareils d'essais 

utilisant soit une poutre encastrée excitée en flexion soit 

un pendule de torsion ont été 

Oberst et Perez et al. [29],[20] 

développés respectivement par 

Vibration forcée en-dehors de la résonance, à 

l'aide de viscoélasticimètres qui mesurent directement la

9 

déformation et la contrainte au cours d'essais en traction 

compression à fréquence variable. [1) 

4. Analyse de la propagation des ondes de 

compression ou de flexion le long de barreaux. Cette 

démarche est surtout adaptée aux hautes fréquences. [3],[26] 

Ce rapport est divisé en 7 chapitres. Les premiers 

chapitres sont des rappels de la théorie de la 

viscoélasticité linéaire, des modèles d'amortissement, des 

matériaux composites, et de quelques méthodes 

d'identification. Les domaines d'application sont limités, 

soit par la fréquence (Le domaine de validité se situe selon 

les méthodes au voisinage de la fréquence de résonance ou au 

contraire loin de celle-ci.), soit par le modèle d'amortissement 

choisi (les modèles d'amortissement compliqués 

sont difficilement utilisables). 

Notre but est de trouver une méthode d'identif i- 

cation, à l'aide d'essais simples, qui soit valable pour un 

domaine fréquentiel assez large. Ainsi, nous avons été 

amenés à étudier dans le cadre des approximations de Euler- 

Bernouilli et de Timoshenko les impédances exactes de 

poutres viscoélastiques. L'introduction du module de 

cisaillement étant particulièrement important dans le cas 

des matériaux composites qui font apparaître des 

déplacements non négligeables induits par l'effet tranchant. 

La poutre libre-libre excitée en son centre a été 

choisie pour réaliser le mesure de l'impédance 

(force/accélération) car les conditions aux limites sont 

plus réalistes et n'introduissent pas d'effet 

d ' amortissement supplémentaire.

lo 

A partir des valeurs de l'impédance mesurées et d'un 

développement limité de l'expression analytique de 

l'impédance, on peut déterminer les caractéristiques 

dynamiques (modules de Young et de Coulomb complexes) d'une 

poutre homogène ou composite symétriquement stratifiée. 

Grace à un balayage en fréquence, on obtient en 

continue les variations des caractéristiques du matériau. 

Cette méthode est présentée dans le chapitre V. Une fois les 

modules complexes identifiés, on peut procéder à un lissage 

par moindres carrés pour déterminer un modèle 

d' amortissement approprié. 

Le chapitre .VI décrit la méthode expérimentale et 

plus particulièrement les erreurs dû à l'impédance du 

capteur et à la géométrie de la poutre en accord avec les 

études de sensibilité sur les courbes de souplesse 

dynamiques effectuées par W.Ziolkowski et A.Sliwinski [37]. 

Le chapitre VII présente un exemple d'application 

qui a permi de valider les procédures qui sont présentés 

dans ce mémoire.

11 

I. VISCOELASTICITE 

1.1 ASPECT PHENOMENOLOGIQUE 

Dans la théorie classique de l'élasticité on admet 

que les relations entre l'état de déformation et celui de 

contrainte sont linéaires et ne dépendent pas du temps. 

L'hypothèse des petits déplacements permet d'appliquer le 

principe de superposition des charges et des déformations. 

Il est cependant connu qu'un certain nombre de corps 

n'obéissent pas aux hypothèses de la théorie de l'élasticité 

linéaire et que dans les équations de comportement intervient 

un nouveau facteur : le temps. 

Les expériences faites sur différents matériaux 

montrent que, lorsque ceux-ci sont sollicités et maintenus 

sous charge, les déformations qui en résultent croissent 

avc le temps. 

Essai de f luage: En traction ou compression simple, 

on impose une contrainte constante et on observe la 

déformation en fonction du temps.

12 

4 

a (t) 

00 

B 

C 

E 

rsidu.11. 

T t o 

T 

(a) (b) (C) 

Fig. 1.1.1 

(a) la charge 

(b) la déformation de type fluide 

(C) la déformation de type solide 

L'application de la contrainte s'accompagne d'une 

déformation élastique instantanée OA, puis la déformation se 

poursuit AB, puise se stabilise BC, soit vers une constante, 

soit vers un état de f luage stationnaire à vitesse de 

déformation constante. Si à instante T on relâche la 

contrainte, alors la déformation se décompose en trois 

parties: 

instantanée) 

- une déformation instantanée BD (recouvrance 

- une déformation obtenue progressivement (recouvránce 

différée) 

- une déformation résiduelle 

cette dernière pouvant disparaître pour un matériau 

de typé solide. 

Essai de relaxation: Il consiste à appliquer une 

déformation constante et à observer la contrainte 

nécessaire.

13 

¿(t) A 

c(t) 

a (t) 

0 

t o t o t 

(a) 

fig. 1.1.2 

(a) la déformation appliquée 

(b) le comportement de type fluide 

(C) le comportement de type solide 

Ce type de comportement dépendent du temps est 

appelé "viscoplastique" ou "viscoélastique", selon qu'il 

existe ou non un seuil de contrainte en dessous du quel le 

comportement peut être considéré comme élastique.

14 

1.2 THEORIE DE LA VISCOELASTICITE LINEAIRE 

1.2.1 OPERATEURS INTEGRAUX 

Dans le cas viscoélastique linéaire 

(avec l'hypothèse 

de petites perturbations), la relation entre la 

contrainte et la déformation peut être représentée 

formellement par la fonctionnelle linéaire de la forme 

suivante: 

co 

a(t) = P ((t-s),(t)) (1.2.1) 

s=O 

En utilisant le théorème de représentation de Reisz, 

cette loi de comportenent pour un matériau viscoélastique 

linéaire non-vieillissant s'écrit sous la forme: 

co 

a(t) = e(t-s)dE(s) (1.2.2) 

Jo 

= * dE 

où * dénote la convolution de Stieltjes. 

Si e(t) = O pour t < O et si E(t) et sa première 

dérivée par rapport aux temps sont continues dans 

l'intervalle Ot, l'expression (1.2.2) s'écrit encore:

15 

t 

f 

d 

a(t) = E(0)e(t) + I e(t-s)--- E(s)ds 

J 

ds 

o 

(1.2.3) 

En posant T = t-s et en utilisant l'intégration par 

partie, on peut écrire l'expression (1.2.3) sous la forme 

f 

t 

d 

a(t) = I 

E(t-T) (T)dT (1.2.4) 

J 

o 

dT 

où E(t) est appelé la fonction de relaxation (la 

- 

limite 

inférieur d'intégration O peut être remplacer par tant 

que 6 (t) ---> O pour t---> -). 

On peut interpréter aussi que l'expression (1.2.4) 

vient du principe de superposition de Boltzìnan.' 

Par le même raisonnement, la forme alternative des 

lois de comportement s'écrit: 

(t) = 

t 

f 

J 

O 

d 

J(t-T)--- a(T)dT 

dT 

(1.2.5) 

où 

J(t) est la fonction de fluage. 

1. Principe de Boltzman: La superposition de plusieurs actions produit 

sur le matériau des effets additifs des déformations.

1.2.2 OPERATEURS DIFFERENTIELS 

On peut écrire la loi de comportement sous la forme 

d'une équation différentielle linéaire d'un ordre 

arbitraire: 

A[cr(t)] = B[e(t)] (1.2.6) 

où 

A et B sont des opérateurs différentiels 

A = E arDr 

r 

B = E brDr 

r 

dr 

Dr = - 

dtr 

et 

matériaux. 

ar et br sont des constantes caractéristiques des 

écrire: 

Considérons les modèles de la fig. 1.2.1, on peut 

(a) modèle de comportement élastique: 

a = E 

où les constantes a0 et b0 sont définies, les autres sont 

égales à zéros.

17 

(b) modèle de comportement visqueux: 

a = c0- 

dt 

où les constantes a0 et b1 sont définies, les autres sont 

égales à zéros. 

(C) 

modèle de Kelvin-Voigt: 

d 

C = (E0 + c0) 

dt 

où les constantes a0, b0 et b1 sont définies, les autres 

sont égales à zéros. 

(cl) modèle de Zener: 

d 

(E1 + c1)a = [E0E1 + (E0 + 

dt 

d 

dt 

où les constantes a0, a1, b0 et b1 sont définies, les autres 

sont égales à zéros. 

E0 

(a) 

co 

(b) 

E0 

E0 

(c) 

(d) 

co 

E1 

Fig. 1.2.1

18 

1.2.3 MODULES COMPLEXES 

Dans le cas de la sollicitation harmonique stationnaire 

d'un matériau linéaire, la réponse prend la même 

fréquence que celle de la sollicitation: 

ã=aeJwt 

et = 

La loi de comportement est traduit par le module 

complexe E* (w): 

a 

- = E 

*1 w) = E1(w)+jE2(w) (1.2.7) 

On définit le coefficient d'amortissement r 

= tan(ç), rp est l'angle de déphasage 

= E2/E1 

et la complaisance complexe J*(w), inverse du module 

complexe E*(w): 

*, 

- = J tw) = J1(w) - jJ2(w) 

a 

(1.2.8) 

forme: 

Dans ce cas, l'expression (1.2.6) peut prendre la 

(a0 + (jw)a1 + (jw)2a2 + ... + (jw)rar + ...)a 

= (b0 + (jw)b1 + (jw)2b2 + ... + (jw)rb + ...)6 (1.2.9)

19 

1.2.4 MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES 

La forme générale s'écrit: 

M am N ßn 

a(t) + E amDm [a(t)] = b0(t) + E bnDn [e(t)) 

m=l n=1 

(1.2.10) 

avec: 

l'opérateur dérivatif DOE définit par: 

Da[x(t)] = 

I 

t 

1 d 

x(T) dT 

(l -a) dt 

a 

J (t - T) 

o 

0

20 

1.3 INTEGRATION DES MODELES AU NIVEAU STRUCTURAL 

Une structure mécanique à comportement linéaire peut 

être approchée par un modèle discret à N degrés de liberté 

associée à des matrices de masse de raideur et 

d' amortissement. 

Les équations de mouvement peuvent en transformée de 

Laplace être écrites sous la forme matricielle suivante: 

[ + [D(s)] + [K)] ] 

(U(s)) = (F(s)) (1.3.1) 

avec: 

[M] = matrice de masse (N,N) 

[K] = matrice de raideur (N,N) 

[D(s)] = matrice d'amortissement (N,N) 

(U(s)) = vecteur de déplacement (N,1) 

(F(s)) = vecteur de force (N, 1) 

1.3.1 STRUCTURE AVEC AMORTISSEMENT HYSTERETIQUE 

L'amortissement structural entre dans ce cas 

particulier de modèle d'amortissement. 

Le système correspondant s'écrit (en régime 

harmonique) sous la forme 

[ [K + jH) - ()2[M) ] 

(U(w)) = {F(w)) (1.3.2)

21 

L'équation homogène associée à ce système admet N 

valeurs propres complexes (A)2 auxquelles correspondent N 

vecteurs propres complexes (} satisfaisant l'équation: 

[K + jH] - (A)2[M] ] {'} = 0 (1.3.3) 

Les vecteurs propres {) vérifient les relations 

d' orthogonalité suivante: 

{n)T[M]{r} = mn&nr (1.3.4) 

{)T[K + jH]{r) = (k + (1.3.5) 

où mn, k et hn désignent respectivement la masse, la 

rigidité et l'amortissement généralisé. 

Prélnultiplions l'équation (1.3.3) par 

{)T[K + jH]{) (À)2{)T[M]{) = 0 (1.3.6) 

nous avons: 

En tenant compte de (1.3.4) et (1.3.5) dans (1.3.6) 

= (k +jh)/nì = (n)2(l + (1.3.7) 

w est la pulsation propre, le coefficient d'amortissement 

modal. 

Les vecteurs propres {) sont définis à une constante 

multiplicatrice près, nous pouvons donc les 

normaliser par: 

,n) =

22 

L'ensemble des solutions de (1.3.3) peut être 

représenté à l'aide des deux matrices suivantes: 

[ 

" (A) ] = matrice diagonale des valeurs propres 

[']=[(l)' ,{"), 

= matrice modale 

d' écrire: 

Les relations (1.3.4) et (1.3.5) permettent alors 

= [I] 

[I]T[K + jH][If] = [(A)2] 

La solution de l'équation (1.3.2) en vibrations 

forcées peut être exprimée comme une combinaison linéaire 

des N vecteurs modaux 

N 

(U) = E (1.3.10) 

n=l 

modales. 

Les q 

sont appelés les coordonnées principales ou 

Remplaçons (1.3.10) dans (1.3.2) et prémultiplions 

par {w)T. En utilisant les relations d'orthogonalité 

(1.3.8) et (1.3.9) nous obtenons pour la nième composante: 

{ '1'n 

T F) 

(Wa) 2 

(1 + ()2 

'7n) 

(1.3.11)

23 

et l'équation (1.3.10) devient: 

{U},= 

{W)T(F)() 

N 

E 

nl (w)2(1 + jt7) - ()2 

(1.3.12) 

1.3.2 STRUCTURES AVEC AMORTISSEMENT VISQUEUX 

Dans ce cas, les équations de mouvement s'écrit: 

[M]{ü(t)) + [C){i(t)) + [K]{u(t)) = (f(t)) (1.3.13) 

Lorsque la matrice [C] est quelconque, les équations 

de mouvement ne sont pas découplées par les modes propres du 

système conservatif associé (la matrice d'amortissement 

modal n'est pas diagonale). Pour ramener le problème à un 

problème de valeurs propres standard, on adjoint au système 

(1.3.13) l'identité matricielle suivante: 

[N]{û(t)) - [M]{û(t)) = 0 (1.3.14) 

Nous formons un nouveau système: 

([Ñ]{ii(t))) + [R]{ii(t)} = {(t)) 

dt 

(1.3.15) 

avec: 

[0] [M] 

[M] = (2N, 2N) 

[M] [C]

24 

-[M] [O] 

[K] = (2N, 2N) 

[O] [K] 

{(t)) = 

(0) 

{f(t)) 

(2N, 1) 

{u(t)) = 

{û(t)) 

{u(t)) 

(2N, 1) 

Le système homogène associé à (1.3.15) admet 2N 

valeurs propres complexes (n = 1, 2, ..., 2N) auxquelles 

correspondent à 2N vecteurs propres {n) de 2N composantes 

complexes chacun et vérifiant l'équation suivante: 

[n[Ñ] + [R]] () = 0 (1.3.16) 

Les matrices [Ñ] et [R] étant symétriques par 

construction, les propriétés d'orthogonalité permettent 

d' écrire: 

{n)T[Ñ](r) = 

n6nr 

{n)T[R]{r) = 

n6nr 

Prémultiplions l'équation (1.3.16) par 

+ (n)T[R]{n) = 0 (1.3.19)

25 

nous avons: 

En tenant compte des propriétés d'orthogonalité, 

= -jn/iimn 

Si nous posons 

{(t)) = {)eJwt 

La solution particulière du système (1.3.15) peut 

donc s'écrire sous la forme: 

2N 

{ii(t)) = {U)eJ)t = E (}qeJWt (1.3.20) 

n= 1 

En remplaçant (1.3.20) dans (1.3.15) et en multipliant 

par (}T, nous obtenons: 

2N 

jW{}TEÑ) E (n)qn + 

2N 

{}T[) E {n)qn 

n=1 n=l 

= {n}T{) (1.3.21) 

D'après (1.3.17) et (1.3.18), nous avons pour la 

nième composante de (1.3.21): 

inqn + 

= {n}T{P) 

(1.3.22) 

Nous pouvons écrire: 

q- 

{n)T{) 

(1.3.23)

26 

obtenir: 

Remplaçons qn par sa valeur dans (1.3.20) pour 

2N (n)T{P){n) 

{U)= E (1.3.24) 

n=l mn(jw - An) 

Pour un système résonant, les pôles 5 sont conjugués 

par paire, les vecteurs propres sont aussi conjugués deux à 

deux.

27 

1.3.3 STRUCTURES AVEC MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES 

On peut écrire les équations de mouvement (en 

transformée de Laplace) sous la forme: 

[s2[M] + [K(s)]] {U(s)} = {F(s)) (1.3.25) 

avec: 

de Laplace s. 

la matrice de raideur [K(s)] en fonction du paramètre 

Pour découpler ces équations, on utilise la même 

technique que pour l'amortissement visqueux. C'est-à-dire 

que l'on cherche à écrire les équations de mouvement sous la 

forme de deux matrices carrées, réelles et symétriques afin 

d'obtenir les conditions d'orthogonalité assurant le 

découplage des équations. 

Considérons le cas de la structure composée de 

matériaux élastiques et viscoélastiques: 

En transformée de Laplace, on peut écrire la matrice 

de raidéur des matériaux viscoélastiques, en utilisant le 

principe de la correspondance élastique-viscoélastique, sous 

la forme: 

[KV] = A*[K] + ¡.*[Kfl] (1.3.26) 

Dans l'expression (1.3.26), les constantes de Lamé 

et p sont substituées par les modules viscoélastiques A*(s) 

et p*()

28 

Si l'on considère seulement le cisaillement dans les 

matériaux viscoélastiques, l'expression (1.3.26) se reduit 

a: 

[KV] = ,*[KII] (1.3.27) 

En utilisant le modèle de derivées fractionnaires à 

5 paramètres pour le module j, (1.3.27) s'écrit sous la 

forme: 

[KV] - 

E0 + E1sa 

i + bsß 

[K"] 

(1.3.28) 

Ainsi, on peut construire la matrice [K(s)] du 

problème à l'aide des deux matrices de raideurs élastique et 

viscoélastique. En multipliant par le dénominateur (l+bsß), 

les équations de mouvement s'écrivent: 

[s(2ß)b[M] + s2[M] + saE1[K1] + sßb[K2] + [K3]] (U(s)) 

= (1 + bsß)(F(s)) (1.3.29) 

En suite, on cherche le plus petit dénominateur 

commun d des fractions a et ß. L'équation (1.3.29) s'écrit 

encore: 

I 

E [A]{sh/dU(s)) = (1 + bsß) (F(s)) (1.3.30) 

i=O 

avec: I = d(2 + ß)

29 

Pour obtenir les conditions d'orthogonalité et découpler 

les équations de mouvement, on pose les équations de 

mouvement sous la forme suivante: 

[sh/d[Ñ] + [R]] (U(s)) = (i(s)) (1.3.31) 

avec: 

[O] 

[O] . [O] 

[A1] 

[M] = 

[O] 

[O] 

[O] ; [Ai] 

[Ai] 

. [A3] 

[Ai_1] 

[A2] 

[Ai] 

[Ai_1] : [A2] 

[A1] 

[O] [O] . [O] -[A1] [O] 

[O] [O] . -[A1] -[A....1] [O] 

[K] = 

[O] [O] : -[A1_1] -[Ai_2] [O] 

-[A1] -[Ai_i] 

. -[A3] -[A2] [O] 

[O] [O] . [O] [O] [A0] 

s(i-1)/d{u(s)) 

(U(s)) = 

s(i-2)/d{u(s)) 

1'du($) } 

1{U(s))

30 

(0) 

(F(s)) = 

(0) 

(0) 

(1+bsß) (F(s)) 

symétriques. 

Les matrices [Ñ] et [R] sont réelles, carrées et 

Le système homogène associé à (1.3.31) s'écrit: 

+ [R](rt) = 0 (1.3.32) 

Les propriétés d'orthogonalité permettent d'écrire: 

(n)T[Ñ]{r) = n6nr (1.3.33) 

(n)T[R]{r) = n6nr (1.3.34) 

Procédons la même façon que dans le cas d'amortissement 

visqueux, on obtient: 

{U) = 

()T(){) 

N 

E 

n=]. iii(sh/d - 

(1.3.35) 

avec: 

N = l'ordre des matrices [Ñ] et [R).

31 

II.THEORIE DES POUTRES 

11.1 LA MODELISATION DES POUTRE HOMOGENES EN FLEXION 

On va utiliser le Principe de Hamilton pour écrire. 

l'équation du mouvement transversal harmonique d'une poutre 

homogène dans la fig. 11.1.1 

T 

h 

£ 

Fig. 11.1.1

32 

Le champ de déplacement choisi est: 

U1 = _x3Ø(x1)eJct 

U2=o 

U3 = W(x1)eJct 

On construit la fonctionnelle de Hamilton et on 

choisit les fonctions inconnues Ø et W qui rendent 

stationnaire cette fonctionnelle. 

Energie cinétique: 

soit: 

li 

T = - pw2[(U1)2 +(U2)2 + (U3)2]dv 

2J 

V 

T = - I 

lr 

2J 

i 

r 

I 

{(x3)22 + W2)dS]dx1 

o 

1 

J 

1 f 

= - ,2 

+ C2t2]dx1 

s 

(11.1.1) 

avec: 

2 

J 

o 

C1 I' pdS pbh =pA 

s 

C2 = f p(x3)2dS 

bh3 

= p- 

12 

= p' 

s

33 

Energie de déformation: 

'r 

V = - I 

2J 

(a1111 + 02222 + a33e33 + 2a1212 

V 

+ 2a13e13 + 2a23e23)dv 

On se place dans le cas de matériaux élastiques isotropes. 

La loi de comportement s'écrit: 

ajj = 

kk6ij + 2Ljj 

On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées 

devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses 

et le champ de déplacements choisi, l'énergie de déformation 

s 'écrit: 

ir 

V = - I 

2J 

= - 

I 

= - 

I 

avec: 

(a1111 + 2a13e13)dv 

V 

ir1 

r 

2J 

[ I 

{E(x3)2(q')2 + kG(-q + W')2)dS]dx1 

o 

ifi 

2J 

J 

s 

[C3(Ø') + C4(- + W')2]dx1 

o 

C3 = 

I (x3)2EdS 

s 

bh3 

=E- 

12 

=EI 

(11.1.2)

34 

C4= GdS =Gbh =GA 

J 

s 

E = module de Young 

G = module de Coulomb 

Fonctionnelle de Hamilton: 

HT-V 

i 

f 

1 

= - 

I 

2 J 

oi 

- - 

I 

'r 

[C(q') 

2J 

[C1W2 + 

o 

+ C4(- + W')2]dx1 (11.1.3) 

Les fonctions 

et W qui permettent de répresenter 

les modes de flexion doivent être telles que: 

et 

8H 

o 

aq 

3H 

=0 

3W 

C2w2 + C3" + C4(- + W') = 0 (11.1.4) 

= :'&I = o 

0 1 

C1w2W + C4(-,' + W") = 0 (11.1.5) 

(-Ø + W')SWI = (- 0' + W')ÔWI = O 

o 

i

35 

On obtient ainsi un système de deux équations à deux 

inconnus Ø et W avec les conditions aux limites associées. 

La modélisation d'Euler-Bernouilli: 

Les effects secondaires (les effets dûs au cisaillement 

et les effets dûs à l'inertie de rotation) sont 

négligés. En découplant les deux équations (11.1.4) et 

(11.1.5), on obtient l'équation de mouvement: 

avec: 

C1 = pA 

C3 = EI 

d4 

dx4 

c1 

w - w 

C3 

= 0 (11.1.6) 

La modélisation de Timoshenko: 

Les effets secondaires sont pris en compte, en 

combinant les équations (11.1.4) et (11.1.5), l'équation de 

mouvement s 'écrit: 

w+2- +--- w+w2 

d4 C1 C2d2 CíC2 

w2-1w=o 

dx4 (c4 C3Jdx2 c3(c4 

J 

avec: 

C1 = pA 

C2 = pI 

C3 = EI 

C4 = kGA 

(II. 1.7) 

1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillement 

sur la section droite nécessite l'introduction du coefficient du 

cisaillement k.

36 

11.2 IMPEDANCE AU POINT COURANT D'UNE POUTRE LIBRE-LIBRE 

La fig. 11.2.1 représente une poutre libre-libre 

excité par la force sinusoïdale 'o = F0ei)t à la distance ja 

dtune extrémité. 

gia 

a 

I- 

F0 

Fig. 11.2.1 

L'impédance au point courant est défini par 

- 

Force 

accélération 

(11.2.1) 

d ! où: 

z - 

/.L 

F0 

w2W0 

où: le déplacement transversal à ltorigine Ño = W0eWt

37 

11.2.1 IMPEDMCE DE LA POUTRE D'EULER-BER1OUILLI 

Reprenons l'équation de déplacement transversal 

d'une poutre Euler-Bernouilli: 

4. 

- Ñ 

(*) w 

ax4 

(11.2.2) 

d' où: 

(n ) - E*r2 

On peut écrire (11.2.2) sous la forme: 

d4 

- W(x) - (n ) 

W(x) = O 

dx4 

(11.2.3) 

La solution de (11.2.3) est alors 

W(x) = ( 

+ + c*e_n )C + d*enx) 

(11.2.4) 

A partir de (11.2.4), on peut écrire aussi la 

solution Ñ sous la forme: 

Ñ = (p*cosh(fl*x) + Q*cos(n*x) + R*sinh(n*x) 

+ S*sin(n*x))ejwt (II. 2 . 5) 

OÙ P, Q* R*, et S comme a*, b*, c* et d* peuvent 

être déterminer par les conditions aux limites.

38 

Par la suite, on notera Ñ par l'expression 

Ñ = (p*ch + Q*c + R*Sh. + S*S.)n*x eJwt (11.2.6) 

On peut écrire aussi que: 

Ñ = fl*(p*sh Q*5 

ax 

+ R*ch. + S*c.) * 

eJt (11.2.7) 

nx 

- (* 2 * * * * jwt 

3x2 

(P ch Q c + R sh S s ) * e (11.2.8) 

nx 

- Ñ 

(* 3 * * * * jwt 

ax3 

(P sh + Q s + R ch S c ) * e (11.2.9) 

flX 

Pour determiner les constantes p, Q*, R* et S, on 

utilise les quatres conditions aux limites. 

Considérons la partie droite de 'la poutre dans la 

f ig.II.2.l ,en prenant le point d'application de la charge 

pour origine des x. 

La première condition aux limites correspond à 

nullité du moment Ñ à l'extrémité: 

la 

a2 

Ñ = _E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.10) 

ax2 

x=/La 

On écrit, par ailleurs, que l'effort tranchant 

l'extrémité est nul. 

à

39 

x=/.La 

= 

a3 

_E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.11) 

3x3 

La somme des efforts tranchants de la partie droite 

FOD et de la partie gauche FOG est égale à la force 

appliquée 'o 

FOD + FOG = (11.2.12) 

Enfin, au point de la charge appliquée, le déplacement 

est égale à Ño. 

En utilisant ces quatre conditions aux limites, 

(11.2.7), (11.2.8) et (11.2.9), on obtient alors: 

(p*ch - Q*c + R*sh. - S*S.)jn*a = O 

(p*sh + Q*s + R*ch. - S*c.)n*a = O 

_E*I(R* - S*) = F0 

(p* + 

Q*) = WO 

On peut donc trouver les quatre constantes complexes 

p* Q* R* et S sous les formes: 

LDP 

= W0(sh.s. + ch.c. - l)n*a + çoQ(sh.c. - ch.s.),n*a 

(11.2. 17) 

DQ* = W0(sh.s. + ch.c. + l)pn*a - OD(sh.c. - ch.s.),n*a 

(11.2.18)

40 

DR* = -W0(sh.c. + ch.s.),1n*a + oD(sh.s. - ch.c. - 

(11.2.19) 

DS* = W0(sh.c. + ch.s.),n*a + OD(' + ch.c. + l)n*a 

(11.2.20) 

Le detérminant est donc D = 2(sh)jLn*a 

OD = 

-FOD 

(indice 

D dénote la partie droite de la poutre) 

De même, on peut trouver les quatre constantes complexes 

A*, B*, C et D* de la partie gauche de la poutre 

sous les formes: 

GA* = W0(sh.s. + ch.c. 

- ])n*a + çoQG(sh.c. - ch.s.)n*a 

(11.2.21) 

= W0(sh.s. - ch.c. + )n*a - oG(5h ch.s.)n*a 

(11.2.22) 

GC* = -W0(sh.c. + ch.s.)n*a + çoQ(sh.s. - ch.c. - 

(11.2.23) 

GS = -W0(sh.c. + Ch.s.)n*a - OG( + ch.c. + l)n*a 

(11.2.24) 

d'où 

= 2(sh.s.)n*a 

-FOG 

POG * * 

E I(n )3

41 

Pour déterminer w0, on impose la continuité à l'origine 

de la pente (FOG = - ROD) et du moment fléchissant (ÑOD 

= MOG) 

OG = 

OD avec l'expression (11.2.7) nois donne: 

+ s*) = (C* + D*) 

d'où: 

[OD(sh.s.)(ch.c. + 1) 

+ 4OG(sh.s.)(ch.c. + l)]n*a 

= -W0 [(sh.s.)(sh.c. + ch.s.) + (sh.s.)(sh.c. + Ch.5.)]n*a 

(11.2.25) 

= MOD avec l'expression (11.2.8) nous donne: 

(A* - B*) (p* Q*) 

d'où: 

[OD(sh.s.)(sh.c. - ch.s.) 

-OG(sh.s.)(sh.c. - ch.s.)]n*a 

= -W0 [(sh.s.)(ch.c. - l) - (sh.s.)2(Ch.c. - l)]n*a 

(11.2.26) 

On resoud (11.2.25) et (11.2.26) pour obtenir 

l'expression de W0 sous la forme:

42 

-2WONE 

DE 

= P0D + "0G = 

-FOD 

FOG -F0 

= - (11.2.27) 

E*I(n*a)3 E*I(n*a)3 E*I(n*a)3 

d' où: 

NE = { (sh.c.)(sh.c.) + (ch.c.)(ch.c.) 

et 

- (sh.s.)(sh.s.)1 - (ch.s.)(ch.s.) ]n*a 

DE = [ (ch.c. + 1)(sh.c. - ch.s.) 

+ (ch.c. + l)(sh.C. - ch.s.) Jn*a 

En introduisant 1'inpédance nor1Ta1isée Z/.L/Mb (où: Mb 

est la masse de la poutre), l'expression d'impédance 

(11.2.1) s'écrit: 

Z,.L 

Mb 

F0 

W2MbWO 

2NE 

(1 +bL)(n*a)DE 

(11.2.28) 

Pour obtenir l'impédance au centre de la poutre 

ZO/Mb, on prend p. égale à l'unité. Il vient:

43 

Z0 i sh.c. + ch.s. 

Mb (n*a) ch.c. + i 

n*a 

(11.2.29) 

Les fig.II.2.2 (a) et 11.2.2 (b) montrent les 

variations du module de l'impédance normalisée IZO/MbI et la 

phase en fonction du coefficient d'amortissement dans le 

cadre de l'approximation d'Euler.

44 

Fig. 11.2.2 (a) 

Impédance d'une 

poutre d'Euler 

E*E(1+ Jri) 

Fig, 11.2.2 (b) 

I. 

Phase de L impedance 

IMPEDANCE .25 

o- .1 

I 

-50 :, 

o 

o) 

-100- 

i 

I 

J. 

-150 

o i 3 4 5 b 7 

na

45 

11.2.2 IMPEDANCE DE LA POUTRE DE TIMOSHENKO 

Reprenons l'équation de déplacement transversal 

d'une poutre de Timoshenko: 

1E 

44ii 

* 

- Ñ + (n ) r i-+ik-- Ñ + (*) 4{(fl* 

) r 

ax4 kG Jax2 kG J 

Ñ = o 

(11.2.30) 

où: 

(n*)4 = - 

E*r2 

En introduisant les paramètres adiinensionnels a, 

et À , (11.2.30) s'écrit: 

ß 

4 a 

*4 

- W + (n*a) (a + ß)- W + (nia) [(n a) aß - l]W = O 

8À2 

(11.2.31) 

déformation exacte 

déformation supposée 

ligne moyenne 

section droite 

Fig. 11.2.4

46 

d 'où: 

a- 

i rE 

k a2G* 

r2 

a2 

X 

- 

a 

Lt équation caractéristique devient: 

X4 + (n*a)4(a+ß)x2 + (n*a)4[(n*a)4aßl] = o 

(11.2.32) 

est positif. 

Son discriTninant t=[(n*a)4(a+ß)J2_4(n*a)4[(n*a)4aß_1] 

Les racines (X1)2 et (X2)2 sont réelles. 

Leur somme (X1)2+(X2)2 = _(n*a)4(a+ß) est négative. 

Leur produit (X1)2(X2)2 = (n*a)4[(n*a)4aß_1] change 

de signe au passage de la valeur (wf)2 = E*/paa2. 

Il y a deux familles de solutions possibles: 

Première famille: ()2 < 

()2 

On a alors: (X1)2 > O , (X2)2 < O

47 

On pose: (e*a)2 = (X1)2 > O (O*a)2 = -(X2)2 > O 

La solution de l'équation différentielle est alors: 

Ñ = [p*sin(o*a)À+Q*cos(e*a))+R*sinh(e*a)À+S*cosh(e*a)A] eJwt 

avec: 

(11.2.33) 

2(O*a)2 = (n*a)4(a + /3) + [(n*a)B(a - /3)2 + 4(n*a)4]½ 

(11.2.34) 

2(*a)2 = _(fl*a)4(a + /3) 

+ [(n*a)B(a ¡3)2 + 4(n*a)4]½ 

(11.2.35) 

Les constantes P*,Q*,R*, et S dépendent des 

conditions aux limites. 

Deuxième famille: (w)2 > 

On a alors: (X1)2 < O , (X2)2 < O 

On pose: (e*a)2 = -(X1)2 

(9*)2 = -(X2)2 

La solution de l'équation différentielle est alors: 

Ñ = [p*5jfl(9*a)À+Q*co5(9*a)À+R*sjfl(e*a)À+S*co5(e*a))] eJwt 

avec: 

(11.2.36) 

2(O*a)2 = (n*a)4(a + /3) 

- [(fl*a)B(a - /3)2 + 4(n*a)4]½ 

(11.2.37) 

2(*a)2 = (n*a)4(a + f3) + [(n*a)B(a - /3)2 + 4(n*a)4]½ 

(11.2.38)

48 

Les constantes P*,Q*,R*, et S' dépendent des 

conditions aux limites. 

La solution du déplacement transversal de la 

deuxième famille est valable dans le domaine fréquentiel 

trop important. Ainsi, la solution de la premiière famille 

(11.2.33) seule est utilisée pour le' développement de 

l'expression de l'impédance. 

On peut écrire alors: 

B 

- Ñ = ( 

(o*a)[p*c(o*a)À_Q*s(9*a)À] 

BA 

+ (e*a)[R*ch.(*a)A+S*sh.(*a)A1 ) 

eJ (11.2.39) 

- Ñ = 

(O*a)2[_P*s.(e*a)A_Q*c.(O*a)A] 

{ 

BA2 

+ (e*a)2[R*sh.(e*a)A+S*ch.(e*a)A] ) eJ' (11.2.40) 

- 

w 

ax3 

= { 

(9*a)3[p*c(e*a)A+Q*s(o*a)A] 

+ (*a)3[R*ch.(e*a)A+S*sh.(E*a)A] 

) 

eJ' (11.2.41) 

(b) 

la rotation totale: 

1BÑ 

A) = - - 

a BA 

(11.2.42)

49 

(c) la rotation 

(À) due au moment fléchissant: 

a3 

pa[l - (n*a)4a13) = a Ñ + [a2(n*a)4 + 1) Ñ 

8A 

a 

(A* ç2*) 

jt 

e 

a(O*a) (*a) 

(11.2.43) 

d'où: 

* * n* 

A - x (u a){R*ch.(*a)A + s*sh.(e*a)À] 

* * 

¿L = y ( 

a)[P*c.(8*a))L - Q*s(o*a)À] 

= [(n*a)4a + (E*a)2] 

* = [(n*a)4a - (G*a)2] 

(d) le moment flèchissant, Ñ(A): 

Ñ(x) - 

E*I 

I a2 

a2 ( 

8À2 

+ a(n*a)4Ñ 

- *[p*5 (9*a)À + 

a2 

Q*c. (O*a)À] 

* * * * * I Jwt 

+ x [R sh.(e a)\ + S ch.( a)À] e (11.2.44)

50 

(e) l'effort tranchant: 

- 

E*I(n*a)4 I 

a3(e*a) (O*a)f 

(*a)[P*c (9*a)A Q* (O*a)À] 

jwt 

+ (O*a)[R*ch.(e*a)À + S*sh.(*a)À] e (11.2.45) 

Pour déterminer les constantes p, Q* R* et S 

(ou A*,.B*, C et D*), on prend les mêmes quatre conditions 

aux limites que celles de la poutre de Euler-Bernouilli: 

Le moment flechissant à l'extrémité = O 

E*I I 

Ñ) 

. 

-. *[P*s(e*a)JJ. + Q*c.(o*a)1Lt] 

a2 

jct 

I 

+ x*CR*sh.(e*a)Ii + S*ch.(*a)jL] e = O 

(11.2.46) 

L'effort tranchant à l'extrémité = O 

= 

E*I (n*a) 

a3(o*a)(e*a) { 

_(*a) [P*c (O*a) - Q*s(o*a)] 

+ 

(e*a)[R*ch.(e*a),.L + S*sh.(e*a)/.LJ 

i 

jwt 

e = O 

(11.2.47) 

3. La somme de l'effort tranchant de la partie 

droite, POD' et de la partie gauche, 'OG' 

est égale à la 

force appliquée, 

o

51 

F0 

= FOG+FOD 

ÀO 

E*I(n*a)4 

FOD - ( 

a3(g*a) (E*a) 

{ 

- + (O*a)R* J 

jwt 

e (11.2.48) 

rPOD = 

FODa3 (O*a) (*a) 

E*I (n*a) 

= - (e*a)P* + (0*a)R* (11.2.49) 

4. Le déplacement est égale à Ño au point de la 

charge appliquée 

Ñ 

Ñ0 

(Q* + 

w0 

Q* + (11.2.50) 

peut écrire: 

En utilisant les quatre conditions aux limites, on 

p*,*5 (e*aI.L) 

+ Q*j1*c. (O*a/i) 

+ R*x*sh.(e*a,1) + S*x*ch.(*a/.L) = 0 (11.2.51). 

p*(*a)c (9*ali) + Q*(e*a)s. (o*aI.L) 

+ R*(O*a)ch.(*abL) + S*(9*a)sh.(*a/.L) = 0 (11.2.52) 

_p*(e*a) + R*(8*a) 

= P0D (11.2.53) 

Q* + = W0 (11.2.54)

52 

formes: 

On obtient les quatre constantes complexes sous la 

= OD (*(O*a)c(o*al.L)ch(e*aI.) 

+ x*[_(O*a)_(e*a)s.(O*a1L)sh.(*aP)]) 

+ wo {*(e*a)2sh(e*a!)c(O*aM) 

- x*(9*a)(e*a)s.(O*aIL)ch.(e*abL)) (11.2.55) 

DQ* = OD {_v*(O*a)s(9*a/2)ch(*a/.L) 

- x*(e*a)c.(o*aM)sh.(*aM)) 

+ W0 {_v*(O*a52s(O*aJ)sh(e*ap) 

+ x*(8*a)(*a)[l - c.(9*aIt)ch.(*aJ.L)]) (11.2.56) 

DR* = v'OD 

{*c(e*a) - (O*a)s.(O*aj)sh.(*a/)] 

- x*(e*a)c. (9*)h (*aI.L)) 

+ W0 

- x*(8*a)2s. (O*a/t)ch. (e*a,i)) (11.2.57) 

DS* = Ç°OD 

+ x*(*a)c. (O*aj)sh. (e*aI) 

d' où: 

+ W0 (*(O*a)(*a)[l - c.(O*a/2)ch.(*a,t)] 

+ x*(*a)2s.(O*a,.L)sh.(e*a,)) (11.2.58) 

+ x*)(O*a)(*a)[l - c.(O*al.h)ch.(e*a,L)] 

+ s.(O*a,L)sh.(e*aL)[_v*(O*a)2 + X*(e*a)2] (11.2.59) 

De même, pour la partie gauche de la poutre, on peut 

trouver les constantes complexes A*, B*, C et D* en 

remplaçant 

p*1 Q* R* 

D' POD' 

et S dans les équations

53 

* 

(11.2.55) - (11.2.59) par G' OG' A B*, C et D* et en 

prenant i par 1. 

Considérons la continuité à L'origine (À = O): 

La continuité de la rotation 

tPOG = - POD 

(11.2.60) 

La continuité du moment flechissant 

MOG = - MOD (11.2.61) 

d'après (11.2.43) et (11.2.44), on a: 

°OD = 

x*(O*a)R* - v*(*a)P* 

a(O*a) (*a) 

jwt 

e 

et MOD = 

E*I 

a2 

** 

Q + S )e 

jwt 

Donc, (11.2.60) et (11.2.61) s'écrivent: 

*, * * 

- X 9 a,R + 

* *)C* * * * 

= x (e a - ii ( ajA 

(11.2.62) 

et 

XS ** +vQ ** 

= XD ** +vB** 

(11.2. 63) 

En remplaçant les constantes complexes P', Q*1 R*, 

S et A*, B*, C*, D* dans les équations (11.2.62) et 

(11.2.63), on peut établir deux équations à 3 inconnus q, 

OD 

et W0:

54 

OGR + PODS = - W0T 

(11.2.64) 

et OGU + PODV = WOW 

(11.2.65) 

d' où: 

R = [*(*a)A - 

S = 

- x*(O*a)G]/D 

T = - + [*(*a)F - x*(9*a)H]/D 

U = 

[*1 + X*K]/G 

V = 

- X*P]/D 

W = [_z,*J - X*L)/tG + [z,*N + x*QJ/LD 

A = 'OG 

(*(e*a)c(o*a)ch(e*a) 

+ 

B = W0 

(*(0*a)2c(0*a)sh(*a) 

- x*(9*a) (*a)s (g*a)ch (*a)) 

C = ç°OG 

{v*N*a)_(0*a)s(0*a)sh(e*a)] 

- x*(*a)c.(O*a)ch.(*a)) 

D = W0 

{*(o*a)(e*a)c(e*a)sh(e*a) 

- x*(e*a)2s. (O*a)ch (e*a) 

E = Ç°OD 

(*(e*a)c(9*a1i)ch(e*a) 

+

V 

55 

F = W0 {*(O*a)2c(9*aI)sh(*a1) 

- x*(9*a) (*a)s (9*a/.h)ch (*aI)) 

G = 

(v*[(*a)(9*a)s(9*aIi)sh(E*aI.L)] 

- x*(*a)c. (O*aI.)ch (*aI.L)) 

H = W0 fv*(9*a)(*a)c(O*aI)sh(*a,) 

- 

I = Ç°OG 

{_v*(0*a)s(O*a)ch(*a) 

- x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a) 

J = W0 {_v*(O*a)2s(O*a)sh(e*a) 

+ x*(O*a) (*a)[l - C. (O*a)ch (*a)]) 

K = 'POG (*(e*a)s(o*a)Ch(e*a) 

+ x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a)) 

L = W0 {*(O*a)(*a)[l - C. (O*a)ch. (*a)] 

+ x*(*a)2s. (O*a)sh (e*a)) 

M = POD {L,*(o*a)s(o*a/)Ch(e*a,.L) 

- x*(*a)c. (8*aI.L)sh (e*a1)) 

N = W0 {_,*(O*a)2s(O*aI2)sh(*a/) 

+ x*(O*a)(e*a)[l - C. 

= POD {*(9*a)s(O*a!)ch(*a/2) 

+ x*(*a)c.(e*al.L)sh.(e*a)} 

Q = W0 

(*(o*a)(e*a)[l - C. (9*j) (e*ai.)] 

+ x*(e*a)2s. (O*a/.L)sh. (*a,)) 

En résolvant (11.2.64) et (11.2.65) simultanément,

56 

on obtient: 

q'oD - 

W0(TtJ + WR) 

SU-VR 

(11.2.66) 

et 

P0G - 

W0(TV + WS) 

SU-VR 

(11.2.67) 

Comme 

o =OG 

+ POD' on peut déduire que: 

- 

F0 (a) 

(O*a) (*a) 

E*I (n*a) 

wo 

= (TV+WS-TtJ--WR) 

SU-VR 

(11.2.68) 

donnée par: 

D'après la définition, l'impédance normalisée est 

Z 

Mb 

F0 

W2MbWO 

(11.2.69) 

p0E*I(n*a)4 

3. 

a3(O*a) (e*a) W2MbWO 

Finalement, on peut déduire que: 

Z 

Mb 

[T(V -U) + W(S -R)] 

(1 + j) (O*a) (e*a) (SU -VR) 

(11.2.70) 

En prenant j = 1, l'expression (11.2.70) nous donne

57 

l'impédance au centre de la poutre 

Z0 

Mb 

[(9*)2 + (*a)2] NT 

DT 

(11.2.71) 

d'où: 

NT = {*(e*a)c(e*a)sh(e*a) - x*(e*a)s.(O*a)ch.(e*a)] 

* * * 

DT = ( 

2v x (O a1 , 

'e'a) - 

* 2 

* * * '2 

y x [6 a1 _(e*a)2]s (O*a)sh. (e*a) 

[(*)2 + (x ] 

(O*a) (e*a)c. (O*a)ch (*a) 

Les f ig.(II.2.4) et (11.2.5) montrent les variations 

de l'impédance normalisée IZO/MbI pour différentes valeurs 

du E*/G* et du coefficient d'amortissement. 

Les fig.(II.2.6) et (11.2.7), les variations de 

cette même IZO/MbI en fonction de E*/G* et du rapport r/a 

(rayon de gyration/demi-longeur). 

Les fig. (11.2.8) et (11.2.9) comparent l'impédance 

entre les poutres d'Euler et les poutres de Timoshenko (avec 

des rapports de r/a et de E*/G* différents). 

La valeur du coefficient de cisaillement k pour la 

poutre à section rectangulaire est prise égale à 5/6, comme 

nous l'étudirons plus en détail par la suite (paragraphe 

111.3)

58 

Fig. 11.2.4 


poutre de Timoshenko: 

E*.224E10(1+JflE) 

N/m2 

G*. 448E0( i +i i) 

M/m2 

E*/G*5 

masse densité 

.5E4 Kg/m3 

r/a=. 02 

a.i0 m. 

- 

1E+01 - 

o 

M 1E+00 

Q) 

- 

- lE-01 - 



lE-02- 

Fig. 11.2.5 

E*.224El0(l+it) 

N/m2 

G*. 50E08(i+i77E) 

M/m2 

E*/G*40 

masse densite' 

.5E4 Kg/m3 

r/a.02 

.a.l0 m.

59 

Fig. II.2. 



E*.224E10(1+.1i) 

N/m2 

G*=.448EOq(1+.1J) 

M/m2 

E*/G*5 

masse dens ¡te' 

.5E4 K/m3 

1E+O1 - 

E 

o 

M 1E+OOa) 

-o 

- lE-01 - 

lE-02- 

Fig. 11.2.7 

Impe'dance d'une 


E*.224E10(1+.1i) 

M/m2 

G*.5OEO8(1+. i J) 

M/m2 

E*/G*4O 


=.5E4 Kg/m3

60 

Fig. 11.2.8 

Impédance exacte: 

comparaison entre 

la poutre d'Euler 

et celle de Timoshenko 

pour diff4rentes 

valeurs 

de E*/G* 

1E+O1 - 

Q) 

- lE-01 - 

o 

Nl 1E+OO- 

lE-02- 

Fig, 

II.2. 

Impédance exacte: 


la poutre d'Euler 

et celle de Timoshenko 

pour diffrentes 

valeurs 

de r/a

61 

III. MATERIAUX COMPOSITES 

On peut distinguer trois classes de composite. 

Le composite fibreux: Un matériau (ou une 

structure) composite est constitué de deux ou plusieurs 

constituants distinct. L'un d'entre eux constitue la 

Itmatricelt auquel on adjoint trenforttt qui consolide le 

matériau. Les renforcements peuvent être obtenus à partir de 

fibres longues ou courtes, unidirectionnelles ou possèdent 

plusieurs directions. 

Le composite multicouches (stratifié): Ces 

matériaux particulièrement utilisés pour amortir les 

vibrations sont constitués de plaques superposées. Certaines 

correspondent à l'élément de base (matériau élastique) et 

les autres à des couches amortissantes (matériau 

viscoélastique). Dans le cas de trois plaques ou plus, les 

matériaux viscoélastiques peuvent être insèrés entre deux 

semelles de matériaux élastiques. 

Le composite granulaire: Le renforcement est 

constitué par des particules ou granules. 

111.2. LA MODELISATION DE TIMOSHENKO DES POUTRES COMPOSITES 

MULTICOUCHES (STRATIFIEES) 

La théorie présentée ici est une extension aux 

poutres symétriquement stratifiées de la modélisation de

62 

Timoshenko originellement construite pour les poutres 

homogènes. 

X3 

d2 

N 

C 

$ 

dE/2 

B 

X2 

$ 

A 

h 

B 

C 

N 

Fig. 111.1.1 poutre symétriquement stratifiée 

caractéristiques mécaniques des matériaux: 

EA,B,...,N = module de Young des matériaux A, B, 

AA B 

N = constante de Lamé 

= constante de Lamé (appelé également le 

..., N 

module de cisaillement)

63 

PA,B,...,N = masse volumique 

PA,B,...,N = proportion des matériaux 

hypothèse: 

La répartition de contrainte linéaire. 

Les matériaux A, B, ..., N sont homogènes, élastiques. 

Les joints de colle sont supposés parfaits. 

La flèche W et la rotation sont supposés être les même 

pour tout le matériau. 

Le champ de déplacement choisit est: 

U1 = _x3(x1)eJwt 

U2 = O 

U3 = W(x1)eJcòt 

On construite la fonctionnelle de Hamilton et on 

choisit les fonctions inconnues et W qui rendent 

stationnaire cette fonctionnelle. 

Energie cinétique: 

li 

T = - I 

2J 

= - 

I 

li 

2J 

V 

pw2[(U1)2 + (U2)2 + (U3)2] dv 

pw2[(x3)22 + W2] dv 

V

64 

matériau A: 

i 

TA = 

2 

f 

i b/2 PAh/2 

[2p I I {(x3)22 + W2) dx3dx] dx3. 

J --J J 

O -b/2 O 

i 

= - 

i 

r 

PA 

2 J 

O 

[I(p)3p2 + APAW2] dx1 

avec: 

bh3 

1=, A=bh 

12 

matériau B: 

i b/2 (PA+P&h/2 

i r r r 

TB = - w2 [2PB I I {(x3)22 + W2) dx3dx2] dx1 

2 J J J 

O -b/2 PAh/2 

i 

= - 

i 

r 

2 J 

O 

PB [I{(pA+pß)3 - (PA)3)2 + APBW2] dx1 

matériau N: 

i 

r 

1 

TN = - w2 PN ['{(PAPB +PN)3 - (PA)3)P2 + APNW2] dx1 

2 J 

O

65 

matériau composite: 

T = 

N 

E T1 

i=A 

i 

r 

i 

T = w2 [C1W2 + C2] dx1 

2 J 

o 

(111.1.1) 

avec: 

C1 = A [PAPA + PBPB + .. + P{ 1- (pA+PB+... +pM))] 

C2 = I [PA(PA)3 + PB((PAPB)3(PA)3) +... 

+ PN{1(pA+pB+... +pM)3)] 

énergie de déformation: 

ir 

V = - I 

2J 

V 

(aiili + 02222 + C3333 

+ 2a12e12 + 2a13e13 + 2a23e23) dv 

isotropes. 

On se place dans le cas de matériaux élastiques 

On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées 

devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses 

et le champ de déplacement choisi, l'énergie de déformation 

s 'écrit:

66 

V = - I 

i 

ir r 

V = - I 

i1 

2J 

V 

(a1111 + 2a13e13) dv 

[ {E(x3)2(')2 + G(-+W')2) dS J dx1 

I 

2J 

o 

J 

s 

matériau A: 

VA = - J 

iri 

r r 

b/2 PAh/2 

[2 {EA(X3)2(')2 

I J 

2J J J 

o -b/20 

+ GA(-+W')2) dx3dx2 J dx1 

= - 

I 

iri 

[ EAI(pA)3(Ø')2 + GpA(-q+W')2 J dx1 

2J 

o 

matériau B: 

VB = - I 

iri 

r r 

b/2 (PA+PB)h/2 

2J J J 

O -b/2 PA'/2 

[2 

I I 

(EB(x3)2(')2 + Gß(-+W')2} dx3dx2 J dx1 

= - 

I 

ir i 

2J 

[ EBI((pA+pB)3-(pA)3)(')2 + GBpBA(-Ø+W')2 J dxi 

O

67 

matériau N: 

VN = - I 

li 

i 

2J 

f EI { 1- (PA+PB+... +pM)3) 

(t 2 

o 

+ GNA{ 1- (pA+pB+... +pM) ) (-Ø+W' 2 dx1 

matériau composite: 

N 

V= E Vj 

i=A 

VN = - I 

'ri 

2J 

f 

C3(Ø')2 + C4(_+Wt)2 3 dx1 

o 

(III. 1.2) 

avec: 

C3 = rigidité à la flexion 

= I [EZ(p)3 + EB{(pA+pB)3-(pA)3) +... 

+ EN{l-(pA+pB+... PM)3)3 

C4 

= cisaillement équivalent 

= kA [GAPA + GBPB + ... + G{ - (pA+PB+.. +pM))] 1 

1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillement 

sur la section droite nécessite l'introduction du coefficient du 

cisaillement k.

68 

Fonctionnelle de Hamilton: 

H=T-V 

i 

i 

r 

H = - w2 [ C1W2 + C2()2 J dx1 

2 

J 

o 

if 1 

- - 

I 

[ 

2J 

0 

C3(t)2 

+ C4(-+W')2 J dx1 (111.1.3) 

Les fonctions 

la flexion doivent être telles que: 

et W qui permettent de représenter 

8H C2w2 + C3t' + C4(+W') = O 

- =01 

'6 = = 

I I 

o 

i 

o 

(III. 1.4) 

et 

0H 

- =O 

c1w2w + C4(_+Wt) = O 

ow I (-Ø+W')6W I 

= (-+Wt)&W I 

= 

0 1 

o 

(III. 1.5) 

inconnus 

On obtient ainsi un système de deux équations à deux 

et W avec les conditions aux limites associées. 

En combinant ces deux équations on obtient 

l'équation de mouvement. 

¡c1 c21 d2 

_4w+w21_+_F_2w+ w 2 w2 - 1 } = 

dx1 Ic4 c3j dx1 C3 

(111.1.6)

69 

On remarque que l'équation (111.1.6) est semblable à 

l'équation de mouvement (11.1.6) des poutres homogènes. Ce 

qui est logique car la description cinématique est 

identique.

70 

111.2 AMORTISSEMENT DES POUTRES STRATIPIEES 

L'amortissement des poutres stratifiées a recours à 

deux types de méthode: Dans le première, les couches 

amortissantes travaillent en traction-compression. Cette 

technique consiste à revêtir une structure métallique d'un 

ou plusieurs matériau fortement amortissant. Les 

déformations de la structures sont transmises au matériau et 

le travail ainsi communiqué conduit à une dissipation 

d'énergie. Dans le deuxième cas, en rajoutant une plaque de 

contrainte, on fait travailler les couches amortissantes en 

cisaillement. 

matériau amortissant 

E* 

'J' 

matériaux amortjssants 

(a) 

revêtement viscoélastique 

simple 

(b) 

revêtement viscoélastique 

à plaque de contrainte 

Fig. 111.2.1

71 

Considérons la première technique, fig. 111.2.1(a). 

On a déposé une couche de produit amortissant caractérisé 

par un module de Young complexe E* = E(l + jr)E) 

(E 

coefficient d'amortissement intrinsèque du produit) sur une 

poutre métallique de section rectangulaire. Lors d'un 

travail en flexion de la poutre, il y aura une sollicitation 

en traction-compression de produit amortissant. On pourra 

définir la rigidité complexe en flexion K* = K(l + ji7) = E*I 

(EI représent la rigidité au sens classique et , son 

amortissement global). 

Au début des années 50 Lénard, P. 

[11] s'est attaché 

à mesurer le coefficient rj en fonction de E pour diverse 

matériaux de revêtement. Peu après, Oberst, H [12] a mené le 

calcul de ce coefficient, Il montre que l'amortissement 

total dépend de 17E 

et aussi de l'épaisseur du matériau 

viscoélastique. 

La deuxième technique, fig. 111.2.1(b), consiste à 

ajouter une plaque de contrainte, les matériaux 

viscoélastiques vont cette fois travailler en cisaillement. 

Dès 1959, E.M. Kirwin Jr. 

du matériau dépend aussi de la fréquence. 

[15] a montré que l'amortissement 

Dans ce cadre, Mead, D.J. et Markus, S. [14] ont 

étudié le mouvement transversal d'une poutre stratifiée (cf. 

fig. 111.2.2) à partir des hypothèses suivantes: 

Les deux couches extérieurs sont purement élastiques 

et la couche intermédiaire est viscoélastique 

linéaire. 

Les contraintes de cisaillement des couche extérieurs 

ainsi que les contraintes normales longitudinales 

dans la couche intermédiaire sont négligeables.

72 

3. Les déplacenients transversaux de tòus les points 

de la section sont égaux. (Il n'ya pas de dilatation 

transversale.) 

z ,w 

L 

b-1 

(a) 

u' 

(d) 

w 

facette déformée 

(c) 

deuxième couche 

r8x 

fr 

P3 - 

f---1 

4- P3 + dP3 

(e) 

Fig. 111.2.2

73 

L'effort tranchant totale s'écrit: 

F = F1 + F2 + F3 

03w 

a3w 

=D1 -rd+D3- 

8x3 

3x3 

avec: 

a3w 

= Dt - rd 

8x3 

83w @8w U1-U3 

= Dt G*dl_ + 

3x3 lh2ax h2 

(111.2.1) 

Dt = la rigidité totale = D1 + D3 = E111 + E313 

r = la contrainte de cisaillement 

= le module de coulomb de la deuxième couche 

= G(l + J7G) 

8F 

La charge transversale (p = ) s'écrit: 

8x 

a4w G*d2 82W G*dIaU, 8U 

p = Dt (111.2.2) 

8x4 h2 3x2 h2 lax ax

74 

CoTnne la conibinaison des efforts longitudinaux est 

nulle (Pi = -P3), on a donc: 

aU1 8133 

E1h1 - E3h3- 

ax 

ax 

L'expression (111.2.2) devient: 

a4w a2w au3 

p = Dt Dg*y_ g*dE3h3_ 

ax4 ax2 ax 

(111.2.3) 

avec: 

g* 

i 

i 

- ( + ) 

= g(i + jr7) 

h2 E1h1 E3h3 

d2 

et Y =( 

Dt 

E1h1E3h3 

E1h1 + E3h3 

En suite, ils considèrent l'équilibre d'un petit 

élément de longueur 6x dans la fig. 111.2.2(d), il est 

évidant que: 

6P3 = - r6x 

d'où: 

- =-T 

ax

75 

ou encore: 

8 aU3 d8W U1U3 

- (E3h3_)=_G*(__+ 

8x 8x h2ax h2 

82u3 

8x2 

Dt 8W 

E3h38x 

(111.2.4) 

En éliminant U3 dans les équations (111.2.3) et 

(111.2.4), ils obtient l'équation de déplacement 

transversal: 

a6w a4w 1 82p 

- g*(l + Y)- 

ax6 

4 

Dt 

g*p 

(111.2.5) 

avec: 

p = charge d'inertie + charge extérieure 

= -m-2 + q(x,t) 

Bt 

Dans le cas où la charge extérieure est 

proportionnelle (en tous points le long de la poutre) à la 

charge dtinertie locale, les modes de vibration sont 

découplées. A la résonance, la charge extérieure est 

fois la force d'inertie (q = jT1m(w)2W).

76 

s 'écrit: 

En posant W = W(x)T(w,t), l'expression (111.2.5) 

d6Wn 

* 

d4W 2 ni d2W 

- g (1 + Y) - wn(l + jì)- ( - - gW 

) 

= O 

dx6 dx4 Dt dx2 

(111.2.6) 

s ' écrit: 

Ax 

Posons, W = Ae , 1' équation caractéristique 

6 * 4 2 ni 2 

À - g (1 + Y)Ah - ''n(1- + - (An + g) = O 

Dt 

(111.2 .7) 

Si l'on cherche une composante harmonique (An2 réel 

négatif) W, l'expression (111.2.7) peut être séparée en 

parties réelle et imaginaire: 

et 

6 4 2m 2 

- g(l + Y)An - C4)n - [A + g(1'ic - 1)] = O 

Dt 

(111.2.8 a) 

4 2m 2 

- gnc(1 + Y)A - Wn - (unAn - g(n + 7G)] = O 

Dt 

(111.2.8 b) 

Avec les deux expressions (111.2.8), on peut 

calculer r en fonction de la fréquence. 

La fig. 111.2.3 donne les valeurs de r en fonction 

de la fréquence pour une poutre stratifiée en trois couches 

avec le modèle d'amortissement hystérétique pour la deuxième

77 

couche, G2* = O.1E8(1 + O.3j) N/rn2, E1 = E3 = O.2E12 N/rn2. 

Les dimensions des différentes couches (h11h2,h3) sont: 

3,4,3 mm. (b) 2,4,4 mm. et (C) 3,2,5 mm. 

(a) 

La fig. 111.2.4 donne les valeurs de rj pour les 

poutres stratifiées avec les modules de Young des couches 

extérieures = O.2E12 N/rn2, les dimensions h11h21h3 = 3,4,3 

mm. Les modules de Coulomb pour la deuxième couche sont: 

O.lE8(l + O.3j) N/rn2 (b) O.lE9(l + O.3j) N/rn2 et (c) 

O.1E8(1 + O.lj) N/rn2. 

(a)

78 

Fig. 111.2.3 

hl,h2,h3 = 

3,4,3 

2,4,4 

3,2,5 mm. 

Coefficiei,i dsamoriissement 

Fig. 111.2.4 

(a) G*.1E8(1+.3j) 

(b) G*=.lEq(1.3J) 

(c) G*.1E8(1+.1j) 

N/m2 

0.30- 

0.20- 

C 

ab 

0.10 

:.- -_ 

0.00 

I 

1E+01 1E+02 1E+03 1E+04 

f (hz)

79 

En général, dans le cas d'une poutre sollicitée en 

flexion, les matériaux stratifiés travaillent à la fois en 

traction-compression et en cisaillement. Une étude combinant 

ces deux cinématiques a été faite par Ross et Kirwin 

[16,17]. Plusieurs travaux concernant des configurations 

plus spécifiques ont été entreprises par ailleurs. 

Les principales conclusions sont les suivantes: 

Les composites obtenues avec le revêtement par 

plaque de contrainte ont des coefficients d'amortissement, 

en général, plus important que ceux qui utilisent la 

technique de revêtement simple. 

Tous les paramètres géométriques et élastiques de 

tous les composantes de la structure influent sur la valeur 

du coefficient d'amortissement souvent même de façon très 

importante. 

En particulier, le module d'élasticité et surtout 

le module de cisaillement du matériau viscoélastique 

définissent une caractéristique importante du matériau 

composite.

80 

111.3 COEFFICIENT DE CISAILLEMENT 

La prise en compte du cisaillement nécessite 

l'introduction d'un coefficient de cisaillement (ou de 

Timoshenko) , k. Il rend compte du fait que les contraintes 

et les déformations, dont il dépend, ne sont pas distribuées 

uniformément sur la section droite. Sa détermination a 

suscité de nombreuses recherches qui ont abouti aux diverses 

conclusions suivantes: 

Timoshenko [6]: Le coefficient de cisaillement, 

k, représente le rapport entre le cisaillement moyen sur la 

section droite et le cisaillement au centre (pour une 

section rectangulaire: k = 5/6). 

Cowper [7]: Il définit un coefficient de 

cisaillement en fonction des caractéristiques mécaniques du 

matériau. (Pour une poutre isotrope, k = 

lO(l+v)/(12+llv)). 

Gay [8]: Le coefficient k dépend de la fréquence. 

Fages [9]: Il détermine les variations du coefficient 

k en fonction de caractéristique mécaniques du 

matériau et de la fréquence.

81 

Dans le cas d'une poutre homogène orthotrope: 

Xi 

T 

X2 h 

-e. 

Fig. 111.3.1 

Fages n'a pas négligé 033 devant dans les équations 

de comportement (à l'encontre des analyses clas-siques 

[6], (7]et [8]), les équations du problème sont: 

pw2AW 

+ F' = O 

F + Mt = - pw2IØ 

AW2 

moment flèchissant: M = -1E1LIt' - v13E13 - 

5ß 

effort tranchant: F = G13A(kwW' - kØ)

82 

d' où: 

W = flèche moyenne 

= rotation 

/Al4 

a = paramètre de fréquence = wJ E31 

aI 

x = coefficient sans dimension = - 

Al2 

2 

p = i - -(1 - '13"3l)X2 

7 

V13L131X2 

5ß 

A = bh 

et les "coefficients correctifs", k et k: 

6 1 L1l31/31X2 

5 5ß 257162 

kw = (111.3.1 a) 

6 1 v31G13 

5 16-1 5E3 

1 

'3lX2 

5ß-y 

k = (111.3.1 b) 

6 1 

5 p-y 5E3 

Les fig. 

111.3.2 à 111.3.4 montrent les coefficients 

correctifs (en fonction de x) pour les poutres isotropes 

avec des rapports E/G différents.

83 

Fig. 111.3.2 

E/G3 

2.00- 

Coefficient correctif 

0.50 

0.00 

0.50 1 . 00 

X 

1 .50 2.00 

Fig. 111.3.3 

E/G10 

1 .50- 

2.00- 


0.50 

0.00 

I - 

0.50 1 . 00 

X 

1 .50 2.00

84 

Fig. 111.3.4 

E/G40 

2.00- 


1 .50- 

Si.iq 

1 .00- 

0.50 

0.00 

0.50 1 .00 

X 

1 .50 2.00 

0n appel "valeurs statiques" de k 

obtenues en faisant w 

= 0. On obtient: 

etk0 les valeurs 

kws = kp5 = 1/( 

6 v31G13 

5 5E3 

(111.3.2) 

Dans le cas où la poutre est isotrope, 

G = E/[2(l+v)] 

10(1 + ') 

k5 = k5 - (111.3.3) 

12 + 11v 

C'est le coefficient trouvé par Cowper [6].

85 

Fages conclut que l'on peut négliger c 

dans les 

équations de comportement et d'utiliser le coefficient 

statique, k, jusqu'à x = 1.2 . Le système d'équations 

utilisé sera: 

pw2AW + F' = O 

F + M' = - 

moment flèchissant: 

M = E1I' 

effort tranchant: 

F = G13Ak5(W' - 

avec: 

6 v31G13 

5 5E3 

Pour une poutre symétriquement stratifiée à 3 couches: 

X3 

II--1 

I 

LT 

th 

Fig. 111.3.3

86 

s écrit: 

Le coefficient de cisaillement (cf. Fages [9)) 

r 

k = i / 

I 

L 

It(ht) G11 (h-t)2 

I 

+ t2 + + 

(h+t)21 3 G1 3 

G1 

t(h-t)- 

G11 

(111.3.4) 

Ainsi défini, 

il dépend des caractéristiques mécaniques 

des matériaux. 

On pose: 

R=- , 

G11 

G1 

q=- - 

t 

h 

k = i / 

r 4 1 

[ 

3R(1+q)21 

Rq(i-q) + (l+4q2-2q)R + 3q(l-q) 

(111.3.5) 

Fig. 111.3.5 

poutre stratifie'e 

1E+02- 

Coefficient de cisailLement 

R1 

R.2 

R.04 

R.005 

- R.001 

1E+O1 - 

/ 

/ 

\\ 

:1 

1E+OO 

0.00 0.20 0.40 0.bO 0.80 1.00 

q.t/h

87 

IV. IDENTIFICATION DES 

CARACTERIBTIQUES DES MATERIAUX A 

PARTIR D'ESSAIS 

Les caractéristiques des matériaux viscoélastiques 

peuvent être déterminées selon les méthodes suivantes: 

Oscillation libre: En utilisant par exemple une 

poutre encastrée ou le pendule en torsion et en mesurant le 

décrément logarithmique et la fréquence, on peut déduire les 

caractéristiques des matériaux. 

Cette méthode donne des résultats satisfaisants pour 

les matériaux présentant un amortissement peu élevé et indépendant 

de l'implitude de solicitation. C'est pourquoi, le 

dévelopement des matériaux amortissants possédant des 

valeurs de décrément logarithmique supérieures à 10 en 

limite l'utilisation. 

Méthode de résonance forcée: Cette méthode permet 

la détermination des caractéristiques viscoélastiques à 

partir de la coube de réponse. Elle reste correcte dans le 

cas de matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez 

élevé niais l'inconvenient réside dans le fait que l'essai 

est limité à la zone de résonance. Un appareil standard, qui 

utilise une poutre encastrée vibrant en flexion a été 

utilisé avec succès par Oberst. Une version améliorée 

utilisant un pendule de torsion a été développée par Perez 

et al.[20).

88 

Vibration forcée en-dehors de la résonance: Pour 

des sollicitations harmoniques, le diagramme de contraintedéformation 

présente une boucle d'hystérésis à partir de 

laquelle on peut calculer le module et le coefficient 

d'amortissement (ou le coefficient de perte) prise égale à 

Wd/27TW. Ou, Wd est l'inergie perdue au cours d'un cycle et W 

est énergie élastique maximale. 

Propagation des ondes: Cette méthode permet 

l'étude de quelques caratéristiques physiques d'élastomère. 

La fréquence de propagation est assez élevée et la 

déformation est petite (moins que iO%). 

IV.]. MESURE DIRECTE 

J 

On peut mesurer directement les caractéristiques 

dynamiques (le module de la raideur complexe IK*I et l'angle 

de déphasage q ) 

des matériaux en utilisant le viscoélasticimètre 

qui est basé sur l'analyse des vibrations 

forcées en-dehors de la résonance. 

Le principe de la mesure de la raideur dynamique 

d'un échantillon dans le cas d'essai en compression est 

présentés dans la fig. IV.l.l. 

F2 

Fig. IV.l.l

89 

Le rapport entre la force f2 et le déplacement u1 

donne la raideur complexe K* : 

K* = K' + jK" = f2/u1 (IV.l.l) 

Dans le cas du matériaù viscoélastique, sous l'hypothèse 

d'un comportement linéaire, on traduit le déphasage 

entre la force et le déplacement par un angle q. 

u1 = tJ1eJt 

= F2eJ(i)t + q) 

(IV. 1.2) 

obtient: 

En tenant compte de (IV.1.2) dans (IV.1.1), on 

K' = (F2/tJ1)cos(q) 

K" = (F2/U1)sin(p) 

soit: 

= J(KI)2 + (K")2 = F2/U1 

= tan(q) 

K* = K(1 + ji7) 

Finalement, on peut obtenir le module de Young 

complexe E* E* = (K*L/A)/(1 + fiS2) (IV. 1.3)

90 

avec: 

L = longeur de l'échantillon 

A = surface excitée de l'échantillon 

S = facteur de forme = surface excité 

surface laterale 

f3 = 2 pour la section circulaire ou rectangulaire 

Le viscoélasticimètre mesure les valeurs des caractéristiques 

dynamiques des matériaux en fonction de la 

fréquence, la température, la déformation dynamique et la 

déformation statique. 

Avec le type de solicitation choisi (tractioncompression, 

cisaillement, flexion, ...), on peut obtenir le 

module complexe désiré. 

En utilisant le principe d'équivalence tempstempérature 

( 

les caractéristiques viscoélastiques d'un tel 

matériau observées à une fréquence et à une température 

données doivent prendre la même valeur pour une autre fréquence 

de solicitation si la température change de façon 

appropriée), on peut construire la courbe intrinsèque qui 

permet d'obtenir les modules viscoélastiques dans un large 

domaine d'utilisation.

91 

IV.2 IDENTIFICATION MODALE 

Les méthodes dt identification modale sont, pour la 

plupart, basées sur un lissage des courbes de la fonction de 

transfert. Elles font toutes l'hypothèse d'un amortissement 

soit structural soit purement visqueux. Elles sont pour but 

de rechercher les modes et les fréquences complexes qui 

minimisent l'écart entre les valeurs de la souplesse 

dynamique mesurée expérimentalement et celle obtenue 

analytiquement. 

La fonction de transfert est définie par: 

Uk 

11kl= (IV. 2.1) 

F1 

avec: 

Uk = le déplacement en un point k. 

F1 = la force appliquée au point 1. 

Dans le cas d'amortissement structural, la souplesse 

dynamique d'un système discret s'écrit: 

* * 

knln 

H(jw) = E 2 

(IV.2.2) 

n - +

92 

Dans le cas d'amortissement visqueux, la fonction de 

transfert s' écrit: 

* * 

knln 

N 

H1(jw) = E * + 

n=l a 

(''nn) 

a 

*c *c 

knln * 

(jwS) 

(IV.2. 3) 

avec: 

* *T * **T * 

a = n Cfl + 2snn M 

= vecteur propre (en complexe) 

M 

= matrice de masse 

C = matrice d'amortissement 

* 

s = fréquence propre 

En pratique (par exemple, dans le cas d'amortissement 

visqueux), on ne peut pas connaître toutes les modes. 

On intraduit alors des caractéristiques résiduelles de la 

façon suivante afin de diminuer l'influence de la trancature 

modale: 

* * *c * 

n2 knln knln 

H(jw) = E * * + * 

n=n1 an (l'nn) a (jwnSn) 

1 

Mw2 

+ 

1 1 

jwC 

+ , n1nn2 (IV.2.4) 

K

93 

Le comportement à base fréquence est traduit par la 

masse résiduelle M et l'amortissement résiduel C. Le 

comportement à haute fréquence est traduit par la raideur 

résiduelle K. 

Avec le modèle d'amortissement choisi, la recherche 

des paramètres modales s'effectue à l'aide d'un lissage par 

la méthode "des moindres carrées". Il existe plusieurs 

variantes correspondant à diverses stratégies visant à minimiser 

un critère quadratique. 

La méthode classique est d'effectuer le lissage des 

fonctions de transfer en utilisant le critère: 

N c c 

E = E [(H(jw) - H(jcifl)][(H(jWfl) - HE(jwn)) (IV. 2. 5) 

n=l 

La méhode proposée par R. Dat et J.L. Neuzec [22] à 

l'avantage de ne pas nécessiter d'estimation préalable. 

Cette méthode donne la fonction rationnelle qui représente 

au mieux les valeurs expérimentales de la fonction de transfer. 

Supposons que l'on ait mesuré la fonction de transfert 

pour des valeurs discrètes, w, de la pulsation. 

HE(jwfl) 

H(jw) étant une fraction rationnelle, on peut trouver deux 

polynômes P(jw) et Q(jw) tels que: 

HE(jwfl) (IV. 2.6) 

Q (j w) 

On cherche les coefficients des polynômes P et Q, de 

degré donné, qui rendent minimum un paramètre d'erreur 

définit par

94 

E E HE(jwfl)Q(jwn) - P(jwn) (IV.2.7) 

n 

2 

Lorsque la fraction rationnelle est déterniinée, 

effectue la décomposition en éléments simples. Celi-ci 

détermine les modes propres de la structure dissipative: les 

pôles définissent les fréquences propres et les amortissenient, 

les numérateurs définissent la forme propre. 

on

95 

IV.3 PROBLEME LIES AUX POLES MULTIPLES 

Considérons une poutre encastrée (dans la fig. 

IV.3.l) solicitée longitudinalement par la force harmonique 

= FeJw. 

Fig. IV.3.l 

Pour introduire l'amortissement interne dans le 

système, on utilise le module de Young complexe. L'équation 

de propagation s'écrit: 

ri 

(w) 

a2U 

ox2 

+ pw2Ü = O (IV.3.l) 

Si l'on prends la solution particulière de la nÒ 

mode sous la forme: 

U(x,t) = + wnt) 

(IV.3.2) 

En rapportant (IV.3.2) dans (IV.3.l), on peut écire 

que:

96 

kE*(w) 

2 

- PWn = o (IV.3.3) 

Dans le cas d'utilisation du modèle de Zener pour le 

module de Young complexe 

i + a(jw) 

1w) = E0 (IV.3.4) 

i + b(jw) 

Pour la solution générale, on peut écrire: 

U = (Acoskx + Bsinknx) e (wnt) (IV. 3.5) 

Dans le cas de vibrations libres on doit vérifier 

les conditions aux limites suivantes: 

U =0 en x =0, nous obetnons 

A=0 

ax 

= O en x = 1, nous obtenons 

kncOs(knl) = o 

d'où 

knl = iij2 + j7T 

On trouve que les modes sont réels: 

= sin(knx) (IV.3.6) 

avec: 

kn = (n/2 + jir)/l

97 

En tenant compte de (IV.3.4) dans (IV.3.3), nous 

obtenons 3 pôles: 

Wn,2 = -a 

= + iß 

W3 = im 

+ Jßn 

Dans le cas de vibration forcée, l'équation de 

mouvement s' écrit: 

E*(w) 

a2U 

+ 2U + 

ax2 

(x=l) 

= O (IV.3.7) 

et la solution générale prends la forme: 

U = E (x)q(t) (IV. 3.8) 

n=l 

En tenant 

multipliant par 

r' 

compte de 

(IV.3.7) 

(IV.3.8) dans 

s'écrit encore: 

(IV.3.7) 

et en 

- E*(w) E qn 

n= 1 

I 

1 

o 

nrS 

1 

+ in J 

pnrd 

o 

= 

- J 

1 

o 

rd 

(IV. 3.9) 

d' où: 

co 

qn = E 

n=] (E *()k2 

pwn2) 

co 

q = E (IV. 3.10) 

n1 d(w - wn,l) (' - ''n,2) (» -

98 

En rapportant la valeur du qn dans (IV.3.8), nous 

obtenons la solution du problème: 

U(x,t) = E (IV. 3.11) 

n1 d(w - c»n,l)(w - )n,2)(w - W3) 

Cette expression fait apparaître trois pôles à 

l'opposé des expressions classiques utilisées lors de 

l'identification modale. Cet exemple simple permet donc de 

mettre en évidance les erreurs découlant d'une analyse 

modale lors de l'identification des modules complexes.

99 

IV.4 METHODE D'IDENTIFICATION DES PLAQUES DANS LE CAS 

ANISOTROPE 

Une méthode permettant d'identifier les 

caractéristiques mécaniques des plaques anisotropes, à 

partir des vibrations forcées, est proposée par Hugo Sol 

[4]. Dans cette méthode, la réponse expérimentale a été 

mesurée et comparée avec la réponse obtenue analytiquement. 

Les paramètres recherchés dans le modèle mathématique (les 

rigidités) sont ajustés jusqu'à ce que l'écart entre la 

réponse expérimentale et la réponse calculée soit minimal. 

La fréquence de résonance est mesurée par le montage 

décrit dans le fig. IV.4.l 

éprouvette 

fil mince 

2 

capteur d'accélélation 

amplificateur 

analyseur de spectre 

i 

5 

Fig. IV.4.].

loo 

L'équation de mouvement d'une plaque anisotrope 

été écrite avec les hypothèses suivantes: 

a 

à la surface moyenne. 

La section droite reste droite et pérpendiculaire 

La contrainte normale a 

contraintes a, cr et Txy. 

est négligiée devant les 

a4w a4w a4w 

D11-- + D22- + 

ax 

2(D12+D26)ax2ay2 

a4w 

a4w 

+ 4D16 + 4D26 

axay 

a2w 

= - ph 

at2 

(IV. 4.1) 

avec: 

D11 = rigidité en f lexion autour de l'axe Y 

D22 = rigidité en flexion autour de l'axe X 

D66 = rigidité en torsion 

D12, D16, D26 = couplages des rigidités 

Dij = Eh3 

La réponse a été calculée par la méthode de Ritz (en 

utilisant un seul élément, la plaque entière, et le polynôme 

de Lagrange comme la fonction de forme).

101 

Pour ajuster les paramètres (les rigidités), il 

utilise la sensibilité de la réponse due au changement des 

paramètres (la sensibilité a été prise égale à la partie 

linèaire de la dérivée partielle du développement de Taylor 

de la réponse). 

{P) = [S]-{R) 

(IV.4.2) 

avec: 

= variation des paramètres 

= variation des réponses 

S 

= sensibilités 

Il utilise la méthode Baysian (en introduisant {Cp] 

et [CR]) pour tenir compte de l'incértitude entre les 

valeurs de paramètre du modèle d'origine et celles de 

paramètre ajustés et de l'incértitude de la mesure des 

réponses expérimentales. Il introduit une constante k 

traduisant la confidence relative entre le modèle 

mathématique et la réponse mesurée expérimentalement. 

Ansi, l'expression (IV.4.2) s'écrit encore: 

[Cp]{LP) = k[S][CR](L1R) 

(IV.4.3) 

Il conclue que: 

1. La plaque avec les extrèmités libres donne la 

meilleur sensibilité pour les changements de la rigidité. 

2. En utilisant un seul élément avec le polynôme de

102 

Lagrange comme la fonction de forme avec 7 x 7 = 49 

noeuds/éléTnent, on peut obtenir d'une façon satisfaisante la 

réponse forcée. 

3. Pour que la matrice [S] soit inversible ou 

pseudo-inversible: 

Dans le cas de la matrice [S] diagonale (pas de 

terme de couplage de la rigidité), il est nécessaire de 

mesurer les fréquences de résonance associées avec les 

formes propres fondamentales (torsion et flexions dans les 

deux directions). 

Dans le cas de la matrice [S] non-diagonale, le 

rapport longueur/largeur doit être approprié pour donner le 

maximum de sensibilité au diverses caractéristiques des 

matériaux.

103 

V. IDENTIFICATION NON-NODALE 

V.1 PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE 

On utilise l'expression de l'impédance mécanique 

pour identifier les modules de Young et de Coulomb complexes 

d'une poutre composite homogène ou symétriquement 

stratifiée). 

Dans le cas d'une poutre d'Euler: Il n'y a que le 

module de Young complexe qui se présente dans l'expression 

de l'impédance. L'étude experimentale d'une poutre permet 

l'identification du modèle de Young complexe E*(w), par une 

méthode d'itération appropriée. 

On a choisi une poutre libre-libre excitée en son 

centre pour mesurer les valeurs de l'impédance. On détermine 

à l'aide de celle-ci et d'un développement limité de l'expression 

analytique de l'impédance le module de Young 

complexe (par la méthode de Newton). En balayant en 

fréquence, on obtient lés vriations du module de Young 

complexe du matériau composite (voir organigramme V.3.1). 

Dans le cas d'une poutre de Timoshenko: On peut 

obtenir les deux modules complexes en utilisant deux poutres 

de longueurs différentes. Les deux expressions de 

l'impédance conduisent à un système à deux inconnues que 

l'on resoud par une procédure méthode itérative.

104 

Dans la procédure utilisée, on utilise la poutre la 

plus longue pour calculer le module de Young complexe et la 

plus courte pour calculer le module de Coulomb complexe à 

chaque pas de fréquence. Ainsi, on obtient les deux modules 

complexes du matériau composite de façon continue (voir 

organigramme V.3.2). 

V.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DES IMPEDANCES 

Dans cette partie,. on va rechercher un développement 

limité des expressions de l'impédance au centre de la poutre 

(cf. (11.2.29) et (11.2.67)). 

V.2.1 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE L'IMPEDANCE AU POINT 

COURANT D'UNE POUTRE D'EULER-BERNOUILLI 

L'équation de l'impédance (normalisée par la masse, 

Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son centre s'écrit: 

Z0 1 sinh(n*a)cos(n*a) + cosh(n*a)sin(n*a) 

- ---( ) 

Mb 

n*a cosh(n*a)cos(n*a) + 1 

(V.2.1) 

Désormais, on dénote 

n*a = x 

et avec: 

sinh(x) = (X + X3 + X5 + ...) 

3! 5! 

cos(x) = (1 + X4 - ..) 

2! 4!

105 

cosh(x) = (1 + + X4 + ...) 

4! 

sin(x) = (X - 3 + - ...) 

5! 

On peut reécrire (V.2.1) sous la forme de développement 

limité suivant les puissance de x 

Z0 

Mb 

- 

ajX1 

; bx- 

3- 

(V.2.2) 

d' où: 

X = 

= (n*a)4 

a0 = 2 

a1=2(1- 1 +1) 

4! 2!3! 5! 

a2=2(- i + 1 - 1 +1) 

8! 3!6! 4!5! 7!2! 9! 

a3=2(1 - 1 + i - i + i - i +1) 

12! 3!iO! 5!8! 6!7! 4!9! 2!li! 13! 

b0 = 2 

b1= (- i 

4! 2!2!

106 

2 + 1) 

8! 6!2! 4!4! 

- 2 + 2 - 1 ) 

12! 10!2! 8!4! 6!6! 

Comparons les valeurs exactes et les valeurs approchées 

(obtenue par le développement du 6ème ordre de 

(n*a)4). Des fig. V.2.1 à Fig. V.2.9, on trace les expressions 

exactes et approchées en fonction de la fréquence (na 

a 1w). On constate que, quelque soit la valeur du module de 

Youg complexe, la précision des valeurs de 1t impédance 

obtenue est très bonne jusqu' au deuxième mode.

107 

Fig. V.2.1 

I 

i 

Impedance d une 


E*.224E10(1+.OIJ) 

M/m2 

Fig. V.2.2 



E*.224E10(1+.1i) 

M/m2

108 

Fig. V.2.3 



E*.224E10(1+.25j) 

N/m2 

Fig. V.2.4 

Jmpdance d'une 


IE+02- 

IMPEDANCE 

ap p roch e 

- exacte 

E*.224E10(1+.Olj) 

M/m2 

1E+O1 - 

E 

o 

NJ 1E+OO- 

O) 

- 

lE-02- 

lE-03 

IE+02 

I 

1E+03 1E+04 1E+05 

w 

I

109 

Fig. V.2.5 



E*.224E10(1+.li) 

N/m2 

Fig. V.2.b 


poutre d'EuLer 

E*.224E10(1+.25J) 

N/m2 

1E+02- 

1E+01 - 

E 

o 

M 1E+00 

Q, 

- 

- 

IMPEDANCE 

ap p roch e 

- exacte 

i E-02 - 

lE-03 

1E+02 1E+03 1E+04 IE+05 

w

110 

Fig. V.2.7 



E*.5E08(1+.01 i) 

M/m2 

-1 

1E+01 - 

o 

NJ 1E+00 

Q) 

- lE-01 - 

i E-02 - 

Fig. V.2.8 



E*. 5E08 (1 +. '1 i) 

N/m2 

IE+0i - 

o 

M 1E+00 

a) 

-o 

i E-f 02 - 

- lE-01 - 

IMPEDANCE 

ap p roch e 

- exacte 

I E-02 - 

lE-03 

IE+02 1E+03 1E+04 1E+05 

w

lu 

Fig. V.2.q 



E*.5E08(1+.25j) 

t1/m2 

-o 

IE+01 - 

o 

M 1E+00 

a) 

- 

1E+02- 

- lE-01 - 

I MPEDANCE 

ap p roch e 

- exacte 

lE-02 - 

lE-03 

1E+02 

I 

1E+03 1E+04 1E+05 

w 

I

112 

V.2.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE D'IMPEDACE AU POINT 

COURAÌT D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO 

L'expression d'impédance (normalisée par la masse de 

la poutre, Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son 

centre s'écrit: 

Z0 [(O*a)2 + (e*a)2J NT 

Nb 

DT 

(V.2.3) 

avec: 

2(O*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4]½ 

2(e*a)2 = 

(n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4J½ 

NT = { 

*(O*a)c(O*a)sh(*a) - x*(*a)s.(O*a)ch.(e*a) 

DT = { 

2zì*x*(O*a)(*a) - **[(O*a)2 - (e*a)2]s (O*a)sh (e*a) 

- [(*a)2 + (X*a)2] (9*a) (e*a)c (O*a)ch. (e*) 

[(n*a)4a - 

(O*a)2] 

* 

X 

= [(n*a)4a + (e*a)2] 

1 r2E* 

k 

a2G* 

r2 

f3=a2

113 

pw2a4 

E*r2 

Désormais, on dénote: 

x = 

(e*a) 

y = (*) 

X = (*)4 

Y = c/ß 

Donc, on peut reécrire (V.2.3) comme suivant: 

z0 

(x2+y2) (*x c.x sh.y - x*y s.x ch.y) 

Mb 2,,*x*xy - ,*X*(X2....Y2)S x sh.y - (z.,*2+x*2)xy c.x ch.y 

(V.2.4) 

d'où, 

par exemple, 

c.x sh.y = cos(x)sinh(y) 

En écrivant les expressions circulaires et hyperboliques 

de x et y en développement limité, on peut 

récrire (V.2.4) sous la forme de développement limité en 

puissance de X, (V.2.5 a), et en puissance de Y, (V.2.5 b), 

explicitement. 

zoNi 

Mb - D1 

aX' 

bX1 

(V.2.5 a)

114 

Zo 

CjY 

Mb D2 djYi 

(V.2.5 b) 

avec: 

N1=-4+X 

[ a(U1) 

+ a(ßU2 + U3) 

+ (ß2U4 + ßU5 + U6)] 

+ X2 [ a3(TJ7) 

+ a2(ßU8 + U9) 

+ a(ß2U10 + ßt111 + U12) 

+ (ß3U13 + ß2U14 + ßU15 + U16)] 

+ X3 [ a4(U1) 

+ a3(ßU18 + U19) 

+ a2(ß2U20 + ßU21 + tJ22) 

+ c(ß3U23 + ß2U24 + ßU25 + U) 

+ (ß4U27 + ß3U28 + f32U29 + ßU30 + U31)] 

Ltexpression pour D1 prend la même forme que celle 

de N1 en remplaçant les constantes U1 par V1. 

N2 = -4 + [ X (ß2U + ßU5 + tJ6) 

+ x2(ß3u13 + ß2U14 + ßU15 + tJ16) 

+ x3(ß4u27 + ß3U28 + ß2U29 + ßU30 + U31) 

+ x4(ß5U47 + ß4U48 + ß3U4g + ß2U50 + ßU51 + U52) 

+ x5(ß6U74 + ß5U75 + /34U76 + ß3U77 + ß2U78 

+ ßU79 + U80) 

+ x6(ß7tJ109 + ß6U110 + ß5U111 + ß4U112 + ß3U113 

+ ß2U114 + ßU115 + U116)]

115 

+ Y [ X (ß2U2 + ßU3) 

+ x2(ß3u10 + + ßU2) 

+ x3(ß4u23 + ß2U25 + ßU26) 

+ x4(ß5u42 + ß4U43 + ß3U44 + + ßU46) 

+ x5(ß6tJ68 + ß5U69 + + ß3tJ71 + ß2U72 + ¡31173) 

+ X6(ß7tJ102 + ¡3611103 + ß5U104 + ß4TJ05 + 

+ ¡3211106 + ¡311107)) 

(ß2tJ1) 

X 

+ x2(ß3u8 + ß2U) 

+ x3(ß41120 + ßU21 + ¡321122) 

+ x4(ß5u33 + /34U39 + ßU4o + ß2U41) 

+ x5(ß6u63 + ß5U64 + + ß3tJ66 + ßU) 

+ x6(ß7u96 + ß6Ug7 + + ß4Ugg + ß3U100 

+ ß3U101)) 

x2(ß3u7) 

+ x3(ß41118 + ß3U19) 

+ x4(ß5u35 + + ßU37) 

+ x5(ß6u59 + f3U6o + ¡341161 + ß3U62) 

+ x6(ß7u91 + + ßU93 + ßU94 + ß3U95)] 

x3(ß4u17) 

+ x4(ß5u33 + ß4U34) 

+ x5(ß6u56 + ß5tr57 + ßtJ58) 

+ x6(ß7u87 + ß6U88 + ßU89 + ßUgo)] 

X4(ß5U32) 

+ x5(ß61154 + ßU55) 

+ + + ß5U86 + ßU87)) 

X5(ß6U53) 

+ x6(p71182 + ¡361183)] 

X6(ß7TJ81)]

116 

remarque: Le développement limité en Y , (V.2.5 b), est basé 

sur le développement limité de 6ème ordre en X (i=6) dans 

l'expression (V.2.5 a). 

L'expression pour D2 prend la même forme que celle 

de N2 en remplaçant les constantes U1 par V1. 

Les constantes Uj et Vj pour les développement en X 

(6ème ordre) et en y (7ème ordre) sont listés ci-desous: 

U( i)=-0. 100000000000000000E+01 

U( 2)= 0.200000000000000000E+01 

U( 3)= 0.666666507720947266E+00 

U( 4)=-0. 10000000000000O000E+01 

U( 5)= 0.200000000000000000E+0j. 

U( 6)= 0.i.33333333333333318E+00 

U( 7)= 0.166666626930236816E+00 

U( 8)= 0.1666667461.39526367E+00 

U( 9)= 0.000000000000000000E+00 

U ( 10) = -0.833333373069763184E +00 

U( II )=-0 . 399999999999999939E+00 

U ( 12) =-0 .952380952380952380E-02 

U( .t3)= 0.500000000000000000E+00 

U( 14)=-0. i.33333333333333331E+00 

U( 15)=-0. .L587301587301587J.3E-01 

U( 16)=-0. 176366843033509536E-03 

U( 17) =-0 .833333333333333409E-02 

U ( 18) =-0 .666666666666666380E-01 

U( 19)=-0. 158730158730158773E-02 

U( 20)= 0.116666666666666627E+00 

LJ( 21)= 0.174603174603174573E-01 

U( 22)= 0.220458553791886903E-03 

U( 23)= 0.156125112837912638E-16 

U( 24)= 0.333333333333333303E-01 

U( 25)= 0.132275132275132262E-02 

U( 26)= 0.801667468334134137E-05

ccccccccccccccccccccccccccccccccccCCCCCCCCCCCCCCCCCC 

mmmwmnwmmwWWW(JWW(J1rUr0 

w (n mi-OOW (J14 ODW (fl3 O WOE) (J14W OW) (B 

uil lull ii 

H II H II H H U II II H U U H II ti II H H H II H II H II H II Il U II II II U H II Il II H II Il H H H II H ti M H H II H II II 

i i i iii uggugi g i 

0000000000000000000000000000000000000000000000000090 

w ai w w Ui 

o W4U14U1OWWWF (BWU1 @WOWO NO (J1(flOW-JW (BW 

woro (fi 

U) OW WW 

wOmwOwwwwma1wwwwWwWWWg 

W Jo 

wwwwww 

OW4OWrOWo- (A)'.,IU) W 

owcooaiow roi-ulww 

(J14tWO 

w mai al 

W o'4o w-..Ja 

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 

I i I I I i i i I i i i i i i i i i i i u i u i i i i i i i i i i i u u i i i i i I i i i I i i i i i i 

i_ooOOi.i.00OoiOOOOOOOOroOOOOOIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

118 

U( 79)= 0.925972354179763260E-13 

U( 80)= 0.801707665956526947E-16 

U ( 81) =-O . 698327S21244187821.E-06 

U( 82)= 0.277452100369767040E-05 

U( 83)= 0.338310523495707831E-07 

U( 84)= 0.625989558281224747E-05 

U( 85)= 0.719445163889608sS9E-07 

U ( 86) = 0. 171296467S92764634E-09 

U( 87) =0.647597001763668237E-OS 

U ( 88) = -O . 350729517396184149E-06 

U ( 89)=-O .359722581944803637E-08 

U( 90)=-0. 695976243313230180E-li. 

U ( 91) =-O. 100239748677248661E-04 

U( 92)=-0. 146972369194591341E-05 

U ( 93) = -O . 2608600492 19837593E -07 

U( 94)=-0. 125233551937566768E-09 

U( 95)=-O. 167836196735186850E-12 

U( 96)= 0.502921075837742339E-05 

U ( 97)=-0 .918577307466196210E-06 

U ( 98) =-0. 349934212368074806E-07 

U ( 99) = -0.328673410319262873E-09 

=-0 .999629245989519030E-12 

=-Q 138346636400725886E-13 

= 0. 285907186948853641E-05 

U(103)= 0. 14889251Q259544981E-22 

U (104)=-0. 104980263710422341E-07 

U(lOS) =-0 . 205843654334161535E-09 

U(106 )=-0. 123112233453445940E-11 

U (107) = 0. 232S993S1173844015E-13 

U ( 108 ) = 0.6073398512226S5026E -16 

= 0. 275573192239858671E-06 

= 0. 2697919364S86029s3E-07 

U( 111)=-0. 1712964G7S92764944E-09 

U(112)=-0 . 2423335S80383j.1727E-10 

U (113) =-0 .305149980354694755E-12 

U( 114)=-0. 14235S174730S08394E-13 

U(1iS)= 0. 604171046218874351E-16 

U ( 116 ) = -0. 10S6268334693S9579E -20 

V( 1)=-0. 100000000000000000E+01 

V( 2)= 0.200000000000000000E+0j. 

V( 3)= 0.200000000000000000E+oj. 

V( 4)=-0. 100000000O0000000oE+j. 

V( S)= 0.200000000000000000E+o1 

V( 6)= 0.333333333333333343E+oo 

V( 7)= 0.500000000000000000E+00 

'.) ( 8) =-0 . 500000000000000000E+00 

V( 9)= 0.833333730697631836E-01 

V ( 10 )=-0 . 500000000000000000E+00 

V ( 11) = -0. 1166666S8719390689E +01 

V ( 12) =-0 . 444444427887598671E-01 

V( 13)= 0.500000000000000000E+00

119 

V( J.4)=-0. 833332935969034738E-oj 

V ( i ) = -0. 444444427887S98671E -01 

V ( 16)=-0. 7936EO7936507937S9E-03 

V( 17)=-O.4l6G662447o995o5E-oj 

V( lB)=-0.74999992s494j40j-+oo 

V( 19)=-o . 7638BB516369859278E-02 

V ( 20) = -0. 166866624446709932E +00 

V( 21)= 0.S2O93334S7SO96764.0j 

V( 22)= O.iSB73Qj5873OjSB725EO2 

V( 23)=-O.1666666666666G6G5+oo 

V( 24)= O.S2O833320916698996E-Oj 

V( 25)= O.63492O634920634833E-02 

V( 26)= O.S29IOO529i.00529089E-04 

V( 27) =-0. 416666666666666652E-Oj 

V ( 28)=-0. 7638887647j2S4678O2 

V( 29)= 0.1E873Qj5873OjS87jO2 

V( 30)= O.529100529100529089E-04 

V( 31)= O.267222489444712106E-O6 

V( 32)= O.13B888888888888883E..02 

V( 33)= O.1BO565530720286845E...Qj 

V( 34)= O.347222222222222181E..03 

V( 35)=-O. 194444469279712959E-Qj 

V( 36) =-0 . 21826395997664S2 17E-02 

V( 37)=-0 . 22O45853408 136646 lE-04 

V( 38)=-0. 194444444441114439E-Qj 

V( 39)=-O.902'ff,'6j22o93j6oeE..o2 

V ( 40) = -0. 260141O95445479782E -03 

V( 41)=-o. i2G93O6B24623809 lE-OS 

V( 42)= 

V( 43)=-0 . 218263959975545363E02 

V ( 44) =-0 . 260141095445479782E-03 

V( 4S)=-o . 3874726O9694.3j79jE..O5 

V( 46)=-0. 117460434920752371E-07 

V( 47)= O.13BB88898898898883E..02 

V( 48)= 0.347222222222222j2..03 

V ( 49) =-0 . 220458534081366528E-04 

V ( SO ) = -0. 634653412431i.905j.OE -06 

V( 51)=-0. 11746O43492O762371E-07 

V ( 62) =-0 . 2447O92394i823Si.9j.E-.jO 

V( 53)=-0. 124007936507936423E...04 

V( 54)=-0. 71924603174603j.630E-03 

V( 55) =-0. 771604938271605263E-OS 

V( S6)=-0. 186011904761905331E..O3 

V( 57)= O.561146384479717850E..O5 

V( 58)= °.B3SO7O279514722949E...07 

V( 59)= °.183531746031745960E..02 

V( 60)= 0284393439iS34j.GSE-O3 

V( 61)= 0474319919764363jG2E..OS 

V( 62)= O.1S416G92OB334g7447Q7 

V ( 63) =-0. 18601190476 1904799E-03 

V( 64)= 0284393439153422QE-O3 

V( 65)= 0.117243867243867237E..04

ccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccc 

I-00000000000wwwmwwwww000' 

I-F-I-I-I-I- 

IIIIHhIUhIIIIuIIIIIIIIIIIIIIIIIlUhIIIIIIIItIIIIIIIIIIIIlIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHhIIIIIIIIlIIIlIlIIII 

I I I I I I liii 

liii, III I 

I I I II 

I 

I I 

Q o 000000000000000000000000000000 O sDQOQ'DQs3cD 

N w w 

OONO(J.:wOwwOwwOfflOwOwwmO-JfflI--OO 

-jmi-- 

oawoo wmo(flrü mm w w owm w oi-000-.jwowi-woo 

W O (J1WWW (n WOO 000W-P 

wjoowwawowww-.jww.owui,-www 

w w wi-rn pali- ww w w aiw 

I-fflomo(n4wO.pWw-.JooWwI@oww.pI-wm 

wruoWOWU1amOwU1rUa1-.J'w-J4u1co 

w orüoW-i000 JOW.PO1 O (110 (fl wo op om'ruw 

woI-uma'i-I-wwwI-I-wmWowi--.jo',oawm-.pow 

omF-w-PI-WOOWI-i-WWaWOi-I-WI-WwI-wwOF-wW-PF-wI--.JI-F--J4oaffl-.J 

i-wi-w.pwwwwm0mI-I-.P0cJI--wwWmI-oI-.IwWi-wwn.pw-.1o.p 

W mao,'JooWwW (11 0(11. o 

wi---.Jwrowwowwmi-0wWi--rUOmwwwi-wwwwwi--ww 

wmwwmrut-wWmowI-wooI--wIo 

i-w 

wIwww-JwwI-I-.pwwwoI--wWa1.pw.pww4I---.JwwI--.poWwwroaI.po.pmwoI-Woww 

i-i-,-I-uii-l-owroww,-- wo3.pwwcJIwwF-wI-wwmF-wwF-wwwwI-.Jw-.Jo.pww4w 

m mmm nimm mmmmmm mmmmmmmm rnrimm nimm rlimmmmmmmmmmrnrilnhmmmmm mmmm 

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I III I 

II I S S I I I S I I S I 

i-i-i-i-0000E-F-F-0000E-I-0000E-00000000000000i-I-00000I-0000000 

II 

WawF-WwwOww0waw.pI-ww-.Ju1.pwwwww.pwwawwwnm

121 

A l'aide des fig. V.2.10 à fig. V.2.21, on peut 

comparer les impédances obtenues par la formule exacte et 

celles obtenues par la formule basée sur un développement 

limité. On remarque que les valeurs approchées sont de 

meilleurs qualités lorsque les rapports E*/G* et r/a sont 

petits.

122 

Fig. V.2.10 

!mpdance d'une 


E*.224El0(1+.1i) 

M/m2 

*=.44Eoq(1+. li) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a. 10m. 

lE-01 - 

1E+01 - 

- 

E 

ci 

M 1E+00- 

lE-02- 

Fig. V.2.11 



E*.224E10(1+.1i) 

M/m2 

G*.448E0(1+.1 i 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 03 

a.07 m.

123 

Fig. V.2.12 



E*.224E10(1+.1i) 

N/m2 

*=.448oq(1+. Ii) 

N/m2 


=.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m. 

Fig. V.2.13 



E*.224E10(1+.1J) 

N/m2 

G*.112E0q(1+.1i) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a=. 02 

a.10 m. 

-o 

1E+01 - 

o 

M 1E+00 

a) 

- lE-01 - 

1 E-02 -

124 

Fig. V.2.14 



E*.224E10(1+.1i) 

M/m2 

G*=.112Eoq(1+.IJ) 

N/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 03 

a.07 m. 

IE+01 - 

o 

M 1E+00 

a) 

- lE-01 - 

lE-02-- 

Fig. V.2.15 



E*.224E10(1+.1J) 

N/rn2 

G*.112E0(1+.1j) 

N/m2 

masse dens it 

.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m.

125 

Fig. V.2.1& 


poutre deTimoshenko: 

E*.224E10(1+.1J) 

N/m2 

G*448Eoq(1+ li) 

F'l/m2 


=.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a.10 m. 

1E+01 - 

o 

M 1E+00 

a) 

lE-01 - 

i E-02 - 

Fig. V.2.17 

E*.224E10(1+.1j) 

N/m2 

G*=.44Eoq(+, 1j 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 03 

a.0(o7 m. 

1E+01 - 

E 

o 

M 1E+00 

a) 

-ci 

- lE-01 - 



lE-02-

126 

Fig. V.2.18 



E*.224E10(1+.1j) 

N/m2 

G*=.448Eoq(+ Ii) 

M/m2 

masse dens it 

=.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m. 

Fig. V.2.lq 



E*.224E10(1+.1j) 

N/m2 

G*.112Eoq(1+.j) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a.10 m.

127 

Fig. V.2.20 


poutre de.Timoshenko: 

E*:.224E10(1+. Ii) 

N/m2 

G*. 11 2E0 (1 +. i J) 

N/m2 

masse dens ite' 

.5E4 Kg/m3 

r/a. 03 

a.0,7 m. 

1E+0l - 

.0 1E+00 

a) 

- lE-01 - 

Fig. V.2.21 

E*.224E10(i+.1J) 

M/m2 

G*=.li2Eoq(i+.1J) 

N/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m. 

1E+01 - 

- 

z 

o 

M 1E+00 

a) 

- lE-01 - 



lE-02- 

lE-02-

128 

V.3 OBTENTION DU MODULE DE YOUNG COMPLEXE DANS LE CAS D'UNE 

POUTRE D' EULER-BERNOUILLI 

s 'écrit: 

L'expression de l'impédance normalisée (V.2.2) 

In 

E a1X' 

Z0 i=0 

Mb 

fi 

E bX' 

(V.3.1) 

d'où: 

i=0 

X = (*)4 pw2a4 

E*r2 

Avec les valeurs de l'impédance normalisée Z/Mb, 

mesurées expérimentalement en variant la fréquence c, on 

peut calculer les valeurs du module de Young complexe E*(w) 

associées à chaque fréquence par la méthode d'itération 

décrite par l'organigrainnte V.3.1 présenté ci-dessous.

129 

organigramme V.3.1 

(Debut) 

* 

valeur initiale: E0 

données: valeurs géométriques de la poutre 

f 

boucle j = 1,J 

données: w 

calculer X0 

resoudre Xj 

dans (V.3.1) par 

méthode de Newton 

chercher Xj = Xjj le plus proche de X0 (et 

associé) 

1 

* * 

E1 = E0 

* * 

E0 = E

130 

non 

écrire: 

* * 

et E 

(Fin)

131 

V.4 OBTENTION DES MODULES DE YOUNG ET DE COULOMB COMPLEXES 

DANS LE CAS D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO 

En utilisant l'expression (V.2.4): 

In 

E a1X1 

Z0 i=0 

Mb 

In 

E bX' 

i=0 

(V.4.1 a) 

xn+l 

E cjYJ 

j =0 

= (V.4.1 b) 

m+l 

E dYJ 

i=0 

d'où: 

X = (na)4 - 

pw2a4 

E*r2 

a 1E* 

ß 

kG* 

En mesurant les valeurs de l'impédance normalisées 

Z/Mb de deux poutres de deux longeurs différentes, on peut 

obtenir les deux modules de Young et de Coulomb complexes du 

matériau composite par la méthode d'itération décrite par 

l'organigramme V.4.1 présenté ci-dessous.

132 

Organigramme V.4.1 

(Debut) 

valeur initiale: E0, G0 

données: valeurs géométriques des deux poutres 

i = l,L 

données: 

1 1 2 2 

Z1 et w3, Z1 

Ica1cixo 

I 

avec la poutre longue et (V.4.1 a) resoudre 

pour X1j par la méthode de Newton 

* 

cherche X1 = X1,j le plus proche de X0 (et E1 associé) 

* * 

E0 =E1

133 

1ca1cu1e. Y 

avec la poutre coutre et (V.4.1 b) resoudre 

pour Y11 parla méthode de Newton 

* 

chercher Y1 = Y11 le plus proche de Y0 (et G1 associé) 

* * * * 

et 

* * * * 

E0 = E1 G0 = G1 

* * 

[{1 - (G1/G1)) 

* * 

et (1 - (E1/E1))] < 

non 

* * 

écrire: l' E1, G1 

(Fin

134 

Les fig. V.4.1 à V.4.2 donnent les modules de Young 

et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites 

dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un 

amortissement hystérétique (E = = 0.1). Les courbes (a): 

On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4 pour 

calculer les deux modules complexes à la fois. Les coubes 

(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.3 

pour calculer le module de Young complexe. 

Les fig. V.4.3 à V.4.4 donnent les modules de Young 

et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites 

dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un 

amortissement visqueux (en prennant le modèle de Zener). Les 

courbes (a) représentent les valeurs exactes. Les courbes 

(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4 

pour calculer les deux modules complexes à la fois. Les 

coubes (c): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe 

V.3 pour calculer le module de Young complexe. 

Dans les deux cas d'amortissements cités ci-dessus, 

les résultats obtenus dans la cadre de Timoshenko (pour le 

module de Young complexe) sont plus proches des valeurs 

exactes que ceux obtenus dans le cadre d'Euler.

135 

Fig. V.4.1 (a) 

moduLe de Young 

compLexe identifie 

Timoshenko: 

iteration pour 

E* et G* 

EuLer: 

iteration pour E* 

données génere'es 

en prennant: 

r/a1.04, r/a2.08 

E*.224E10(l+..li) 

M/m2 

E*/G*5 

d. 

3. OOE#O- 

2,00E'-oq- 

0.20- 

1.5OE+O- 

1.DOEO 

ModuLe de Young 

Th 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

ab 

Fig. V.4.1 (b) 

Coefficient darnortiz5ement 

2. 5OE+Ei- 

0.30- 

ab 

0.10 

0.00 

1E+02 IE+03 1E+04 

t.J

136 

Fig, V.4.1 (c) 

module de Coulomb, 

complexe identifie 

0.20- 

.OE+O8 

b.OE+08- 

5.OE+08 

, q OE+08- 

ModuLe de CouLomb 

J 

3.OE+O- 

2.OE+08 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. V.4.1 (d) 

Coefficient d'amortissement 

0.30- 

0.10 

0.00 I 

1E+02 1E+03 1E+04 

w

137 

Fig. V.4.2 (a) 

module de Young 

complexe identifie 

Timoshenko: 

iteration pour 

E* et G* 

Euler: 

iteration pour E* 

données génere'es 

en prennant: 

r/a1.04, r/a2.08 

E*.224E10(1+.1J) 

M/m2 

E*/G*40 

u 

2OOE+E$3 

i ,soE0q- 

Module de Young 

3. DØE+oq- 

ab 

2 5E .0- 

1,00E+0 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. V.4.2 (b) 


0.20 

ab 

w 

0.30- 

0.10- 

0.00 

1E+02 

1E+03 

w 

1E+04

138 

Fig. V.4.2 (c) 

Module de Coulomb 

module de Coulomb 

complexe idertifie' 

1E+02 1E+03 IE+04 

tAJ 

Fig. V.4.2 (d) 


0.30- 

0.20- 

0.10 

0.00 I 

1E+02 1E+03 1E+04 

w

139 

Fig. V.4.3 (a) 

ModuLe de Young 


complexe identifié 

valeur exacte 

valeur obtenue 

avec Le cadre des 

approximations de 

T i moshenko 

vaLeur obtenue 

avec le cadre des 

approx i mat ions 

d'EuLer 

u 

5. OE+0- 

4. OE+O - 

3.OE+O- 

/ 

r 

/ 

r 

r 

- 

C 

ab 

donne'es génere'es 

en prennant: 

E*(Zener) 

Eo.224E10 N/m2 

a.004 ; b.002 

2. OE+0 

1E+02 1E+03 IE+04 

w 

G* (Zerier) 

Go.448E0q N/m2 

a=.00, ; b.003 

r/a1.04 

r/a2.08 

a1.05 m. 

a2.025 m. 

masse densit4 

.5E4 Kg/m3 

4 

0.50 

0.40 

0.30 


C 

ab 

0.20 

0.10 

0.00 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. V.4.3 (b)

140 

Fig. V.4.3 (c) 



complexe identifie' 

valeur exacte 

résuLtat 

d' iteration 

S.OE+08- 

8.OE+08 

i7.OE+08 

ab 

(J 

4. OE+08 

IE+02 

IE+03 

w 

1E+04 

Fig. V.4.3 (d) 


ab 

0.40- 

w 

0.30 

b. OE+08- 

5.OE+08- 

0.50- 

0.20- 

0.10- 

0.00 

1E+02 1E+03 

w 

IE+04

Fig. V.4.4 (a) 




valeur exacte 

vaLeur obtenue 

avec Le cadre des 

approximations de 

T imoshenko 

valeur obtenue 

avec le cadre des 


d'Euler 

donrt4es gènere'es 

en prennant: 

E*(Zener) 

Eo.224E10 M/m2 

a.004 ; b.002 

u 

5.0E+0- 

4.OE+0 

2.OE1-0 

1E+02 

/ 

/ 

J 

/ 

1E+03 IE+04 

w 

C 

ab 

G*(Zener) 

Go=.5ÇE8 M/m2 

a.00 b.003 

r/a1.04 

r/a2. 08 

a1.05 m. 

a2.025 m. 


.5E4 Kg/m3 


0.50- C 

b 

0.40- 

-a 

0.30 

\ 

ç:- 

\ 

0.20 

\ 

\ 

0.10 

i" 

0.00 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. V.4.4 (b)

142 

Fig. V.4.4 (c) 



compLexe ¡dentifi4 

valeur exacte 

résuLtat 

d' iteration 

ab 

U, 

ao.co. Q- 

Q 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. V.4.4 Cd) 


b 

a 

L:. 

0.30 

0.50- 

0.40- 

0.20- 

010 

0.00 I 

1E+02 IE+03 1E+04 

w

143 

V.5 LISSAGE DES COURBES PAR DES MODELES VISCOELASTIQUES 

CLASSIQUES 

On peut faire le lissage des modules complexes 

obtenus par les méthodes décrites aux paragraphes V.3 et V.4 

en utilisant la méthode des moindres carrés. 

s ' écrivent: 

Les modèles classiques des modules complexes 

n 

E a(jw)' 

i=o 

= (V.5.1) 

n 

1 + E b1(jw) 

1=1 

Afin de rapprocher les valeurs calculées à l'aide du 

modèle analytique (w), des valeurs itérées E(w), obtenues 

pour m pulsations wk, on définit le critère de minimisation: 

soit: 

m 

= E (wk)e(wk) (V.5.2) 

k= i 

n 

= E(wk) [1 + E b1(jw)3-] - E 

1=1 i=O 

n 

(V.5.3) 

fonction 

On recherche les valeurs de a 

q' 

et b1 qui minimise la

144 

d'où =0 (V.5.4 a) 

et =0 

ab1 

(V.5.4 b) 

L'expression (V.5.4 a) nous donne: 

in n i ci C C' 

- E E b1 [ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk) 

k=1 1=1 

in n p i cP 

+ E E ap [ (jwk) (jwk) + (i'k) (jwk) J 

k=1 p=0 

nl c C 

= E [ E(wk) (iwk) + E(wk) (jwk) 

k= 1 

(V.5.5 a) 

L'expression (V.5.4 b) nous donne: 

ni n 1 1 

- E E a 

[ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk) 

k=1 i=0 

ni n. q 1 1 cq 

+ E E bq [ E(wk)E(wk) (iwk) (jwk) + E(k)E(k) (i'k) (îwk) 

k=1 q=] 

in C C' C 

= - E [ E(w)E(w)(jw) + E(w)E(w)(jw) 

k=1 

(V.5.5 b)

145 

On pose: 

x=... = 

1. b 

matricielle: 

On peut mettre les expressions (V.5.5) sous la forme 

Lr 

Caa 

cab 

] 

J = (V.5.6) 

Cba cbb b1J bJ 

avec: 

m p c- cP 

Caa = E [ (jwk) (jwk) + (jwk) (iwk) 

k= 1 

(p=O,.. 

,n; i=O,.. ,n) 

m 1 i i 

cab = - E [ E(wk) (i'k) (jwk) + E(wk) (i''k) (jwk) i 

k= 1 

(i=O,.. ,n; 1=1,.. ,n) 

Cba = - 

m c- c c-- 

E { E(w)(jw) (jwk) + E(w)(jw) (i'k) 

k= 1 

(1=1,.. ,n; i=O,.. ,n) 

c q c1 cq 1 

Cbb = - E E(wk)E(wk) [ (jwk) (i'k) + (jw) (jwk) J 

k=l 

(q=1,.. ,n; 1=1,.. 

,n)

146 

et 

in ci C 

= E [ E(w)(jw) + E(w)(jw) 

k=1 

(i=0,.. ,n) 

in C l 1 

Sb = E E(wk)E(wk) I (jwj) + (jwk) ) 

(1=1,.. ,n) 

k= i 

En résolvant (V.5.6), on peut obtenir a1 et b1 

Exemple: Modèle de Zener 

le module complexe s'écrit: 

E(w) = 

a0 + a1(jw) 

i 

+ b1(jw) 

(V.5.7) 

L'expression (V.5.6) devient: 

c11 c12 . 

C13 - aol I 

s1 

c21 c22 . C23 

I ail I 2 

.. . = 

c31 c31 . 

c33 - b1J I s3 

(V.5.8) 

avec: 

cil = 2 

In 

C12 = C21 = 2j E [Re(ok)] 

k=i 

c22 = -2E[(Re(wk))2 + {Im(cok))2]

147 

In 

C13 = C31 = -2j E [Re(E)Re(wk) + Lfl(E)Im(wk)) 

k=1 

C23 

In 

= C32 = 2 E Re(E)[(Re(wk))2 + {IIn(wk))2) 

k= i 

C33 

In 

= -2 E [{Re(E))2 + (IIn(wk)}2] [{Re(wk))2 + {IIn(wk))2) 

k=1 

s1 

In 

= 2 E [Re(E)] 

k= i 

s2 

m 

= 2j E [Re(E)Re(wk) - IIn(E)IIn(wk)] 

k=1 

S3 

In 

= 2j E Re(wk) [{Re(E)}2 + (Lu(E))2] 

k= 1

148 

VI. ASPECT EXPERIMENTAL 

VI.1 METHODE EXPERIMENTALE 

On utilise un appareil pour mesurer l'impédance 

d'une poutre libre-libre coiame le décrit la fig. V.1.]. 

( 

LI-3 

U 

4 

i 

5 

¿prouvetti 

6 6 7 

8 

Fig. VI.1.1

149 

Dispositif: 

générateur et amplificateur de puissance 

excitateur 

3. capteur de force piézo-électrique 

capteur d'accélération piézo-électrique 

pré-amplificateur 

filtres suiveurs 

diviseur phasemètre 

ordinateur 

Les erreurs de mesure de l'impédance peuvent provenir 

des erreurs géométriques (pour détérminer le centre de 

la poutre), des erreurs de l'impédance du capteur et des 

erreurs de mesure provoquées par le bruit de la chame de 

mesure. 

Pour minimiser les erreurs de mesure provoquées par 

la masse du capteur, on utilise la méthode décrite dans les 

paragraphes suivants. 

VI.1.2. INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE PROVOQUEES PAR LA 

MASSE DU CAPTEUR 

Fig. VI.l.2

150 

F = force d'excitation 

M = masse ajouté totale 

-y = accélération au centre de la poutre 

Z = impédance de la poutre 

La force excercée sur la poutre s'écrit: 

F = M-y + Z-y 

(VI.l.1) 

= ZexpY 

d'où Zexp est la valeur de l'impédance mesurée expérimentalement. 

i ' impédance 

Donc, on peut déduire que la valeur execte de 

Z = Zexp - M (VI. 1.2) 

On fait les deux hypothèses suivantes: 

L'accélération reélle 

valeur d'accélération mesurée 

y, est proportionnelle à la 

et on peut écrire 

-y = a(w)-ym (VI.l.3) - 

De même, la force effective 

Fef f, est propotionnelle 

à la force mesurée 

Fm: 

Feff = ß(w)Fm (VI. 1. 4)

151 

Par définition, l'impédance 

F 

z=-- 

7 

(VI. 1.5) 

Si l'on corrige les erreurs causées par la masse des 

capteurs, on peut écrire: 

Z - 

Fef f - 

-I 

(VI.1.6) 

En utilisant les deux hypothèses citées 

précédemment, on peut écrire 

Z= 

ßFm - Ma-Im 

cr-Im 

(ß/cr)Fm - Mym 

Finalement, l'expression de l'impédance est 

Z - 

(ß/a) - M(m/Fm) 

(m/'m) 

(VI.l.7) 

Maintenant, si l'on mesure la valeur de l'impédance 

sans poutre, la valeur de l'impédance Z doit être égale 

zéro. En rapportant le résultat dans l'expression (VI.l.7), 

on déduit que 

à 

ß/a = M(7m/Fm) capteur 

(VI.l.8)

152 

Ainsi, on peut obtenir la valeur corrigée de l'impédance 

en rapportant le rapport ß/cr dans l'équation (VI.]..7). 

z - 

M(im/Fm)capteur - M(ym/Fm) 

(Yt/ Fm) 

(VI.l.9) 

VI.l.2 INFLUENCE DES ERREURS GEOMETRIQUES 

Ces erreurs viennent de l'incertitude de la détermination 

du centre de la poutre où la force a été excercée. 

a 

'r 

o 

Fig. VI.l.3 

La fig. VI.l.2 décrit une poutre libre-libre, de 

masse Mb, excitée par une force sinusoïde à la distance j.a 

d'une extrémité de la poutre, d'où le paramètre j est 

définit par 

(1 - a) 

a 

(VI. 1.10)

153 

supposons que la précision de la détermination de la 

longeur 1 de la poutre est de l'ordre i0 ni., si la 

longeur de la poutre est égale à 0.2 in. et l'erreur fl-max 

l0 ni., on peut déterminer la valeur maximum du paramètre ji 

par l'expression (VI.l.l0) 

umax = ((1 - 

1/2 - 1max 

1/2 + Almax 

= 0.9802 

La valeur maximale supposée a été utilisée pour 

examiner l'effet sur l'impédance et sur le module de Young 

complexe d'une poutre de Timoshenko (en utilisant la formule 

(11.2.66)). 

Les fig. VI.l.4 à VI.1.l5 on peut comparer 

l'impédance de la poutre chargée au centre (ji = 1) et 

l'impédance de la poutre avec la charge décentrée (ji < 1) 

dans le cas du modèle d'amortissement hystérétique avec = 

= 0.01 et 0.1 et dans le cas du modèle d'amortissement de 

type Zener. Quand la charge est décentrée, on remarque que 

la fréquence de résonance et d'antirésonance sont décalées 

vers la haute fréquence. 

Pour la poutre dont la charge est décentrée, on 

remarque la présence de quelque pics intermédiaires (très 

faibles) à haute fréquence, notament lorsque l'amortissement 

est faible. On peut alors les prendre en compte pour 

effectuer le controle de la qualité de l'essai.

154 

A l'aide des fig. VI.l.16 on peut comparer le module 

de Young complexe obtenu avec la charge au centre ou avec la 

charge décentrée. On trouve que les valeur obtenues sont 

très différentes à proximité des pics supplimentaires.

155 

Fig. VI.1.4 

Impédance daune 


I.L1 

1=.8 

E*.224E10(1+.01i) 

M/m2 

*=.7o5Eoq(1+.01J) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a.10 m. 

Fig. VI.1.5 


poufte de Timoshenko: 

1. 

E*.224E10(1+.1 i) 

M/m2 

G*.705E0c3(1+. li) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a.10 m.

156 

Fig. VI.1.b 



1 

i'=.% 

E*.224E10(1+.O1J) 

M/m2 

G*=,705EOq(1+.O1J) 

M/m2 

masse dens it 

.5E4 Kg/m3 

r'a. 04 

a.05 m. 

£3 

1E+01 - 

Q) 

- lE-01 - 

o 

N IE+00- 

lE-02- 

Fig. VI.1.7 

Imp4dance d'une 


i.t1 

i.&=.% 

E*.224E10(1+.1i) 

M/m2 

G*=.7o5Eoq(1+. li) 

M/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m. 

ci 

1E+01 - 

o 

N 1E+00 

Q) 

- lE-01 - 

lE-02 -

3.57 

Fig. VI.1.8 



.t1 

E*.224E10(1+.O1J) 

M/m2 

G*.5(00E08t1+.01 j 

M/m2 

masse dens it 

.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

a.10 m. 

1E+01 - 

E 

o 

M 1E+00 

a) 

1E01 - 

i E-02 - 

Fig. VI.1. 

.t1 

E*.224E10(1+.1J) 

N/m2 

G*.50E08(1+. li) 

M/m2 

masse dens it 

.5E4 Kg/rn3 

r/a=. 02 

a.10 m. 

-o 

1E+0l - 

o 

M 1E+00 

Q) 

lE-01 - 

Imp4dance d'une 


lE-02-

158 

Fig. VI1.10 



i.&=.% 

E*.224E10(1+.01j) 

N/m2 

G*.%0E08(1+.01j) 

N/m2 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a.05 m. 

Fig. VI.1.11 

111 

L.% 

E*.224E10(1+.1J) 

M/m2 

G*.5OEO8(1+. li) 

M/m2 

masse dens it 

.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

a05 m. 

1E+01 - 

-o 

o 

NJ 1E+00 

w 

- lE-01 

Impdarice d'une 


lE-02-

159 

Fig. VI.1.12 



I.L1 

1.=.q8 

avec: 

modèle de Zener 

Eo.224E10 N/m2 

a.002 

b.001 

Go.705E0q M/m2 

a.001, 

b. 0008 

masse dens it 

=.5E4 Kg/m3 

r/a. 02 

l/2.10 m. 

Fig. VI.1.13 

Impédance d1une 


A1 

i.t.% 

avec: 


Eo.224E10 N/m2 

a.002 

b.001 

Go.7O5EOq N/m2 

a.001 

b.0008 


.5E4 Kg/m2 

r/a. 04 

l/2.05 m.

160 

Fig. VI.1.14 



i1 

1i.q8 

avec: 


Eo=.224E10 M/m2 

a.002 

b.001 

Go.5b0E08 N/m2 

a.001b 

b. 0008 


5E4 Kg/m3 

r/a 02 

l/2.10 m. 



1E+02- 

1E+01 - 

E 

o 

NJ 1E+00 

Q) 

- lE-01 - 

1 E-02 - 

IMPEDANCE 

lE-03 

I I I I I 

0 2 4 b 8 10 12 

na 

ab 

Fig. VI.1.15 

IMPEDANCE 

(b) 

-t1 

I.A.% 

avec: 

modèLe de Zener 

Eo.224E10 M/m2 

a.002 

b.001 

Go.5b0E08 M/m2 

a.00lb 

b. 0008 


.5E4 Kg/m3 

r/a. 04 

L/2=.05 m. 

o 

NJ 1E+00 

Q) 

-D 

1 E+02 - 

ab 

1E+01 - 

- 

= 

- lE-01 - 

1 E-02 - 

lE-03 

I I I I t I 

0 2 4 b 

na 

8 10 12

161 

Fig. VI1.lb (a) 




en négligeant les 

effets secondaires 

données gênerées 

en prennant: 

.t1 

i.q8 

ab 

E*.224E10(1+.O1J) 

r/a.02 

a10 m. 


.5E4 Kg/m3 

0 

I 

2 

I 

4 

na 

I 

b 

I 

8 

I 

10 

Fig. VI.1.lb (b) 

Coeff Ic lent d 'amort issement 

0. 100 - 

ab 

3. OOE+09- 

0.080- 

0.ObO- 

0.040- 

0.020- 

0.000 

0 

I 

2 

I 

I 

4 b 8 

na 

I 

10

162 

VI.2 INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE 

On voit bien dans les deux paragraphes précédents 

que l'on peut corriger les erreurs dues à la masse du 

capteur tandis que les erreurs géométriques induisent des 

écarts au voisinage des pics interitédiaires et quand 

l'amortissement est faible. Il reste à étudier l'influence 

des erreurs causées par le bruit de la chame de mesure. 

Dans ce but, on a simulé le bruit de la chame de 

mesure par un bruit blanc à 2% (valeur moyenne carrée) de 

l'impédance gênerée en utilisant le modèle d'amortissement 

hystérétique avec le coefficient d'amortissement égale à 

0.2 et en changeant le rapport E*/G* et r/a. 

Avec le développement limité au 6eme ordre, la zone 

de validité fréquentielle se limite au voisinage de la 

première fréquence de résonance. Si l'on compare les fig. 

VI.2.2 et VI.2.3, on constate que le module de Young itéré 

des premières figures est meilleur que celui des dérnières 

parce que son impédance approchée est plus proche de 

l'impédance exacte. Par contre, le module de Coulomb est 

beaucoup plus sensible au bruit. 

Si l'on compare les fig. VI.2.1 et VI.2.3, on trouve 

que la zone de résonance dont la zone de validité 

fréquentielle se décale avec des longueurs de poutre 

différentes. 

De ces essais on peut conclure que la qualité des 

résultats et la zone de validité fréquentielle dépendent de

163 

la qualité de l'impédance, 

l'élancement de la.poutre. 

des effets secondaires et de 

Néanmoins dans le cadre d'un essai réel, 

l'identification du module de Coulomb devrait être de 

meilleur qualité car la simulation des erreurs de mesure par 

un bruit blanc introduit un caractère aléatoire lors de la 

simulation numerique extrèmeinent pénalisant. Ainsi un erreur 

de calibration de 4% d'un des capteurs de force ou 

d'accélération et une erreur de 4% sur la phase 

n'introduisent qu'un écart relativement faible sur les 

modules identifiés comme le montre les Fig. VI.2.4.

164 

Fis. VI.2.1 

(a) 



complexe ientifi 

4.OE+0c3_ 

avec: 

2Z de bruit 

E*(exacte) 

.224E10(1+.2j) 

N/m2 

G*(exacte) 

=.112EOq(1+.2i) 

F'1/m2 

r/a1.04, a1.05 ni. 

r/a2.0, a2.033m. 


.5E4 Kg/m3 

3.OE+OS- 

w 2.OE+O- 

1.OE+O 

i i i 

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 

w 

Fig. VI.2.1 (b) 

Coefficient d'amortizsement 

0.50- 

0.40- 

0.30- 

0.20- 

0.10 

0.00 

i i i i 

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 

w

165 

Fig. VI.2.1 (c) 


moduLe de CouLomb 

compLexe identifié 

1.OE+08 

I I I 

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 

w 

Fig. VI.2.1 (d) 


4.OE+0ô- 

3.OE+08- 

2.OE+0- 

0.bO- 

0.50- 

J 

0.40 

É 0.30- 

0.20- 

0.10 

0.00 - 

I 

I' 

t 

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 

- w 

'I

166 

Fig. VI.2.1 (e) 


impedance exacte 

(avec 2Z de bruit) et 

¡mpdance approche'e: 

E*.224E10(1+.2J) 

M/m2 

E*/G*20 

valeur exacte 

valeur approchée

167 

Fig. VI.2.2 (a) 



avec: 

2'4 de bruit 

E*(exacte) 

.224E10(1+.2j) 

M/m2 

G*(exacte) 

.448E0(1+.2j) 

N/m2 

r/a1.08, a1.025m. 

r/a2.10, a2.020m. 


.5E4 Kg/m3 

1.OE+O9 

i i i 

b,000 8,000 12,000 lb,000 

w 

Fig. VI.2.2 (b) 


0. 0 

0.50 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.00 

b,000 8,000 12,000 1b000 

w

Fig. VI.2.2 (c) 




7.OE+08- 

b.OE+08- 

I 

3.OE+08 

t' 

J 

I 

I 

2.OE+Oô 

i i i 

b,000 8,000 12,000 lb,000 

w 

Fig. VI.2.2 (d) 


0. bO 

0.50 

0.40 

1. 

0.20 

J. 

0.10 

0.00 

b,000 8,000 12,000 

w 

lb , 000

169 

Fig. VI.22 (e) 


impedance exacte 

(avec 2Z de bruit) et 

impe'dance approche'e: 

E*.224E10(1+.2i) 

M/m2 

E*/G*5 

vaLeur exacte 

vaLeur approche'e

170 

Fig. VI.2.3 (a) 




Lii 2.0E+0- 

4.OE+O- 

avec: 

2Z de bruit 

E*(exacte) 

.224E10(1+.2i) 

N/m2 

G*(exacte) 

.112Eoq(1+.2i) 

N/m2 

r/a1.08, a1.025m. 

r/a2.10, a2.02 in. 


.5E4 Kg/m3 

3.OE+O 

1.OE+0 

I I i I 

b,000 8,000 10000 12,000 

w 

Fig. VI2.3 (b) 

0. bO 

Coefficient damortissement 

0.50 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.00 

b,000 8,000 10,000 12,000 

w

Fig. VI.2.3 (c) 

ModuLe de Coulomb 



'. OE+0ô 

3.OE+08 

2.OE+08 

1.OE+08 

b,000 8,000 10,000 12,000 

w 

Fig. VI.2.3 (d) 


0.50- 

0.40 

o 0.30 

0.20 

0.10 

f 

0.00 

I I I 

b,000 8,000 10,000 12,000 

w

172 

Fig. VI.2.3 (e) 


¡mpdance exacte 

(avec 2Y de bruit) et 

impédance approchée: 

E*.224E10(1+.2J) 

N/m2 

E*/G*20 

valeur exacte 

valeur approchée

173 

Fig. VI.2.4 (a) 



(a) sans erreur 

de mesure 

de L' impédance 


ab 

(b) avec 44 des 

erreurs de 

cal ibrat ion 

E*(exacte) 

.224E10(1+.2i) 

M/m2 

G*(exacte) 

=.112EOq(1+.2J) 

N/m2 

r/a1.041 a1.05 m. 

r/a2.0, a2.033m. 

masse dens ite 

.5E4 Kg/m3 

0.10- 

4.0E+Ow 

1.OE+0 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. VI.2.4 (b) 


0.50- 

a 

0.20 

0.bO- 

0.40- 

0.30- 

0.00 I I 

1E+02 1E+03 IE+04 

w

Fig. VI.2.4 (c) 




3.OE+O 

0.30- 

4.OE+Oô- 

ab 

2.OE+Oôu, 

1.OE+O8- 

1E+02 1E+03 1E+04 

w 

Fig. VI.2,4 (d) 

Coefficient damortissement 

o 

0.40 

0.20- 

0.50- 

ab 

0.10 

0.00 

I 

1E+02 1E+03 1E+04 

w

175 

VII. EXEMPLE DE VALIDATION 

VII.2. POUTRE HOMOGENE 

On utilise une poutre en P.V.C. de dimensions 

suivantes: 

F 

Fig. VII.l.1 

masse densité = 1306.1 kg/in3 

épaiseur = 3.12 Innì. 

longueur = 182 min. 

largueur = 30 min.

176 

La poutre a été excitée en son centre et le module 

ainsi que la phase de l'impédance ont été mesurés par la 

méthode décrite en chapitre VI. Les résultats expériméntaux 

sont présentés dans les fig. VII.l.2 à VII.l.4. 

En négligeant les effets secondaires, on identif je 

le module de Young complexe par la méthode décrite au 

paragraphe V.3. Le résultat est présenté dans les fig. 

VII.l.5. 

Pour étudier l'influence du module de Coulomb, on 

réalise une itération du module de Young complexe avec la 

formule utilisée pour la poutre de Timoshenko en prennant le 

rapport de E*/G* constant égale à 3. On ne trouve pas 

beaucoup de changement dans le résultat tel qu'il est décrit 

dans les fig. VII.1.6 (l'écart important à haute fréquence 

est du à l'emploi du polynôme du 9eme ordre en (n*a)4 dans 

le cadre d'Euler et à du polynôme de 6ème ordre dans le 

cadre de Timoshenko). 

Les fig. VII.1.7 (les courbes (c)) mentrent les 

résulats obtenus en lissant les modules complexes identifiés 

à l'aide du modèle classique défini en équation (V.5.1) 

soit: 

* 

E (w) = 

3 

E aj(jw)' 

i=O 

3 

1 + E b1(jw)- 

1=1

177 

A l'aide de la procédure décrite en équation 

(V.5.6), on obtient: 

a0 = 0.1631E10 

a1 = 0.7840E6 

a2 = 0.4665E2 

a3 = 0.1130E-1 

b1 = 0.3442E-3 

b2 = 0.2517E-7 

b3 = 0.4776E-11 

Les fig. VII.1.7 (les courbes (b))montrent les 

résultats obtenus avec un lissage à l'aide d'un modèle de 

derivées fractionnaires du module de Young défini par: 

= 

1 

E a(jw)a 

i=0 

1 + b1(jw)ß 

On obtient: 

a = ß = 0.5 

a0 = 0.1361El0 

a1 = 0.3567E8 

b1 = 0.1193E-1

179 

Fig. VI!.1.4 

poutre P.V.C.

180 

Fig. VII.1.5 (a) 



compLexe identifie' 

E*=E(1+itiE) 

3. OOE+E$3 

2. 50E+E$3- 

2.00E+0- 

Li 

I I I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f (hz) 

Fig. VII.1.5 (b) 


0.20 

i ,5+0- 

0.50- 

0.40- 

0.30- 

0.10- 

0.00 

I I I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f(hz)

181 

Fig. VII.1. 

(a) 



cadre cfes 


d'EuLer 


ab 

2. 5OE+Dc3 

cadre des 


de Timoshenko 

(en prennant 

E*/G*3) 

E 

u 

3. E3E+$3- 

1.50Eeq- 

1,DOE*O 

I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f (hz) 

I 

Fig. VII.1. 

(b) 


ab 

0.40- 

0.50- 

0.30- 

0.20- 

0.10- 

0.00 

I I I I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f (hz)

182 

Fis. VII.1.7 (a) 



E*E(1+Jflz) 

lissage avec 

modLe de drives 

fractionnaires 4 

param tres 

lissage avec 

modèLe cLassique 

7 paramètres 

w 

0.10- 

3,OOE4E$3- 

2 5OE+I- 

2OOE+E 

SOE+oq - 

Module de Yourg 

c 

ab 

1.00EO 

I I I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f (hz) 

Fig. VII.1.7 (b) 

Coefficient d'amorti5sement 

0.50- c 

ab 

0.40- 

k, 

0.30 

0.20- 

0.00 

I I I I 

0 500 1,000 1,500 2,000 

f (hz)

183 

CONCLUS ION 

Le but de cette thèse est de développer une méthode 

d'identification des caractéristiques dynamiques des 

matériaux. A priori, celle-ci doit s'appuyer sur des essais 

expérimentaux simples tout en couvrant un domaine 

fréquentiel assez large. - 

La démarche utilisée est une méthode non-modale, 

basée sur des essais en vibration forcée. Elle permet la 

détermination des modules de Young et de Coulomb complexes 

des matériaux en fonction de la fréquence. 

A l'aide d'une poutre homogène ou symétriquement 

stratifiée libre-libre sollicitée en flexion, on mesure les 

valeurs de l'impédance. En reportant ces valeurs dans le 

développement limité de l'expression analytique de 

l'impédance, on identifie les modules complexes par la 

méthode itérative de Newton. 

Dans le cadre des approximations d'Euler-Bernouilli, 

avec un développement limité jusqu'au 9eme ordre, les 

courbes obtenues peuvent couvrir un domaine fréquentiel 

assez large, englobant plusieurs fréquences de résonance. 

Dans le cadre des approximations de Timoshenko, 

résultat obtenu est meilleur que celui obtenu dans le cadre 

des approximations d'Euler, mais le domaine de validité 

fréquentiel dépend plus sensiblement de la qualité du 

développement limité de l'impédance et du rapport des 

modules de Young et de Coulomb. En outre, le coefficient de 

le

184 

cisaillement doit être pris en compte dans l'analyse. 

Dans le cadre de la procédure expérimentale, les 

erreurs provenant de 1' impédance du capteur ont pu être 

éliminées. 

Une fois les modules complexes identifiés à l'aide 

de la méthode proposée, on peut procéder à un lissage par 

moindres carrés pour identifier un modèle d'amortissement 

approprié.

185 

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195 

TABLE DES MATIERES 

Résumé 5 

Abstract 6 

Introduction 7 

Viscoélasticité 11 

1.1 Aspect phenoiuénologique 11 

1.2 Théorie de la viscoélasticité linéaire 14 

1.2.1 Opérateurs intégraux 14 

1.2.2 Opérateurs différentiels 16 

1.2.3 Modules complexes 18 

1.2.4 Modules de dérivées fractionnaires 19 

1.3 Intégration des modèles 

au niveau structural 20 

1.3.1 Structures avec amortissement 

hystérétique 20 

1.3.2 Structures avec amortissement 

visqueux 23 

1.3.3 Structures avec modèles de 

dérivées fractionnaires 27 

Théorie des poutres 31 

11.1 La modélisation des poutres homogènes 

en flexion 31 

11.2 Impédance au point courant 

d'une poutre libre-libre 36 

11.2.1 Impédance de la poutre 

d 'Euler-Bernouilli 37

196 

11.2.2 Impédance de la poutre 

de Timoshenko 45 

III. Marériaux composites 61 

111.1 La niodèlisation de Timoshenko des poutres 

composites multicouches (stratifiées) 61 

111.2 Amortissement des poutres stratifiées 70 

111.3 Coefficient de cisaillement 80 

IV. Identification des caractéristiques 

des matériaux à partir d'essais 87 

IV.l Mesure directe 88 

IV.2 Identification module 91 

IV.3 Problème liés aux poles multiples 95 

IV.4 Méthode d'identification des plaques 

dans le cas anisotrope 99 

V. Identification non-modale 103 

V.1 Présentation générale de la méthode 103 

V.2 Développement asymptotique des impédances 104 

V.2.1 Développement asymptotique 

de l'impédance au point courant 

d'une poutre d'Euler-Bernouilli 104 

V.2.2 Développement asymptotique 

de l'impédance au point courant 

d'une poutre de Timoshenko 112 

V.3 Obtention du module de Young complexe dans 

le cas d'une poutre d'Euler-Bernouilli 128 

V.4 Obtention des modules de Young et de Coulomb 

complexes dans le cas d'une poutre 

de Timoshenko 131 

V.5 Lissage des courbes par 

des modèles viscoélastiques classiques 143

197 

VI. Aspect expérimental 148 

VI.1 Méthode expérimentale 148 

V.1.1 Influence des erreurs de mesure 

provoquées par la masse du capteur 149 

V.1.2 Influence des erreurs géométriques 152 

VI.2 Influence des erreurs de mesure 162 

VII. Exemple de validation 

VII.l Poutre homogène 

175 

175 

Conclusion 183 

Blibiographie ... 185

dernière page de la thèse 

AUTORISATION DE SOUTENANCE 

Vu les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984, modifié par l'arrêté du 21 mars 1988, 

Vu 

la demande du Directeur de Thèse 

M. L. JEZEQUEL - Professeur - E.C.L. 

et les rapports de 

M. VAUTRIN - Professeur - Ecole Supérieure Des Mines 

Samt-Etienne 

M. F. SIDOROFF - Professeur - E.C.L. 

Monsieur CHAIYAPORN Somsak 

est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR INGENIEUR 

Spécialité 

MECANIQUE 

Fait à Ecully, le 6 janvier 1989 

Le Directeur de l'E.C.L. 

J. BORDET

Identification des modules équivalents d'une poutre composite à ...

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