Fiche de travaux pratiques - ENS de Cachan - Antenne de Bretagne

Journées de formation
«Mathématiques et informatique
pour les Sciences de la Vie et de la Terre »
modèles déterministes et stochastiques
Fiche de travaux pratiques
les 29 et 30 septembre 2010
But du TP
L’objectif de la séance de travaux pratiques est double. Il s’agit tout d’abord de manipuler
des modèles mathématiques dans le domaine de la biologie et d’en évaluer les limites. Par
Présentation ailleurs, divers outils sont présentés pour l’utilisation de ces modèles, on pourra en apprécier la
pertinence selon le but poursuivi. Les interfaces web offrent une grande simplicité d’utilisation,
Deux journées de formation spécifiquement conçues pour les Inspecteurs de mathématiques de l’Éducation
mais l’emploi d’un logiciel de calcul scientifique permet de modifier, enrichir le modèle ou la
nationale sont organisées par l’antenne de Bretagne de l’École normale supérieure de Cachan, sur le
méthode numérique.
thème :
« Mathématiques et informatique pour les sciences de la vie et de la Terre »
modèles déterministes et stochastiques
Environnement informatique
La séance a lieu dans la salle libre-service linux ; des comptes « invités » ont été créés :
Descriptif de la formation
login :
mot de passe :
Cette formation se déroule pour la cinquième année consécutive sur le campus de Ker Lann. En 2006,
elle était organisée par le département Informatique et télécommunications de l’ENS Cachan - Bretagne
1 Un modèle déterministe en épidémiologie
(organisateur : Luc Bougé) et portait sur la théorie de l’information et les communications. En 2007,
le département Mathématiques de l’ENS Cachan Bretagne et l’ENSAI (organisateurs : François Coquet,
ENSAI et Michel Pierre, ENS Cachan - Bretagne) se sont associés pour proposer la formation sur le
Le modèle SIR (SIMG)
thème « Statistiques et applications multi-disciplinaires ». En 2008, deux journées centrées autour
de la « On modélisation note S(t), numérique I(t), M(t), G(t) de phénomènes les populations physiques d’individus » ont sains, été infectieux, organisées morts par et le guéris, département
Mathématiques à l’instant (organisateurs t. Les paramètres : Virginie du modèle Bonnaillie-Noël sont le taux et Grégory de contagion Vial). r, L’an le taux dernier, mortalité les départements a
d’informatique et le taux et de guérison mathématique b. ont mis en place conjointement la formation «Algorithmique : une
approche raisonnée » (organisateurs ⎧ : Luc Bougé et Grégory Vial).
S ′ (t) = −rS(t)I(t)
⎪⎨
Cette année, la formation s’articule autour I ′ (t) de = l’utilisation rS(t)I(t) de − modèles (a + b)I(t) mathématiques dans les sciences
de la vie et de la Terre. Deux cours M ′ d’introduction (t) = aI(t) sont prévus, portant sur les aspects déterministes
et probabilistes de la modélisation ⎪⎩ en biologie. Une séance de travaux pratiques permettra d’illustrer
G
l’utilisation de l’outil informatique dans ′ (t) = bI(t)
ce contexte. Enfin, plusieurs exposés traitant de sujets de
recherche actuelle permettront d’aborder différents domaines d’application (dynamique des populations,
épidémilogie, 1.1 Utilisation modélisation d’une des glaciers, Applet Java génomique) tout en développant une large palette d’outils
mathématiques (équations aux dérivées partielles, processus stochastiques, méthodes statistiques,
algorithmes
Une
bio-informatiques).
interface Web est disponible à l’adresse suivante pour la résolution du modèle SIR :
http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/SIR/
Elle a été utilisée dans le cadre d’une animation “À la découverte de la science” en classe de
Terminale, par J. Charrier et G. Vial. Les questions suivantes étaient posées aux élèves pour
les faire utiliser la simulation.

Question 1. Observer les courbes obtenues dans les cas : “sans épidémie” et “avec épidémie”.
Question 2. On se place dans le cas “avec épidémie”.
– Combien de personnes sont mortes de la maladie au bout de 25 jours
– Combien n’ont jamais été malades
– Est-ce que la maladie s’est éteinte au bout de 10 jours 25 jours
Question 3.
On se place dans le cas “avec épidémie”. Faire varier T max progressivement jusqu’à la valeur T max =
1000. Observations Suggestions
Question 4. On se place dans le cas “sans épidémie”. Pour quelle(s) valeur(s) de r a-t-on épidémie
Question 5. On se place dans le cas “sans épidémie”. Pour quelle(s) valeur(s) de a a-t-on épidémie
Question 6. On se place dans le cas “sans épidémie”. Pour quelle(s) valeur(s) de b a-t-on épidémie
Observer le nombre de morts au bout de 25 jours quand on augmente la valeur de b.
1.2 Pour aller plus loin : utilisation de Scilab
Télécharger le script
http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/SIR.sce
L’exécuter dans Scilab, les courbes obtenues correspondent à celles déjà visualisées dans
l’Applet Java. Il est possible de modifier les paramètres, comme plus haut, en éditant le
fichier SIR.sce.

On peut aussi facilement modifier l’équation différentielle à résoudre. Par exemple, le modèle
suivant prend en compte (assez naïvement) l’introduction d’un vaccin à l’instant τ (le taux
de vaccination est noté c) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
S ′ (t) = −rS(t)I(t) − cS(t)I t≥τ
I ′ (t) = rS(t)I(t) − (a + b)I(t)
M ′ (t) = aI(t)
G ′ (t) = bI(t) + cS(t)I t≥τ
Modifier le fichier SIR.sce pour simuler ce modèle.
2 Un modèle aléatoire en génétique
Le modèle de Wright-Fisher
On considère une population haploïde où un gène est présent sous deux allèles seulement :
A et B. Chaque individu possède un seul exemplaire du gène, sous la forme A ou B. Si X n
désigne le nombre d’allèles A dans la population au temps n, un modèle simple pour décrire
l’évolution de la répartition des allèles au cours des générations s’écrit
( N
P(X n+1 = j | X n = i) =
j
)( i
) j (
1 − i ) N−j
N N
La donnée de la taille N de la population, et du nombre initial X 0 d’allèles A déterminent
complètement le modèle.
2.1 Utilisation de Javascript-Canvas
Une petite interface Web est disponible à l’adresse
http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/WrightFisher
Elle permet de simuler la variable aléatoire X n , et donc de visualiser la répartition des allèles
A et B dans les populations successives.
2.2 Pour aller plus loin : utilisation de Scilab
Télécharger le script
http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/WrightFisher.sce
L’exécuter dans Scilab, les courbes obtenues correspondent à celles déjà visualisées dans
l’interface Web. Le programme de travail qui suit est extrait d’un TP de préparation à
l’agrégation de F. Malrieu. Il permet de retrouver par la simulation les probabilités et temps
d’absorption théoriques, mais aussi de simuler les modèles avec sélection ou mutation, pour
lesquels les calculs théoriques ne sont plus possibles.

I. Sans mutations, ni sélection
On note X n le nombre d’allèles A dans une population de N gènes au temps n. Il y a N − X n
allèles B. On suppose qu’il n’y a ni mutation ni sélection. La loi de X n+1 sachant que X n = i
est la loi binomiale B(N, i/N).
1. Représentez plusieurs trajectoires de cette chaîne de Markov pour N =10, 20, 100.
2. Confrontez l’estimation numérique de la probabilité que la chaîne soit absorbée en 2N
au résultat théorique pour N =10, 20, 100.
3. Proposez une estimation de l’espérance du temps de d’absorption de la chaîne pour
N =10, 20, 100. N’oubliez pas l’intervalle de confiance !
II. Avec sélection mais sans mutations
Nous supposerons que la sélection ne s’opère que sur le critère de viabilité : un individu porteur
de l’allèle A a 1 + s fois plus de chances de survivre qu’un individu porteur de l’allèle B. Pour
construire la population à la date n + 1, sachant que X n = i, tout se passe comme si on tirait
des allèles dans une urne qui contient une proportion (1 + s)i/((1 + s)i + N − i) d’allèles A.
La loi de X n+1 sachant que X n = i est donc la loi binomiale de paramètres N et
(1 + s)i
(1 + s)i + N − i .
Remarque. Le taux de mutation est très faible. On pourra choisir s de la forme α/N, avec α
d’ordre 1.
1. Estimer la probabilité de disparition de l’allèle B en fonction de du nombre d’allèles A
initiaux.
2. Pouvez-vous estimer le temps nécesssaire à la disparition d’un des deux allèles
3. Comparer avec le cas précédent.
III. Avec mutations mais sans sélection
On suppose à présent qu’au cours de chaque transmission d’un gène celui-ci peut changer :
de A en B avec probablité u et de B en A avec probabilité v. Si X n = i, la loi de X n+1 est
donc la loi binomiale de paramètres N et
(1 − u) i (
N + v 1 − i )
.
N
1. Y-a-t-il toujours absorption
2. Que se passe-t-il en temps long
3. Tracer la proportion de temps passé dans chaque état le long d’une grande trajectoire.
Celle-ci dépend-elle du point de départ Commenter. On choisira N = 10 et 20.