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$TD 3 : Courbes et fractales$

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Or ∣ ∫ ∣ ∣∣ [z R(z) dz 1;z 1+h] ≤ ‖h‖ maxD(0,r) R Donc F (z 1 + h) − F (z 1 ) h∈C→0 −−−−−→ f(z 1 ) h Conclusion : f est continue et est la dérivée d’une autre fonction holomorphe F dans D(0, r) =⇒ ∀γ lacet (C 1 par morceaux) inclus dans le disque alors ∫ f(z) dz = 0 γ Résumé ∫ : si f est holomorphe dans un disque D(z 0 , r) alors ∀γ lacet (C 1 par morceaux) inclus dans ce disque f(z) dz = 0. γ Supposons maintenant que f est holomorphe dans un domaine D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) (en fait f est holomorphe sur un voisinage de cet ensemble). On définit γ 1 le bord extérieur et γ 2 le bord intérieur (cf schéma 5). Théorème 3.2. Alors : ∫ ∫ f(z) dz = f(z) dz γ 1 γ 2 Preuve 3.3. On divise D(z 1 , R) \ D(z 0 , r) en plein de parcelles disjointes de diamètre < schéma 6) et avec des bords C 1 par morceaux. ɛ 10 chacune (cf Pour chaque parcelle, f est holomorphe dans un disque qui contient cette parcelle donc ∫ f(z) dz = contour de la parcelle 0. On somme sur toutes les parcelles (cf schéma 7). Tout se simplifie sauf les contributions de γ 1 et γ 2 . =⇒ ∫ f(z) dz = γ 1 ∫ f(z) dz γ 2 10
3.4 Formule de Cauchy Théorème 3.3. Supposons que f est holomorphe sur un voisinage d’un disque D = D(z 0 , R). Soit a ∈ D. Soit γ le bord du disque orienté directement. Alors : f(a) = 1 ∫ f(z) 2iπ z − a dz Preuve 3.4. Soit a fixé dans D(z 0 , R). La fonction z ↦→ f(z) z−a est holomorphe sur un voisinage de D(z 0, R) \ D(a, r) (pour tout r donné). On applique le résultat précédent à cette fonction ˜f(z) = f(z) z−a ∫ ∫ ˜f(z) dz = ˜f(z) dz γ γ C(a,r) + ∫ C(a,r) + ∫ f(z) 2π z − a dz = = 0 ∫ 2π 0 f(a + re it ).ire it dt re it if(a + re it ) dt = 2iπ × Moyenne de f sur C(a, r) + r→0 −−−→ 2iπf(a) car f continue en a Conclusion : La donnée de f sur γ caractérise complétement la donnée de f dans « l’intérieur de γ » On peut voir le résultat précédent comme une intégrale à paramètre. De plus, a étant dans l’intérieur du disque, ∃ɛ > 0, ∀z ∈ γ, |z − a| ≥ ɛ. Conséquence : 11
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