notes de cours

1 Introduction aux fonctions harmoniques et holomorphes via les
graphes
1.1 Fonctions harmoniques discrètes et fonctions harmoniques conjuguées
On se donne une fonction u : Z 2 → R. On dit que u est harmonique en x si u(x) = “la moyenne de u
en les 4 voisins de x”. Si D est un ensemble de points connexes 2 à 2 de Z 2 , on dit que u : Z 2 → R est
harmonique sur D si ∀x ∈ D, elle est harmonique en x.
Remarque 1.1.1. Pour voir si u est harmonique en D, il faut connaître u sur D et sur ∂D = {x ∈ Z 2 :
d(x, D) = 1}.
Remarque 1.1.2. Une fonction harmonique sur D fini ne peut atteindre son maximum que sur ∂D, autrement
dit si on se donne une fonction f : ∂D → R et si D est fini alors ∃!u : D ∪ ∂D → R harmonique dans D telle
que u = f sur ∂D.
Remarque 1.1.3. La fonction u minimise
parmi les fonctions u qui coincident avec f sur ∂D.
E(u) = ∑ (u(x) − u(y)) 2
x∼y
x∈D
Lorsque u est harmonique dans D et que D est “simplement connexe”, on définit l’ensemble des faces
F comme l’ensemble des petits carrés dont les quatres sommets sont dans D ∪ ∂D. Il y a une structure de
graphe naturelle sur les faces. On dit que v : F → R est une fonction harmonique conjuguée à u si : ∀x, y
voisins dans D, a, b sont les faces ayant x et y en commun et telles que angle( → xy, → ab) = 90 ◦ alors :
v(b) − v(a) = u(y) − u(x)
Remarque 1.1.4. Si v est une fonction harmonique conjuguée à u alors ∀c ∈ R la fonction v + c l’est aussi.
On peut donc chercher s’il existe une fonction v harmonique conjuguée à u telle que v(a 0 ) = 0 pour un
certain a 0 donné.
On cherche alors ∀b ∈ F, v(b) pour v(a 0 ) = 0 et v harmonique conjuguée à u. La condition impose alors
la valeur de v sur tout le chemin qui va de a 0 à b : Si elle existe, v est unique.
Existence : Le problème de l’existence est que si l’on choisit 2 chemins différents de a 0 à b, on est pas
certain d’arriver “au même résultat v(b)”.
Remarque 1.1.5. Sur une boucle de longueur 4, l’incrément de v (sa somme) est nulle. C’est à dire que
(v(x 0 ) − v(x 1 )) + (v(x 1 ) − v(x 2 )) + (v(x 2 ) − v(x 3 )) + (v(x 3 ) − v(x 0 )) = 0
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