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$TD 3 : Courbes et fractales$

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5.2 Compléments (variés) sur les transformations conformes (& autres) 5.2.1 Sphère de Riemann On considère la sphère S = { (x, y, z) ∈ R 3 ∣ ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } et le plan équatorial π = {z = 0}. A chaque point M = (x, y, z) ∈ S on associe Z = (X, Y, 0) ∈ π en prenant l’intersection de π avec la droite passant par M et par A = (0, 0, 1) (cf schéma 2-1) : et par convention l’image de M = A est Z = ∞. On pose Z = X + iY : X = x 1 − z Y = y 1 − z X 2 + Y 2 = x2 + y 2 (1 − z) 2 = 1 − z2 (1 − z) 2 = 1 + z 1 − z z = |Z|2 − 1 |Z 2 | + 1 x = X(1 − z) = y = 2Y 1 + |Z| 2 2X 1 + |Z| 2 Un cercle C sur S s’écrit comme l’intersection de S avec un plan d’équation αx + βy + γz = δ. La projection stéréographique de C a pour équation γ |Z|2 − 1 |Z 2 | + 1 + α 2X 1 + |Z| 2 + β 2Y 1 + |Z| 2 = δ (δ − γ)(X 2 + Y 2 ) − 2αX − 2βY + δ − γ = 0 ce qui correspond à l’équation d’un cercle si C ne passe pas par A et à l’équation d’une droite si C passe par A. (cf http://www.youtube.com/watchv=6JgGKViQzbc). 5.2.2 Singularités Supposons que F est holomorphe sur U \ {0} (cas où Ω est ouvert simplement connexe privé d’un point). Les fonctions holomorphes sur un tel domaine sont : – Les fonctions holomorphes sur U. – Les fonctions de la forme 1 z k pour k ∈ N – z ↦→ e 1 z – Les combinaisons linéaires de ces fonctions Définition 5.1. On dit que – 0 est une singularité éliminable de F si F se prolonge en une fonction holomorphe sur U. – 0 est un pôle de F s’il existe n ∈ N ∗ et G holomorphe dans U avec G(0) ≠ 0 tel que ∀z ∈ U \ {0}, F (z) = z −n G(z) (=⇒ polynôme en 1 |z|→0 z + fonction holomorphe). Dans ce cas on a |F (z)| −−−→ +∞. – Sinon on dit que 0 est une singularité essentielle pour F . Proposition 5.2. 0 est une singularité éliminable ⇐⇒ F est bornée au voisinage de 0. 30
Preuve 5.6. (=⇒ évident) ⇐= Si F est bornée sur 3 4U \ {0} alors F est prolongeable en une fonction holomorphe. Idée : on note γ le cercle orienté de rayon 3 4 autour de 0 et γ ɛ le cercle orienté de rayon ɛ autour de 0. Alors ∀ξ ∈ U 2 \ {0}, pour ɛ petit. ∫ 2πiF (ξ) = γ ∫ F (z) z − ξ dz − γ ɛ F (ξ) = 1 ∫ F (z) 2iπ γ z − ξ dz F (z) z − ξ dz ɛ→0 −−→0 est bien une fonction holomorphe au voisinage de 0 en posant F (0) = 1 2iπ ∫ γ F (z) z dz. Proposition 5.3. Si 0 est une singularité essentielle alors ∀ɛ > 0, F (ɛU) est dense dans C. Corollaire 5.3. Si F est holomorphe sur U \ {0} et si |F (z)| z→0 −−−→ ∞ alors 0 est un pôle pour F . Preuve 5.7. Supposons que a /∈ F (ɛU), alors on pose ˜F (z) = F (z) − a. ˜F est holomorphe sur U \ {0} et 0 /∈ ˜F (ɛU). Donc ∃ɛ 0 , ∃M, ∀z ∈ ɛ 0 U, | ˜F | > 1 1 M . Si on pose G(z) = , G est bien holomorphe sur ˜F (z) ɛ 0 U \ {0} et G est bornée au voisinage de 0 (par M). G est prolongeable en une fonction holomorphe non nulle ∃n 0 , a n0 ≠ 0, G(z) = a n0 z n0 + z n0+1 h où h est une fonction holomorphe. 0 est un pôle pour F = 1 G et |F (z)| |z|→0 −−−→ ∞ ou |F (z)| |z|→0 −−−→ 1 a n0 (si n 0 = 0) d’où la contradiction. Remarque 5.2.1. z ↦→ e 1 z posséde une singularité essentielle en 0. Définition 5.2. Si Ω est un ouvert de C simplement connexe, on dit que F est méromorphe sur Ω avec pôles en (z 1 , z 2 , z 3 , . . .) si : – F est holomorphe U \ ⋃ i {z i} −→ C – Chaque z i est un pôle pour F (i.e. |F (z)| −−−→ z→zi ∞) – (z i ) suite (finie ou) dénombrable de points de Ω qui n’a pas de point d’accumulation. Remarque Soit Ω un ouvert simplement connexe “sympa” tel que F : Ω −→ U conforme se prolonge a ∂Ω (cf schéma 2-2). On obtient alors Φ comme sur le schéma et on pose v = IΦ qui vérifie : – v harmonique : ∆v = 0 dans Ω – v → 0 quand z → ∂ 0 – v → 1 quand z → ∂ 1 v est alors l’unique fonction harmonique vérifiant les conditions précédentes. On définit alors u la fonction harmonique conjuguée (définie à constante additive prés) et alors Φ = cste ∈ R + u + iv. u + iv est alors l’unique fonction holomorphe de Ω dans le domaine “bande”. 5.2.3 Fonctions univalentes On sait que si F (z) = a 1 z + ∑ n≥2 a nz n avec a 1 ≠ 0, alors ∃ɛ > 0 tel que F est conforme de ɛU −→ F (ɛU). Question naturelle : Que peut-on dire si F est une transformation conforme définie de U −→ F (U), que peut-on dire des coefficients a n Remarque 5.2.2. Si F est univalente sur U (c’est à dire holomorphe et injective) alors ∀λ, λF aussi. Il suffit donc de comprendre le cas où F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n . z Schéma 2-3, fonction de Koebe : (1−z) = ∑ 2 n≥1 nzn donc a n = n. Conjecture Bieberbach de prouvée en 1986 par de Branges : – Si F (z) = z + ∑ n≥2 a nz n est univalente alors ∀n ≥ 2, |a n | ≤ n – Si ∃n 0 tel que |a n | = n alors F est la fonction de Koebe (ou une conjuguée par rotation). 31
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