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$TD 3 : Courbes et fractales$

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5.2.4 Longueur extrémale et invariance conforme Motivation : Existe-t-il une quantité dans un ouvert invariante par transformation conforme Exemple : Soit Ω un ouvert simplemement connexe tel qu’il existe F conforme qui se prolonge en une bijection de Ω −→ U. On se donne quatre points A, B, C, D sur ∂Ω, a = F (A), b = F (B), c = F (C), d = F (D). (cf schéma 2-4) ∀ρ ∈ C ∞ , ρ > 0 dans Ω. On définit A ρ (Ω) = “aire de ρ” = ∫∫ Ω ρ(x, y)2 dxdy. ∀γ chemin dans Ω, γ : [0, 1] −→ Ω C 1 , on définit L ρ (γ) = “longueur pour ρ de γ” = ∫ T 0 |γ′ (s)|ρ(γ(s))ds. Γ = ensemble des chemins joignant (DA) ⊂ ∂Ω à (BC) ⊂ ∂Ω dans Ω (cf schéma 2-5) c’est à dire γ(0) ∈ (DA), γ(1) ∈ (BC), γ(]0; T [) ⊂ Ω. ∀ρ, inf γ∈Γ L ρ (γ) = “distance pour ρ entre (DA) et (CB)”. Question : Y-a-t il une fonction ρ qui rend cette distance aussi grande que possible inf On pose d((DC), (AB), Ω) = sup γ∈Γ L ρ(γ) 2 ρ A ρ(Ω) . On appelle cette quantité la longeur extrémale de l’ensemble des chemins Γ. Remarque 5.2.3. Cette quantité est invariante par tranformation conformes : Si Φ : Ω −→ ˜Ω se prolonge en une bijection de Ω −→ ˜Ω alors d((DC), (AB), Ω) = d(Φ((DC)), Φ((AB)), ˜Ω) D’où ˜ρ(Φ(z)) = ρ(z) |Φ ′ (z)| A˜ρ = A ρ (Ω) L˜ρ (Φ(γ)) = L ρ (γ) inf γ∈Γ L ρ (γ) 2 inf γ∈Γ L˜ρ (γ) 2 sup = sup ρ>0 A ρ (Ω) ˜ρ A˜ρ (˜Ω) Cas particulier : On prend pour Ω un rectangle de largeur 1 et de longueur l, avec A, B, C, D les sommets du rectangle (cf schéma 2-6) : Remarque 5.2.4. d’où ∀ρ A ρ (Ω) = ∫ 1 ∫ l 0 0 ρ(x, y) 2 dxdy ≥ ∫ 1 0 ( 1 l ∫ l 0 ρ(x, y) 2 dx d((AD), (CB), Ω) ≤ l Remarque 5.2.5. Si ρ = 1, inf γ∈Γ L ρ (γ) = l, A ρ (Ω) = l : donc d((AD), (CB), Ω) = l inf γ∈Γ L ρ (γ) 2 = l A ρ (Ω) ) 2 dy ≥ 1 l ∫ 1 0 inf L ρ(γ) 2 dy γ∈Γ inf Exemple 2 : (cf schéma 2-7) : Γ : ensemble des chemins joignant ∂ int à ∂ ext dans Ω sup γ∈Γ L ρ(γ) 2 ρ A ρ(Ω) est invariant par tranformations conformes. Si on considére un anneau formé de deux cercles concentriques, l’un de rayon 1, l’autre de rayon R, la même méthode que dans l’exemple précédent montre que la distance extrémale est ≥ log R 1 2π et cette valeur est atteinte pour ρ(z) = |z| . Remarque 5.2.6. Culturelle Sous certaine conditions on peut trouver des transformations conformes envoyant “naturellement” un ouvert à un trou dans un anneau (cf schéma 2-9) et un ouvert à n trous dans un truc ichelou (cf schéma 2-10). 32
6 Fonctions holomorphes et méromorphes sur C 6.1 Rappels et définitions Définition 6.1. Une fonction F : C −→ C est dite “entière” si c’est une fonction holomorphe sur C. Remarque 6.1.1. Il y en a beaucoup, il suffit de considérer F (z) = ∑ n≥0 a nz n de rayon de convergence infini. Remarque 6.1.2. Si F est entière et bornée alors F est constante. On a même mieux : si ∃n 0 , ∃C, ∀z, |F (z)| ≤ C(|z| n0 + 1) et F entière alors F est un polynôme. Remarque 6.1.3. On connaît des fonctions entières non-constantes telles que ∀z ∈ C, F (z) ≠ 0. Il suffit de prendre F (z) = e G(z) pour G(z) entière. Définition 6.2. On dit que F est méromorphe sur C s’il existe une suite (z ν ) ν>0 ∈ C avec |z ν | → ∞ telle que : F est définie sur C \ {z ν , ν ≥ 0}, holomorphe sur cet ensemble et z ν est un pôle pour F . Autrement dit ∃P ν polynôme de degrés n ν tel que z ↦→ F (z) − P ν ( 1 z−z ν ) est holomorphe au voisinage de z ν . 6.2 “Resommation” Si F est méromorphe avec une infinité de pôles, on aimerait dire que F (z) − ∑ ν P 1 ν( z−z ν ) est entière. Problème : La sommation sur ν ne converge pas forcément. −→ idée : c’est pas grave. On va trouver des polynômes p ν de sorte que F (z) − ∑ ( ) 1 P ν ( ) − p ν (z) z − z ν ν soit entière. Exemple simple où ce n’est pas la peine : F (z) = π 2 (sin(πz)) 2 din(πz) = eiπz − e −iπz 2i s’annule lorsque e 2iπz = 1 c’est à dire lorsque z ∈ Z. L’ensemble des pôles de F : Z. Tous les polynômes : P ν (z) = z 2 Question : la somme ∑ ( 2 1 n∈Z z−n) converge-t-elle Réponse : Oui, sans problème, la fonction G(z) := ∑ ( ) 2 1 n∈Z z−n est holomorphe sur C\Ϝ. Si on pose E(z) = π 2 (sin(πz)) − ∑ ( 2, 1 2 n∈Z z−n) E se prolonge en une fonction entière. En fait : – ∀z ∈ C, E(z + 1) = E(z) – Si on regarde E sur la bande verticale de partie réelle [0; 1], on observe que E −−−−−−−→ I(z)→±∞ 0 (cf schéma 2-11) – E entière bornée =⇒ E constante qui doit être forcément nulle car de limite nulle en ±i∞ Théorème 6.1. Soit f une fonction méromorphe sur C, avec une infinité de pôles (z ν ) ν∈N (|z ν | → +∞). 1 Soient (P ν ) ν des polynômes tels que ∀ν, au voisnage de z ν , z ↦→ f(z) − P ν ( z−z ν ) se prolonge en une fonction holomorphe. Alors il existe des polynômes (p ν ) ν de telle sorte que z ↦→ ∑ ( ) 1 ν P ν ( z−z ν ) − p ν (z) converge uniformément sur tout compact inclus dans C \ ⋃ n {z ν} et alors z ↦→ f(z) − ∑ ( ) 1 ν P ν ( z−z ν ) − p ν (z) se prolonge en une fonction entière. Remarque 6.2.1. Si ˜P est un polynôme alors on peut voir ˜P ( 1 1−y ) = ∑ N k=0 a k( 1 1−y )k comme une série entière en y de rayon de convergence 1. 33
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Page 45: Remarque 7.2.4. On peut montrer que

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