notes de cours

– Soit a ∈ D, et h avec ‖h‖ petit
f(a + h) − f(a)
h
= 1 ∫
2iπ
= 1 ∫
2iπ
γ
γ
f(z)
h
[
1
z − a − h − 1 ]
dz
z − a
dz
f(z)
(z − a)(z − a − h)
∫
1
dz
f(z)
2iπ (z − a) 2
(Convergence dominée)
−−−−−−−−−−−−−−→
h→0
} {{ }
intégrale unidimensionnelle
γ
Donc
– De même on montre que
∀a ∈ D, f ′ (z) = 1 ∫
f(z)dz
2iπ γ (z − a) 2
f ′ (a + h) − f ′ (a)
h
h→0
−−−→ 2 ∫
2iπ γ
– Si f est holomorphe dans un ouvert Ω alors f ′ l’est aussi.
– On a
f (n) = n! ∫
f(z)dz
2iπ (z − a) n+1
γ
f(z)dz
(z − a) 3
Théorème 3.4. (De Morera) Si f est une fonction continue dans un disque D telle que ∀T triangle ⊂ D
∫
f(z)dz = 0
alors f est holomorphe.
Preuve 3.5. On définit ∀Z ∈ D, F (Z) = ∫ T Z
f(z)dz (cf schéma 9) alors F est holomorphe
et F ′ = f =⇒ f est holomorphe car dérivée d’une fonction holomorphe.
T
(
F (Z+h)−F (Z)
h
)
h→0
−−−→ f(Z)
∫
On se donne f holomorphe au voisinage du disque D et on sait qu’alors ∀a ∈ D, f(a) = 1 f(z)dz
2iπ γ z−a .
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