notes de cours

Preuve 5.3. On passe par H en envoyant 0 sur z 0 .
On définit ainsi F : U −→ Ω, holomorphe dans U, continue sur U.
(∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U, |z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ alors ∀z 0 ∈ ∂U, ∃δ > 0, ∀z ∈ U,
|z − z 0 | < δ =⇒ |F (z) − F (z 0 )| < ɛ).
Remarque 5.0.7. Si f est une transformation conforme de Hdans Ω avec les mêmes conditions sur Ω, alors
on peut prolonger f en une fonction continue de H ∪ {∞} dans Ω.
5.1 Cas des polygones
On considère Ω un polygone dans C :
Que peut-on dire de f transformation conforme de H =⇒ Ω
Pour simplifier : β 1 = 1 − α 1 , β j = 1 − α j ∈] − 1; 1[ Alors ∑ N
j=1 β j = 2 (un tour)
Principe de réflexion & conséquence Si G + est une fonction holomorphe sur Ω + (cf schéma23) et si
G + se prolonge par continuité à Ω 0 et G + (Ω 0 ) ⊂ R alors si on pose
⎧
⎨ G + (z) z ∈ Ω +
G(z) = G + (z) z ∈ Ω 0
⎩
G + (z) z ∈ Ω −
G est alors holomorphe sur Ω = Ω + ∪ Ω 0 ∪ Ω −
Preuve 5.4. (cf schéma 24)
∮
T
∮
G(z)dz = lim
ɛ→0
T ɛ 1
G(z)dz
} {{ }
=0
∮
+
T ɛ 2
G(z)dz
} {{ }
=0
Si G est une transformation conforme de Ω + dans D + (cf schéma 25) avec G(Ω 0 ) ⊂ D 0 ⊂ R On définit
alors G aussi sur Ω − par G(z) = G(z).
F : transformation conforme H −→ Ω un polygone. ∀z 0 ∈ R, si F (z 0 ) n’est pas un coin, alors F se prolonge
de manière holomorphe au voisinage de z 0 et F ′ (z 0 ) ≠ 0 (cf schéma 26). Si z 0 ∈ R et F (z 0 ) = A 1 alors (avec
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