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$TD 3 : Courbes et fractales$

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Rappel : Si f est non constante, alors il n’existe pas de suite z n n→+∞ −−−−−→ z ∞ avec z ∞ ∈ Ω et z n ≠ z ∞ qui vérifie ∀n, f(z n ) = 0 Définition 3.1. Si f est holomorphe non-constante dans Ω et si f(z 0 ) = 0, on appelle multiplicité du zéro z 0 la valeur entière n 0 telle qu’il existe a n0 ≠ 0 avec f(z) = a n0 (z − z 0 ) n0 + o((z − z 0 ) n0 ) lorsque z → z 0 . (l’existence et l’unicité de n 0 à cause du développement en série entière de f au voisinage de z 0 ) Théorème 3.9. Si f est holomorphe au voisinage d’un disque D et si γ désigne le cercle orienté positivement de D. Si ∀z ∈ γ, f ≠ 0 alors si z 1 , . . . , z J désignent les zéros de f dans D où n(z) est la multiplicité du zéro z. J∑ j=1 n(z j ) = 1 ∫ f ′ (z)dz 2iπ γ f(z) (Si une telle formule surprend, c’est surtout que l’on a pas compris la formule de Cauchy). ∫ f ′ ∫ (z)dz = d ln(f(z)) f(z) (Informellement) Preuve 3.11. Pour ɛ petit, on considère l’ouvert D \ ⋃ J j=1 D(z j, ɛ) = D ɛ , f ′ f même sur un voisinage de D ɛ ). Alors J ɛ j J ɛ j ∫ γ γ f ′ (z)dz f(z) = γ J∑ ∫ j=1 J ɛ j f ′ (z)dz f(z) Mais (avec un développement limité à l’ordre 2) ∫ f ′ ∫ [ ] (z)dz (exo) n(zj ) = + O(1) dz = 2iπn(z j ) + O(ɛ) −−→ 2iπn(z j ) f(z) z − z j ɛ→0 est holomorphe dans Dɛ (et Conséquence : Si f et g sont deux fonctions holomorphes au voisinage d’un disque D et ∀z ∈ ∂D, |f(z)| > |g(z)| (=⇒ f et f − g non nulle sur ∂D) alors le nombre de zéros (multiplicité comprise) de f dans D est égual au nombre de zéros de f − g dans D. Preuve 3.12. ∀t ∈ [0; 1] on définit f t (z) = f(z) − tg(z). Par hypothése, ∀t ∈ [0; 1], f z ≠ 0 sur ∂D. Donc ∀t, (#zéros de f t dans D) = 1 ∫ f t(z)dz ′ 2iπ ∂D f(z) + ∫ 1 f t(z)dz ′ = 1 ∫ f ′ (z) + tg ′ (z) 2iπ ∂D f(z) 2iπ + ∂D f(z) + tg(z) dz est une fonction continue par rapport à t sur [0; 1] et à valeurs entière. Conclusion c’est une fonction constante et la valeur en 0 est la même que celle en 1. Récapitulatif : ∫ – Si f est holomorphe dans Ω ouvert =⇒ f ′ aussi etc . . . et cercle ⊂ Ω. Cercle f(z)dz = 0 si le disque intérieur au 16
– Si f est holomorphe dans un disque on peut définir F holomorphe dans le même disque avec F ′ (z) = f(z) ∫ dz – Mais C(0,1) z = 2iπ Question : Quelle hypothése naturelle faut-il pour qu’une fonction f holomorphe dans un ouvert Ω admette une primitive Définition 3.2. On dit que deux chemins continus γ 0 et γ 1 de a à b dans l’ouvert Ω sont homotopes dans Ω si ∃Γ une application [0; 1] × [0; T ] → Ω continue telle que : – ∀s ∈ [0; 1], Γ(s, 0) = a, Γ(s, T ) = b – γ 0 (·) = Γ(0, ·) – γ 1 (·) = Γ(1, ·) Théorème 3.10. Si f est holomorphe dans Ω ouvert et si γ 0 et γ 1 sont homotopes dans Ω alors ∫ ∫ f(z)dz = f(z)dz γ 0 γ 1 Preuve 3.13. ∃ɛ d(∁Ω, Γ([0; 1]×[0; T ])) > 4ɛ. Γ est continue sur [0; 1]×[0; T ] =⇒ ∀ɛ > 0, ∃δ > 0∀s 1 , s 2 , t 1 , t 2 |s 1 − s 2 | < δ et |t 1 − t 2 | < δ =⇒ |Γ(s 1 , t 1 ) − Γ(s 2 , t 2 )| < ɛ ∫ ∃N et s 0 = 0, s 1 ∫ = 1 N , . . . , s N = 1, t 0 = 0, t 1 = 1 N , . . . , t N = 1 de sorte que 1 N < δ et T N < δ. Montrons que f(z)dz = f(z)dz, Γ(s j,·) Γ(s j,·) Γ(s j , [t i , t i+1 ]) ∪ [Γ(s j , t i+1 ); Γ(s j+1 , t i+1 )] ∪ Γ(s j+1 , [t i+1 ; t i ]) ∪ [Γ(s j+1 , t i ); Γ(s j , t i )] est un circuit de diamètre ≤ 2ɛ, contenu dans un disque de rayon 2ɛ contenu dans Ω l’intégrale de f le long de ce chemin ∫ est nul. Si ∫ on fait la somme de toutes ces intégrales pour i = 0, . . . , N − 1, on trouve exactement f(z)dz = f(z)dz. Γ(s j,·) Γ(s j,·) Définition 3.3. On dit que Ω ouvert connexe est simplement connexe si ∀a, ∀b ⊂ Ω, ∀γ 0 , γ 1 chemins continus reliant a à b dans Ω, γ 0 est homotope γ 1 . Théorème 3.11. Si Ω est un ouvert simplement ∫connexe et si f est holomorphe dans Ω alors ∀γ circuit C 1 par morceaux formé dans Ω, f(z)dz = 0 ∃F holomorphe dans Ω avec F ′ = f (f admet une primitive dans Ω) γ Preuve 3.14. Pour Le premier point, on combine la définition de la simple connexité, le théorème précédent et le fait que ∫ γ est homotope au chemin ˜γ qui reste en un point de γ. Pour le second point, on a montré que l’intégrale f(z)dz où γ est un chemin reliant a à b dans Ω ne dépend pasdu choix de ce chemin ( ne γ dépend que du choix de a et b). On fixe a ∈ Ω, et on pose F (b) = ∫ f(z)dz pour γ un chemin a → b qui γ reste dans Ω. En particulier si γ a→b est un tel chemin, alors ∀c proche de b : « γ a→b ∪ [b; c] » est un chemin reliant a à c dans Ω et : ∫ F (c) − F (a) = f(z)dz ∼ f(b)(c − b) lorsque c → b =⇒ F est holomorphe en b et F ′ (b) = f(b). [b;c] 1 ∫ Conséquence : C \ {0} n’est pas simplement connexe. En effet, z est holomorphe sur C \ {0} et dz C(0,1) z ≠ 0. + Conséquence importante : Si Ω est un ouvert simplement connexe qui contient 1 mais pas 0, il existe une unique primitive de 1 z dans Ω qui vaut 0 en 1. On la note log Ω(z). 17
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