mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closDéfinition 1.4 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, on dit que v 1 ⩽ v 2 si et seulement si O v2 ⊆O v1 . C’est un pré-ordre. On dira que deux valuations sont équivalentes si elles sont équivalentespour la relation associée à ce pré-ordre, i.e. O v1 = O v2 .Remarque 1.5 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, v 1 est équivalente à v 2 si et seulement si ilexiste σ ∶ Γ v1 → Γ v2 , isomorphisme de groupes ordonnés, tel que v 2 = σ ○ v 1 .Il suit de cette remarque qu’on ne considérera désormais les valuations qu’à équivalence près.La théorie des corps valués n’est donc pas tant la théorie des valuations que la théorie desanneaux de valuation.Pour faire de la théorie des modèles, il faut introduire le langage qu’on utilisera. Il y en a uncertain nombre qui sont classiquement utilisés dans la littérature. Celui qui sera le plus utiliséici est le suivant :Définition 1.6 (L div ) :Le langage L div est {+, −, ×, 0, 1, div} où +, − et × sont des fonctions binaires, 0 et 1 sont desconstantes et div est une relation binaire. Dans un corps valué (K, v), on interprète +, −, ×, 0 et 1par la structure d’anneau de K et x div y par v(x) ⩽ v(y).La théorie des corps valués est alors donnée par les axiomes suivants :(i) « K est un corps » ;(ii) 1 div 1 ∧ 1 div 0 ;(iii) ∀x∀y 1 div x ∧ 1 div y ⇒ 1 div x + y ∧ 1 div xy ;(iv) ∀x∀y xy = 1 ⇒ (1 div x ∨ 1 div y) ;(v) ∀x∀y∀z xy = 1 ⇒ (x div z ⇐⇒ 1 div yz).On aurait pu tout simplement prendre le langage des anneaux {+, −, ×, 0, 1} et ajouter unprédicat pour l’anneau de valuation, mais alors, à moins de rajouter l’inverse, les théories quel’on considère plus loin perdent l’élimination des quantificateurs.Remarque 1.7 :Une sous-L div -structure est un anneau dont le corps des fractions (qui est aussi une sous-structure)est un corps valué muni de la restriction de la valuation.Il y a un autre langage classique, qui est peut être plus proche de l’intuition que l’on a de cequ’est un corps valué, mais qui a le défaut d’être multi-sorté.Définition 1.8 :Le langage tri-sorté des corps valué est constitué de trois sortes K, Γ ∞ et k et des symboles suivants :– {+, −, ×, 0, 1} sur K et k ;– {+, −, 0, ⩽, ∞} sur Γ ∞ ;– v ∶ K → Γ ∞ ;– res ∶ K → k.5

1 Corps valués algébriquement closquand on voudra étudier la théorie de Q p car tout modèle de cette théorie se plonge donc dans uncorps valué algébriquement clos, théorie que l’on connaît mieux.Rappelons ensuite le théorème des restes chinois qui sera utilisée dans la preuve du théorèmed’approximation (1.19).Théorème 1.18 (Théorème des restes chinois) :Soient A un anneau, (A i ) i=1...n des idéaux tels que A i + A j = A pour tout i ≠ j, alors laflèche canonique A → ∏ i A/A i est surjective.On prouve maintenant une version très faible du théorème d’approximation, mais qui suffiraà notre démonstration. On peut en trouver des versions plus fortes dans [EP05] ou [Rib99].Théorème 1.19 (Théorème d’approximation) :Soient (v i ) i=1...n des valuations incomparables d’un corps K et M i l’idéal maximal de O il’anneau de valuation associé à la valuation v i , alors pour tout (a i ) ∈ ∏ i O i , il existe a ∈⋂ i O i tel que pour tout i, a − a i ∈ M i .Commençons par démontrer un lemme technique.Lemme 1.20 :En reprenant les notation précédentes, soit A = ⋂ i O i et p i = A∩M i . Alors pour tout i, O i = A pi(i.e. le localisé de A en p i ).Proof . Comme A ⊆ O i et que A/p i ⊆ O i /M i = O ⋆ i , il s’en suit que A p i⊆ O i . Soit maintenanta ∈ O i (on peut supposer a non nul sinon c’est fini). Soit p un nombre premier supérieur à lacaractéristique de tous les k j = O j /M j et tel que le résidu de a dans k j (quand il existe) n’estpas une racine p-ième de l’unité. On pose b = ∑ p−1k=0 ak , et on va montrer que b −1 ∈ A/p i etab −1 ∈ A.Soit j tel que a ∈ O j et soit a j son résidu dans k j . Si a j = 1 le résidu de b, noté bj , est égalà p qui est non nul. Sinon bj = (1 − a p j )(1 − a j) −1 ≠ 0. Dans les deux cas v j (b) = 0 etdonc b −1 ∈ O ⋆ j = O j /M j et bien sûr ab −1 ∈ O j . Comme a ∈ O i , on a, en particulier, queb −1 /∈ M i ⊇ p i .Si a /∈ O j , alors v j (a) < 0 et donc a −1 ∈ M j . Si on pose c = ∑ p−1k=0 a−k , on a alors a p−1 b = c ∈O j et de plus, par les même considérations que précédemment, c est inversible dans O j . Ona donc b −1 = a −(p−1) c −1 et ab −1 = a −(p−2) c −1 ils sont bien tous les deux dans O j .On a donc bien montré que ab −1 et b −1 sont dans ⋂ j O j et que b −1 ∉ p i . Il s’en suit immédiatementque a = ab −1 /b −1 ∈ A pi .∎Proof (Théorème (1.19)).En reprenant les notations du lemme, si p i ⊆ p j , comme A pi = O i , on aurait alors O j ⊆ O i ,ce qui est impossible car les valuations sont incomparables.Montrons de plus que les p j sont maximaux. En fait on va montrer que tout idéal propre Ade A est inclus dans un p i . Cela suffira car si on a un idéal propre de A tel que p i ⊆ A alorsil existe j tel que p i ⊆ A ⊆ p j . Comme les p j sont incomparables, on doit alors avoir i = j etp i = A.Par l’absurde, soit donc A qui n’est inclus dans aucun p i , on a alors pour tout i un a i ∈ A/p i .De plus, comme p i /⊆ p j pour i ≠ j, soit b ij ∈ p i /p j . On pose alors c j = ∏ i≠j b ij qui est donc un9

1 Corps valués algébriquement closélément de p i pour tout i ≠ j. De plus comme p j est premier, c j /∈ p j . Les a j c j sont donc deséléments de A qui sont dans tous les p i pour i ≠ j et mais pas dans p j . Et si on pose d = ∑ j a j c jon obtient alors un élément de A qui n’est dans aucun des p i . Comme p i = A ∩ M i ils ne sontdans aucun des M i . Comme les O i sont des anneaux locaux, d −1 ∈ O i pour tout i et doncd −1 ∈ A ce qui implique que A contient un élément inversible et donc A = A.Comme les p i sont maximaux et distincts, le théorème des restes chinois (1.18) implique quela flèche canonique A → ∏ i A/p i est surjective. De plus, le morphisme canonique A → A pi →A pi /p i A pi qui a a ∈ A associe a/1 + p i A pi est une surjection. En effet, soit a/b ∈ A pi , i.e.b ∈ A/p i . Comme p i est maximal, l’idéal engendré par p i et b est A. Il existe donc c ∈ A telque a − cb ∈ p i et donc a/b − c = (a − cb)/b ∈ p i A pi et donc a/b + p i A pi est l’image de c ∈ A.De plus cette surjection passe au quotient et on a donc une surjection A/p i → A pi /p i A pi .Mais ces deux anneaux sont des corps et le morphisme est donc injectif, i.e. A/p i ≅ A pi /p i A pi .Comme par le lemme (1.20) on a A pi = O i et que son idéal maximal est p i A pi = M i , on aune flèche A → ∏ i O i /M i qui est surjective et il suffit de prendre pour a l’antécédent de(a i + M i ) i=1...n . ∎Lemme 1.21 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension algébrique de corps, alors :(i) Γ L ⊆ div(Γ K ) ;(ii) k K ⩽ k L est une extension algébrique.Proof .(i) Soit w(x) ∈ Γ L , comme K ⩽ L est algébrique, il existe P ∈ K[X] tel que P(x) = ∑ i a i x i =0. Mais alors, comme w(P(x)) = ∞ il existe i et j distincts tels que w(a i x i ) = w(a j x j )et donc (j − i)w(x) = v(a i ) − v(a j ) ∈ Γ K .(ii) Soient res(x) ∈ k L et P ∈ K[X] tel que P(x) = ∑ i a i x i = 0. Soit a i0 de valuationminimale parmi les a i , on a alors Q(x) = ∑ i a i a −1i 0x i ∈ O v [x] qui annule x. Comme lecoefficient i 0 de Q est 1, celui de res Q aussi, i.e. res(Q) est un polynôme non nul, etres(Q)(res(x)) = res(Q(x)) = 0.∎Corollaire 1.22 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension algébrique de corps valués. Si v est triviale alors w est trivialeaussi.Proof . Comme div({0}) = {0}, c’est une conséquence immédiate du lemme qui précède.Lemme 1.23 :Soit O un anneau de valuation, alors O est intégralement clos (dans son corps de fractions K).Proof . Soient P ∈ O[X] unitaire et x ∈ K tel que P(x) = 0. Notons P = ∑ n i=0 a ix i et supposonsque v(x) < 0. Alors pour tout i < n, on a v(a i x i ) = v(a i )+i⋅v(x) ⩾ iv(x) > n⋅v(x) = v(a n x n )et donc v(P(a)) = n ⋅ v(x) ≠ ∞ = v(0), ce qui est absurde, donc x ∈ O.∎Lemme 1.24 :Soit (K, v) un corps valué algébriquement clos, on a alors :∎10

1 Corps valués algébriquement clos(i) Γ K est divisible ;(ii) k K est algébriquement clos.Proof .(i) Soient v(x) ∈ Γ K et n ∈ N. Comme K est algébriquement clos, il existe y ∈ K tel quey n = x. On a alors nv(y) = v(x).(ii) Soit P ∈ k K [X] unitaire il existe alors Q ∈ O v [X] unitaire tel que res(Q) = P. Comme Kest algébriquement clos il existe x ∈ K tel que Q(x) = 0. Comme O v est intégralementclos par le lemme (1.23), on a x ∈ O v et P(res(x)) = res(Q(x)) = 0.∎Lemme 1.25 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valués. Alors w ○ σ est une valuation sur Lpour tout σ ∈ Aut(L/K) et ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ est la clôture intégrale de O v dans L.Proof . Le fait que w ○ σ soit une valuation suit de vérifications évidentes. De plus, commeO w○σ est intégralement clos dans L (voir lemme (1.23)), la clôture intégrale de O v est inclusedans ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Réciproquement, soit x ∈ ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Comme l’extension estnormale, P(X) = ∏ σ∈Aut(L/K) (X − σ(x)) ∈ K[X] et comme O w○σ = σ −1 (O w ), pour toutσ ∈ Aut(L/K), w(σ(x)) ⩽ 0 et donc P ∈ O w [X]. Mais, comme O w ∩K = O v , on a P ∈ O v [X]et ce polynôme est unitaire et annule x.∎Lemme 1.26 :Soit (K, v) un corps valué, K ⩽ L une extension algébrique de corps et O 1 ⊆ O 2 deux anneaux devaluation de L au dessus de O v , alors O 1 = O 2 .Proof . Montrons tout d’abord que M 2 ⊆ O 1 , où M 2 est l’idéal maximal de O 2 . Soit x ∈ M 2 ,comme O 1 est un anneau de valuation, on a x ∈ O 1 ou x −1 ∈ O 1 . Si x −1 ∈ O 1 ⊆ O 2 alors xest inversible dans O 2 ce qui est absurde. De plus comme M 2 est un idéal de O 2 ⊇ O 1 c’estaussi un idéal de O 1 . On a alors Ô1 = O 1 /M 2 ⊆ O 2 /M 2 = k 2 .Comme O 1 et O 2 sont des anneaux de valuation au dessus de O K , on a en particulier queM K ⊆ M 2 ∩ O et donc que k K = O K /M K ⊆ Ô1. D’après le lemme (1.21), k K ⩽ k 2 est uneextension algébrique, et comme on a k K ⊆ Ô1 ⊆ k 2 , il s’en suit que pour tout x ∈ Ô1, k K [x]est une k-algèbre de dimension finie, intègre, donc un corps. Comme tout élément de Ô1est inversible, c’est donc un corps. Mais Ô1 est un anneau de valuation de k 2 . En effet, soit̂x ∈ k 2 , où x ∈ O 2 ⊆ K 2 . Si x ∈ O 1 alors ̂x ∈ Ô1 et si x −1 ∈ O 1 alors (̂x) −1 = ̂x −1 ∈ Ô1. On adonc Ô1 = Frac(Ô1) = k 2 . Il s’en suit immédiatement que O 1 = O 2 .∎Lemme 1.27 :Soient v et (v i ) i=1...n des valuations non triviales de K telles que ⋂ i O vi ⊆ O v , alors il existe unindice i 0 tel que O v et O vi0 sont comparables.Proof . Quitte à retirer les j tels que O vi ⊆ O vj pour un certain i ≠ j, on peut supposerqu’aucune des valuations v i ne sont comparables. Supposons alors que v n’est comparableà aucune des valuations v i , alors par le théorème (1.19), il existe x ∈ ⋂ i O vi ∩ O v tel quev(x − 1) > 0 et v i (x) > 0 pour tour i. Mais alors comme v(x) > 0 implique v(x − 1) = 0, on11

1 Corps valués algébriquement closa donc v(x) = 0. De même on trouve y ∈ K tel que v(y) > 0 et v i (y) = 0 pour tout i. Maisalors v(x/y) = −v(y) < 0 et v i (x/y) = v i (x) > 0 pour tout i, ce qui contredit le fait que⋂ i O vi ⊆ O v .∎Théorème 1.28 (Théorème de conjugaison) :Soit (K, v) un corps valué et (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valué, alors toutevaluation w ′ sur L qui étend v est de la forme (à équivalence près) w ○ σ pour σ ∈ Aut(L/K).Proof . Le cas où v est triviale est traitée dans le corollaire (1.22), on peut donc supposer qu’ellene l’est pas.Comme w ′ étend v, O w ′ ∩K = O v . De plus, d’après le lemme (1.23), O w ′ est intégralementclos dans L et d’après le lemme (1.25), ⋂ σ∈Aut(K/K) O w○σ est la clôture intégrale de O v dansL, on a donc ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ ⊆ O w ′. Mais alors d’après le lemme (1.27), comme Aut(L/K)est fini, il existe σ ∈ Aut(L/K) tel que O w ′ et O w○σ sont comparables et donc, par le lemme(1.26), w ′ et w ○ σ sont équivalentes. ∎Le résultat que l’on utilisera vraiment est une extension de ce théorème à toute la clôturealgébrique.Corollaire 1.29 :Soient (K, v) un corps valué, K 1 et K 2 deux clôtures algébriques de K. Soient v 1 et v 2 des valuationssur K 1 et K 2 respectivement qui étendent v. Alors il existe σ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ) tel que v 1 = v 2 ○ σ (àéquivalence près).Proof . Soit X ∶= {(L 1 , σ) ∶ K ⩽ L 1 ⩽ K 1 , σ ∈ End K (L 1 , K 2 ) et v 1 L1 = v 2 ○ σ}. Cet ensembleordonné par l’inclusion est inductif et donc par le lemme de Zorn, il existe (L 1 , σ) ∈ X maximal.Montrons que L 1 = K 1 . On aura alors K ⩽ σ(K 1 ) ⩽ K 2 et σ(K 1 ) algébriquement clos d’oùσ(K 1 ) = K 2 et on aura terminé.Supposons donc, par l’absurde, qu’on ait a ∈ K 1 /L 1 . Soit L1 ′ la clôture normale de L 1[a].Comme K 1 est la clôture algébrique de L 1 , par unicité de la clôture algébrique (au dessusd’un isomorphisme), on peut étendre σ en σ ′ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ). Le corps L1 ′ est muni de deuxvaluations qui sont les restrictions de v 1 et v 2 ○ σ ′ , et ces deux valuations coïncident surL 1 . Par le théorème (1.28), il existe τ ∈ Aut(L1 ′ /L 1) tel que v 1 L ′1= v 2 ○ σ ′ ○ τ. Mais alors(L1 ′ , σ′ ○ τ) ∈ X, ce qui contredit le fait que (L 1 , σ) soit maximal. ∎1.3 Élimination des quantificateurs dans ACVFLa preuve de l’élimination des quantificateurs pour les corps valués est adaptée de celle de[Cha08] en utilisant un autre critère, plus élémentaire.Lemme 1.30 (Critère d’élimination des quantificateurs) :Une théorie T dans un langage L admet l’élimination des quantificateurs si et seulement si pourtous modèles M et N de T qui contiennent une L-structure commune A, toute formule ϕ sansquantificateurs de L A et m ∈ M tel que M ⊧ ϕ[ m], il existe n ∈ N tel que N ⊧ ϕ[ n].12

1 Corps valués algébriquement closOn veut maintenant utiliser le critère précédent, mais il est plus simple de d’abord supposerque A est un modèle, puis en déduire le cas où A n’est qu’une structure en utilisant lethéorème de conjugaison.Lemme 1.31 :Soient (K, v) et (L, w) deux modèles de ACVF tels que (K, v) est une sous-structure de (L, w) etϕ une formule sans quantificateurs de L A , on a L ⊧ ∃xϕ[x] si et seulement si K ⊧ ∃xϕ[x]Proof . D’après la remarque (1.7), K est un sous-corps de L muni de la restriction de la valuation.Soit alors m ∈ L tel que L ⊧ ϕ[m, a]. On veut montrer qu’il existe m ′ ∈ K tel que K ⊧ϕ[m ′ , a]. Si m = 0 alors il est déjà dans K et c’est évident. On peut donc supposer m inversibleet comme toute formule sur m est équivalente à une formule sur m −1 (il suffit de remplacerx par 1/x dans les polynômes qui apparaissent et multiplier par la bonne puissance de x pourque cela garde un sens), on peut supposer que w(m) ⩾ 0. De même, si m est algébrique surK, qui est algébriquement clos, on a m ∈ L et c’est fini. On peut donc aussi supposer que mest transcendant sur K.Il y a donc trois cas qui correspondent aux différentes formes d’extension transcendante.Extension purement ramifiée : Supposons qu’il existe b ∈ K tel que w(m−b) /∈ Γ K . Quitteà considérer ϕ[x + b, a], on peut considérer que w(m) /∈ Γ K . On peut alors supposer(comme toujours) que ϕ est une conjonction d’atomes et de négation d’atomes, i.e. dela forme suivante :n⋀i=1¬P i (x) = 0 ∧ n′⋀j=1R j [x] div R ′ j [x] ∧n′′⋀j=n ′ +1¬R j [x] div R ′ j [x]Notons R j = λ 1 ∏ k (x − a j,k ) n j,ket de même pour Rj ′ . Quitte à agrandir a, on peutsupposer que toutes les racines sont dedans. Soit alors (G, D) la coupure de w(m)dans v( a), i.e. G = {x ∈ a ∶ w(x) < w(m)} et D = {x ∈ a ∶ w(m) < w(x)}. On a alorsw(R j (m)) = w(λ) +∑a j,k ∈Get donc R j (m) div Rj ′ (m) si et seulement si :n j,k w(a j,k ) +w( λ jλj′ )+ ∑ n j,k w(a j,k )− ∑ n j,k ′ w(a′ j,k )+( ∑a j,k ∈Ga j,k ′ ∈Ga j,k ∈D∑a j,k ∈Dn j,k −n j,k w(m)∑a ′ j,k ∈D n ′ j,k)w(m) ⩽ 0,c’est-à-dire n j w(m) ⩽ b j avec n j ∈ Z et b j ∈ Γ K . Comme L est algébriquement clos,Γ K est divisible (voir lemme (1.24)) et comme w(m) /∈ Γ K , R j (m) div Rj ′ (m) est doncéquivalent à w(m) < bj ′ ou w(m) > b′ j avec b′ j ∈ Γ K. Quitte à supposer que les bj ′ sontdans v( a), les conditions sur la valuation de m (même les négations) sont donc touteséquivalentes à la réalisation de la coupure de w(m) sur v( a). Mais comme Γ K ⊧ DLOdont tous les modèles sont ω-saturés, il existe m ′ ∈ K qui réalise cette coupure. Deplus pour tout u ∈ K tel que w(u) > w(m ′ ), w(m ′ + u) = w(m ′ ) réalise aussi cettecoupure et il y a donc une infinité de valeurs possibles pour m ′ . Il suffit d’en prendreune qui n’annule aucun des P i et on a alors K ⊧ ϕ[m ′ , a].13

1 Corps valués algébriquement closExtension purement inertielle : Supposons qu’il existe b et c ∈ K tel que res((m − b)/c) /∈k K . Quitte à considérer ϕ[cx + b, a], on peut considérer que res(m) /∈ k K .Si on a b ∈ K tel que v(b) = w(m), on a alors w(m−b) ⩾ w(m) ⩾ 0. Mais si w(m−b) >0 on a alors res(m − b) = 0 et donc res(m) = res(b) ∈ k K ce qui est absurde. Doncw(m − b) = 0. Soit alors (G, E, D) la coupure de w(m) dans v( a), où E = {x ∈ a ∶w(x) = w(m)}. On a alors :w(R j (m 1 )) = w(λ j ) +∑a j,k ∈Gn j,k w(a j,k ) +∑a j,k ∈Dn j,k w 1 (m 1 ).Comme k K est algébriquement clos pas le lemme (1.24), il est infini et il y a donc uneinfinité de m ′ ∈ K tels que w(m ′ ) = 0 et res(m ′ ) ≠ res(b) pour tout b ∈ a. On enchoisit un qui n’annule aucun des P i . On peut alors vérifier que pour tout b ∈ a on aw(m − b) = w(m ′ − b). En effet, si b ∈ D, w(m ′ − b) = w(m ′ ) = 0 = w(m − b), sib ∈ G, w(m ′ − b) = w(b) = w(m − b) et si w(b) = 0, w(m ′ − b) ⩾ 0 mais commeres(m ′ ) ≠ res(b), w(m ′ − b) ⩽ 0 et donc w(m ′ − b) = 0 = w(m − b). Il s’en suit doncque K ⊧ ϕ[m ′ , a].Extension immédiate : Il reste le cas où, pour tout b ∈ K, w(m − b) ∈ Γ K et pour tous b, c ∈K, res((m − b)/c) ∈ k K . L’ensemble X = {w(m − b) ∶ b ∈ K} n’a alors pas de maximum.En effet soit b, c ∈ K tel que w(m − b) = w(c). On a alors w((m − b)/c) = 0 et il existedonc u ∈ K tel que res(u) = res((m − b)/c). On a donc w((m − b)/c − u) > 0 et doncw(m−(b+uc)) > w(c) = w(m−b). On peut donc trouver m ′ ∈ K tel que w(m ′ −m) >w(m−b) pour tout b ∈ a. On a alors w(m ′ −b) = w(m ′ −m 1 +m 1 −b) = w(m−b) etdonc pour tout polynôme P ∈ K[X] à racines dans a, w(P(m)) = w(P(m ′ )). De pluscomme X n’a pas de maximum, il y a une infinité de m ′ qui conviennent. On peut doncen prendre un qui n’annule aucun des P i . On a alors K ⊧ ϕ[m ′ , a].∎Remarque 1.32 :(i) La modèle complétude nous permet de comprendre la clôture algébrique dans ACVF. En effet,soit (K, v) ⊧ ACVF et A ⊆ K. Comme L div contient le langage des anneaux, il est évidentque acl(A) contient K ′ = Frac(< A >) alg , i.e. la clôture algébrique du corps des fractions del’anneau engendré par A (que l’on notera dorénavant A alg même si A n’est qu’un ensemblequelconque de paramètres). De plus, il est évident que K ′ est un corps valué algébriquementclos et donc K ′ ≼ K, ce qui implique que acl(A) ⊆ K ′ = A alg et donc acl(A) = A alg .(ii) En revanche, dcl n’est pas la clôture rationnelle comme c’est le cas dans les corps algébriquementclos. C’est en fait l’hensélianisé. En reprenant les notations précédentes, commeL div contient le langage des anneaux, Frac(< A >) ⊆ dcl(A) on peut donc supposer queA = Frac(< A >) et donc que A est un corps. On choisit alors A h un Hensélianisé de A.Comme K est algébriquement clos (et donc Hensélien) il s’en suit que A h s’injecte dans K.Quitte à l’identifier à son image, on peut donc considérer que c’est un sous-corps de K. Soitalors σ un automorphisme de K (en tant que corps valué) qui fixe A. Il s’en suit que si on notei ∶ A → A h et j ∶ A h → K les injections induites par l’inclusion, on a σ ○ i = σ A = j ○ i etdonc par la propriéte universelle de l’Hensélianisé, σ A h = j i.e. A h est fixé point par point14

1 Corps valués algébriquement clospar σ. Il s’en suit donc que A h ⊆ dcl(A). Toujours comme L div contient le langage des anneaux,dcl(A) doit contenir K ′ = A hins , la clôture inséparable de A h . Montrons alors quedcl(A) = K ′ .Soit x ∉ /K ′ . Comme x est séparable au dessus de K ′ , il existe un automorphisme σ de K quifixe K ′ mais pas x. Mais comme K ′ est Hensélien par le corollaire (1.12), v est v ○ σ qui sontdeux valuations de K qui coïcident sur K ′ sont équivalentes, i.e.σ(O K ) = O K et donc σ estun automorphisme de K en temps que corps valué. On a donc x ∉ dcl(A).Théorème 1.33 :La théorie ACVF admet l’élimination des quantificateurs dans le langage L div .Proof . Soient (K 1 , v 1 ) et (K 2 , v 2 ) deux modèles de ACVF et (K, v) un sous-corps valué commun(qui est bien une sous-L div -structure de chacun des modèles par la remarque (1.7)).Soient (K1 ′ , v′ 1 ) et (K′ 2 , v′ 2 ) les clôtures algébriques de K dans K 1 et K 2 respectivement, munisdes restrictions des valuations. Par le corollaire (1.29), il existe σ ∈ Iso K (K1 ′ , K′ 2) qui soitun isomorphisme de corps valué. Il induit un plongement de K1 ′ dans K 2 et on peut doncremplacer K par K1 ′ , i.e. considérer que K est algébriquement clos.Soient alors ϕ[x] ∈ L div sans quantificateurs à paramètres dans K et m 1 ∈ K 1 tel que K 1 ⊧ϕ[m 1 ]. D’après le lemme (1.30), il suffit de vérifier qu’il existe m 2 ∈ K 2 tel que K 2 ⊧ ϕ[m 2 ].Si K est de valuation non triviale, c’est un modèle de ACVF et donc par le lemme (1.31), K 1 ⊧∃xϕ[x] implique K ⊧ ∃xϕ[x], qui implique K 2 ⊧ ∃x ϕ[x].Reste le cas où K est trivialement valué. La preuve du lemme (1.31) marche encore et permet detrouver un m ∈ K tel que K ⊧ ϕ[m] et donc, comme ϕ est sans quantificateurs, K 2 ⊧ ϕ[m],sauf dans le cas de l’extension totalement ramifiée, car on a alors {0} ⊭ DLO. Mais dans cecas-là, la coupure de m 1 sur K se résume à savoir si v(m 1 ) > 0 ou pas. Il suffit alors de choisirm 2 ∈ K 2 qui n’annule aucun des P i et tel que v(m 2 ) > 0 si et seulement si v(m 1 ) > 0. Onaura alors bien K 2 ⊧ ϕ[m 2 ].∎Une première remarque que l’on peut faire est que l’élimination des quantificateurs dans lelangage tri-sorté se déduit assez facilement du résultat que l’on donne ici et permet de démontrerque Γ est un pur groupe abélien totalement ordonné, divisible et sans torsion et quek est un pur corps algébriquement clos.Comme souvent, il n’est pas difficile de déduire les complétions d’une théorie, une fois quel’on sait qu’elle admet l’élimination des quantificateurs.Corollaire 1.34 (Complétude de ACVF) :Les complétions de ACVF sont données par la caractéristique du corps et celle du corps résiduel(appelée caractéristique résiduelle). Les cas possibles sont (0, 0), (0, p) et (p, p) où p est un nombrepremier. On note ACVF (n,m) ces différentes complétions.Proof . Le fait qu’un corps est de caractéristique p ≠ 0 s’exprime au premier ordre dans L div par∑ p i=11 = 0. De même, le fait qu’il soit de caractéristique résiduelle p s’exprime par v(p) > 0i.e. ¬(∑ p i=11 div 1). Les complétions de ACVF fixent donc bien ces deux caractéristiques.D’autre part, comme on a un morphisme d’anneau qui va de O l’anneau de valuation (quiest de même caractéristique que le corps valué) vers k, le corps résiduel, il s’en suit que la15

1 Corps valués algébriquement closcaractéristique résiduelle divise la caractéristique et les cas possibles sont donc bien (0, 0),(0, p) et (p, p).Si un corps valué K est de caractéristique (0, 0), alors Z ⊆ K. Comme pour tout n ∈ Z /{0},v(n) = v(∑ n i=1 1) ⩾ v(1) = 0 mais qu’on ne peut pas avoir v(n) > 0, on a v(n) = 0 et doncZ muni de la valuation triviale est une sous-structure de tous les corps valués de caractéristique(0, 0), par élimination des quantificateurs, cela suffit pour montrer que ACVF (0,0) estcomplète.Si un corps K est de caractéristique (0, p), alors Z ⊆ K, mais maintenant, pour tout n ∈ Z /{0}on a v(n) > 0 ⇐⇒ res(n) = 0 ⇐⇒ p∣n. D’où Z muni de la valuation p-adique (voirdéfinition (2.6)) est une sous-structure commune à tous les modèles de ACVF (0,p) . Enfin, si Kest de caractéristique (p, p), alors Z /p Z muni de la valuation triviale est une sous-structurede K.∎Une autre conséquence de ce résultat d’élimination des quantificateurs est un résultat deHolly (voir la proposition (1.36)), qui donne une description canonique des ensembles définissablesde ACVF. Cette description utilise des sous-ensembles d’un corps valués qui sontparticulièrement importants : les boules. Si (K, v) est un corps valué, pour tout γ ∈ Γ K eta ∈ K, on note B ⩾γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x − a) ⩾ γ}, la boule fermée de centre a et de rayon γet B >γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x − a) > γ}, la boule ouverte de centre a et de rayon γ. Une boulede K est alors n’importe quel ensemble définissable qui soit d’une de ces deux formes. Il fautcependant faire attention au fait que si K ⩽ L, l’empreinte d’une boule de L dans K n’est pasforcément une boule.Définition 1.35 (Fromage suisse) :Soit (K, v) un corps valué. Un fromage suisse de K est un ensemble de la forme b/(⋃ n i=1 b i) où bet les b i sont des boules. On dira que deux fromages suisses sont trivialement emboîtés si la bouleextérieure de l’un est un trou de l’autre.Proposition 1.36 ([Hol95, Théorème 3.26]) :Soit (K, v) ⊧ ACVF, tout sous-ensemble définissable de K s’écrit de manière unique comme uneunion finie de fromages suisses non trivialement emboîtés.Enfin, maintenant que l’on sait que ACVF admet l’élimination des quantificateurs, l’étude desformules faite dans la preuve de (1.31) permet de décrire le cardinal des ensemble définissables.Proposition 1.37 :Soit (K, v) ⊧ ACVF, alors tout ensemble définissable dans K est soit fini soit du cardinal de K.Proof . Montrons tout d’abord qu’il suffit de considérer les ensembles à une variable. SoientX ⊆ K n définissable et π i la projection sur la i-ième composante. Si tous les π i (X) sont finis,alors X est inclus dans un produit fini d’ensemble finis et est donc fini. Par contre, si l’un desπ i (X) est infini, il suffit de montrer que ce π i (X) est de même cardinal que K car c’est alorsaussi le cas de X qui se surjecte sur cet ensemble.Soit alors X ⊆ K définissable par une formule ϕ. Par élimination des quantificateurs, on peutsupposer que c’est une disjonction de conjonctions d’atomes et de négations d’atomes. Il suffitalors de le montrer pour les conjonctions. En effet si elles définissent toutes un ensemblefini alors X aussi et si l’une d’entre elles définit un ensemble infini, il serait alors du même16

1 Corps valués algébriquement closcardinal que K et donc X aussi car il le contient. On peut donc supposer que X est défini parune conjonction. Si un atome de la forme P(x) = 0 apparaît alors X est fini. On peut doncsupposer que X est défini par une formule de la forme :n⋀i=1¬P i (x) = 0 ∧ n′⋀j=1R j [x] div R ′ j [x] ∧n′′⋀j=n ′ +1¬R j [x] div R ′ j [x].De plus, on peut écrire tous les polynômes qui apparaissent sous forme scindée et supposerque les racines sont dans l’ensemble fini A des paramètres qui définissent X. Si X est videalors c’est fini, sinon soit m ∈ X. L’ensemble {v(m − a) ∶ a ∈ A} est fini et soit γ qui lemajore. Montrons que la boule B >γ (m) ⊆ X. Tous les points de cette boule sont distincts desracines des P i car par définition de γ, v(m − a) ⩽ γ. De plus, soit m ′ ∈ B >γ (m), pour touta ∈ A, v(m ′ − a) = v(m ′ − m + m − a) = v(m − a) car v(m ′ − m) > γ ⩾ v(m − a). Pourtout polynôme Q qui apparaît dans la formule, on a donc v(Q(m ′ )) = v(λ ∏ i (m ′ − a i )) =v(λ) + ∑ i v(m ′ − a i ) = v(λ) + ∑ i v(m − a i ) = v(Q(m)) et il s’en suit que m ′ vérifie aussi laformule.Il suffit donc de montrer que toute les boules ouvertes de rayon fini sont de même cardinalque K, et comme elles sont toutes de la forme a + xM où v(x) est le rayon de la boule, il suffitde montrer que M a le même cardinal que K. Mais comme on a un morphisme de groupev ∶ K ∗ → Γ dont le noyau est R/M et que la valuation est non triviale, M contient au moinsun translaté du noyau et comme K = M ∪ (R/M) ∪ M −1 , il s’en suit que M est de mêmecardinal que K.∎1.4 Élimination des imaginaires dans un cadre abstraitUne fois la question de l’élimination des quantificateurs traitée, l’autre question qui se posecomme préliminaire à l’étude de toute théorie est celle de l’élimination des imaginaires. Eneffet, l’élimination des quantificateurs permet une description extrêmement simple de tousles ensembles définissables, mais il reste le problème des quotients définissables. A priori,ils ne sont pas représentées comme de « vrais » points des structures mais n’existent qu’entant qu’ensembles de classes d’équivalence, ce qui les rend compliqués à traiter. Le but del’élimination des imaginaires est justement d’en faire de vrais points.Dans les définitions qui suivent, on distinguera, comme dans [Hod93], des notions uniformeset non-uniformes d’élimination des imaginaires. On ne définira cependant pas la notiond’élimination semi-uniforme qu’il introduit car, par compacité, elle est équivalente à l’éliminationnon-uniforme. Dans tout ce qui suit, L sera un langage.Définition 1.38 (Code et code uniforme) :Soient M une L-structure et X un ensemble M-définissable. On dit que a ∈ M est un code pour Xvia ϕ[ x, y] une L-formule, si X = ϕ[M, a] et que a ′ ≠ a implique ϕ[M, a] ≠ ϕ[M, a ′ ].Si X = θ[M, b], on dit que X est codé uniformément via ϕ[ x, y] si pour tout b ′ ∈ A (bien sorté),il existe un code de θ[M, b ′ ] via ϕ[ x, y].Dans la définition de code, on autorise la variable y à représenter un 0-uplet, dans le cas oùX est ∅-définissable.17

1 Corps valués algébriquement closIl est évident que la notion de codage uniforme sera beaucoup plus pratique que sa versionnon-uniforme, mais dans le cas où la théorie admet suffisamment de constantes, ces deuxnotions coïncident.Lemme 1.39 :Soit M une L-structure telle que dcl(∅) contient au moins deux éléments de la même sorte etun élément de chaque sorte. Soit θ[ x, y] une L-formule telle que pour tout m ∈ M (bien sorté),θ[M, m] ait un code, alors ce codage peut être choisi uniformément.Proof . Pour tout m ∈ M, on a ϕ m[ x, z] et a m qui est un code de θ[M, m] via ϕ m[ x, z].L’ensemble de formules {∀ a (∀ a ′ a ≠ a ′ ⇒ ¬(∀ x ϕ[ x, a] ⇐⇒ ϕ[ x, a ′ ])) ⇒ ¬(∀ x ϕ[ x, a] ⇐⇒θ[ x, m]) ∶ ϕ[ x, z] ∈ L} n’est donc pas satisfaisable et, par compacité, il n’est donc pas finimentsatisfaisable. Il existe donc des formules (ϕ i [ x, z i ]) i=1...n telles que pour tout m, ilexiste a et i tel que a est un code de θ[M, m] via ϕ i [ x, z i ]. De plus, on peut supposer queles z i sont sortés de la même manière, quitte à rajouter des variables de la bonne sorte etspécifier qu’elles doivent être égales à une constante dans ϕ i . On peut donc remplacer les z ipar un unique uplet de variables z.Quitte à remplacer les ϕ par ϕ[ x, z] ∧ (⋀ j

1 Corps valués algébriquement closD’autre part soit N une extension assez saturée et homogène de M et supposons que toutautomorphisme de N fixe a si et seulement si il fixe X. Tout d’abord, comme X est Aut(N / a)-invariant et que N est assez saturé et homogène, il existe une formule ϕ[ x, y] telle queϕ[ x, a] définit X. Posons p = tp( a), l’ensemble de formules p[ y]∪{∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, a], y ≠a} n’est alors pas satisfaisable. En effet s’il l’était, il le serait dans N et il existerait donc σ unautomorphisme de N qui fixe X mais pas a ce qui contredit notre hypothèse. Il existe doncψ[ y] ∈ tp( a) telle que N ⊧ ∀ y(ψ[ y] ∧ ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, a]) ⇒ y = a. Il s’en suit doncque X est codé par a via ϕ[ x, y] ∧ ψ[ y].∎Définition 1.42 (Élimination des imaginaires) :Une théorie T élimine (faiblement) les imaginaires si tout ensemble définissable d’un modèle de Tadmet un code (faible). L’élimination (faible) est dite uniforme si tout ensemble définissable est codé(faiblement) uniformément.Une conséquence immédiate du lemme (1.39) est que si une théorie admet suffisamment deconstantes, alors elle a l’élimination des imaginaires si et seulement si elle a l’éliminationuniforme des imaginaires.La présentation qu’on a choisi de prendre ici passe par la notion de code mais, comme je l’aifait remarquer précédemment, l’élimination des imaginaires est essentiellement, et historiquement,liée à la question de représenter les classes d’équivalence définissables (qui sont enquelque sorte des points « imaginaires ») par de « vrais » points du modèle.Lemme 1.43 :Soit T une L-théorie, elle élimine uniformément les imaginaires si et seulement si pour toute L-formule qui définit une relation d’équivalence E dans T, il existe une L-formule qui défini unefonction f dans T telle que T ⊢ E[ x, y] ⇐⇒ f( x) = f( y).Proof . Supposons que T élimine uniformément les imaginaires et soit M ⊧ T et E une relationd’équivalence définissable. Comme les classes d’équivalence de E sont toutes définies par desformules de la forme E[ x, a], où a ∈ M, par élimination uniforme des imaginaires, il existeune L-formule ϕ[ x, y] telle que E[M, a] est codée via ϕ. La formule ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ E[ x, z]définit donc une fonction qui vérifie bien les propriétés voulues.Réciproquement, soit ϕ[ x, y] une L-formule, on définit E[ y, y ′ ] ∶= ∀ x ϕ[ x, y] ⇐⇒ ϕ[ x, y ′ ]qui est bien une relation d’équivalence. Par hypothèse, il existe une fonction définissable f Etelle que E[ y, y, ] ⇐⇒ f E ( y) = f E ( y ′ ). Il est alors facile de voir que f E ( a) code uniformémentϕ[M, a] via θ[ x, z] ∶= ∃ y ϕ[ x, y] ∧ f E ( y) = z).∎La notion d’imaginaire a été introduite par S. Shelah (voir [She78, Definition 6.2, p. 129]) àtravers la construction suivante, dont l’utilité en théorie des modèle n’est plus à démontrer.Définition 1.44 (T eq et M eq ) :Soit T une L-théorie, on lui associe un langage L eq qui contient, pour toute relation E[ x, y] ∅-définissable (où x et y ont la même longueur) telle que T ⇒ « E est une relation d’équivalence »,une sorte S E et un symbole de fonction f E ∶ S = → S E . Ce langage contient L sur la sorte S = (si L estdéjà un langage multi-sorté, la sorte S = est en fait une union de sortes...). On définit alors la théorieT eq qui contient T ramenée à la sorte S = et les formules ∀ x∀ y f E ( x) = f E ( y) ⇐⇒ E[ x, y].19

1 Corps valués algébriquement closÀ tout modèle M de T on associe M eq ⊧ T eq en interprétant S E par l’ensemble des classes d’équivalencede E et f E par la surjection canonique.La structure M eq est alors, en quelque sorte la structure de M et de tous ses imaginaires.Remarque 1.45 (Quelques propriétés de M eq ) :(i) Soit ϕ[x 1 , . . . , x n ] ∈ L eq , il existe alors ψ[y 1 , . . . y n ] ∈ L tel queoù S Ei est la sorte de x i .T eq ⊢ ϕ[f E1 (y i ), . . . , f En (y n )] ⇐⇒ ψ[y 1 , . . . , y n ](ii) Si M ⊧ T eq et N ⊆ M alors N ⊧ T eq si et seulement si S = (N) ⊧ T.(iii) Si N ≼ M alors N eq ≼ M eq .(iv) Si T est modèle-complète alors T eq l’est aussi. Néanmoins, en règle générale, si T élimine lesquantificateurs, ce n’est pas forcément le cas de T eq .(v) T eq élimine uniformément les imaginaires.Lemme 1.46 :Soient M une L-structure, X un ensemble définissable et a ∈ M. Alors, X est codé par a si etseulement si dcl eq ( a) = dcl eq (⟨X⟩), où ⟨X⟩ est un code de X dans M eq et X est faiblement codépar a si et seulement si ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a) et a ∈ acl eq (⟨X⟩).Proof . Quitte à agrandir M, on peut le supposer assez saturé et homogène. Si X est codé para, un automorphisme de M eq fixe X et donc ⟨X⟩ si et seulement si il fixe a et on a donc bienque a ∈ dcl eq (⟨X⟩) et ⟨X⟩ ∈ dcl eq (a). La réciproque est évidente.Si X est faiblement codé par a via ϕ[ x, y], tout automorphisme qui fixe ⟨X⟩ et donc X nepeut envoyer a que sur l’un des a ′ en nombre fini tel que ϕ[x, a ′ ] définit aussi X et donca ∈ acl eq (⟨X⟩). Comme X est définissable sur a on a aussi bien sûr ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a). Réciproquement,si ⟨X⟩ ∈ dcl eq ( a), il existe ϕ[x, a] qui définit X. Si l’on note p = tp( a) et n lataille de son orbite au dessus de ⟨X⟩, par une compacité à peine plus compliquée que dans laproposition (1.41), il existe ψ ∈ p tel que si on a n éléments distincts de M qui vérifient ψ etqui définissent X via ϕ[ x, y] alors l’un d’entre eux est a. Il est alors facile de voir que X estcodé faiblement pas a via ϕ[ x, y] ∧ ψ[ y].∎Enfin, montrons que ce qui fait la différence entre les codes et les codes faibles, c’est simplementla capacité de coder les ensembles finis.Lemme 1.47 :Soit M une L-structure qui admet des codes pour les ensembles finis. Un ensemble définissable aalors un code si et seulement si il a un code faible.Proof . Tout d’abord, il est évident qu’un code est aussi un code faible. Réciproquement, soit El’ensemble fini des conjugués de a au dessus de ⟨X⟩ (un code dans M eq ) et σ ∈ Aut(M eq /⟨X⟩).Comme σ fixe ⟨X⟩, on a σ(X) = X, i.e. ϕ[M, σ( a)] = X. Il s’en suit donc que pour tout a ′ ∈ E,ϕ[x, a ′ ] défini X. Tout automorphisme qui fixe X envoie un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩sur un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩ et donc fixe E. Réciproquement, tout automorphisme20

1 Corps valués algébriquement closqui fixe globalement E fixe X comme on vient de le démontrer. Tout code de E est donc uncode de X.∎Exemple 1.48 :(i) La théorie des corps algébriquement clos élimine uniformément les imaginaires. C’est l’exemplequi a motivé la définition de cette notion dans [Poi83]. La théorie des corps réels clos élimineaussi uniformément les imaginaires.(ii) Th(Q,

1 Corps valués algébriquement closVérifions alors que ⟨g⟩ code aussi f. Supposons que ⟨g⟩ code g via χ[x 1 , t, s]. Quitte à remplacerχ[x 1 , t, s] par « χ[x 1 , t, s] définit une fonction totale » ∧χ[x 1 , t, s], on peut supposerque pour tout m χ[x 1 , t, m] est soit vide, soit définit une fonction totale. La formuleψ[ x, y, ⟨g⟩] = ∃ t θ[x2 , . . . , x n , y, t] ∧ χ[x1 , t, ⟨g⟩] définit alors f. En effet, si ( x, y) ∈ f, cetteformule est vérifiée pour t = ⟨fx1 ⟩. Réciproquement, si ( x, y) vérifie cette formule, comme gest une fonction, on a alors forcément t = ⟨fx1 ⟩ et donc (x 2 . . . x n y) ∈ f x1 , i.e. ( x, y) ∈ f. Enfin,si m ≠ ⟨g⟩, soit χ[x, y, m] définit l’ensemble vide et donc ψ aussi, soit elle définit une fonctiong m, mais il existe alors c 1 ∈ M tel que g m(c 1 ) ≠ g(c 1 ) = ⟨f c1 ⟩. Il y a alors deux cas possibles.Soit il existe (c 2 . . . c n , d) ∉ f c1 , i.e. ( c, d) ∉ f, tel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )].On a alors M ⊧ ψ[c, d, m] mais (c, d) ∉ f. Soit il existe (c2 . . . c n ) tel qu’il n’existe pas de dtel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )], mais alors ψ[ c, M, m] est l’ensemble vide. Comme fest totale, ψ[ x, y, m] ne peut pas définir f. On a donc que f est codé par ⟨g⟩ via ψ[ x, y, z]. ∎Prouvons maintenant un théorème de [HM08] qui permet de déduire l’élimination des imaginairesdans une théorie en utilisant une autre théorie qui les élimine. C’est le théorèmequi sera utilisé pour montrer l’élimination des imaginaires dans la théorie de Q p en utilisantles corps valués algébriquement clos. On a cependant besoin pour la preuve de la notion degerme que l’on commence donc par définir.Définition 1.50 (Germe) :Soient M une L-structure, f une fonction M-définissable définie par ϕ[ x, y, m], où m ∈ M et p ∈S(M) un type tel que f soit définie sur p. On note ∂ p f la classe d’équivalence de f pour la relationd’équivalence E(m, m ′ ) ∶= (∀ y, ϕ[ x, y, m] = ϕ[ x, y, m ′ ] ∈ p), i.e. l’ensemble des fonctions quicoïncident avec f sur une réalisation de p dans une extension élémentaire de M.Si le type p est définissable, cette relation d’équivalence est définissable et si, de plus, Th(M) élimineles imaginaires, ∂ p f est un point.Dans tous les cas, si on a A ⊆ M tel que p est Aut(M /A)-invariant, on peut parler de l’action deAut(M /A) sur ∂ p f (même si ce n’est pas un point), en posant σ(∂ p f) = ∂ p σ(f).La preuve nécessite aussi un lemme combinatoire sur les groupes d’automorphismes d’unmodèle assez saturé et homogène qui découle du lemme de Neumann.Lemme 1.51 (Lemme de Neumann) :Soient G un groupe et (g i H i ) i=1...n des translatés de sous-groupes de G tels que :G =alors l’un des H i au moins est d’indice fini.⋃ g i H i ,i=1...nCe lemme est énoncé et prouvé dans [Neu54, Lemma 4.1, p. 239].Corollaire 1.52 :Soient M un modèle assez universel et homogène et (e i ) i∈N une famille de points telle que toutautomorphisme de M fixe tous les e i sauf un nombre fini. Il y a alors au plus un nombre fini de e iqui ont une orbite infinie sous l’action des automorphismes de M.Proof . Supposons par l’absurde qu’il y ait une infinité de e i qui ont une orbite infinie et montronsqu’il existe alors un automorphisme qui ne fixe aucun de ces e i . Quitte à en oublier,22

1 Corps valués algébriquement closon peut supposer qu’ils ont tous une orbite infinie. Montrons tout d’abord que pour tout ensemblefini de e i il existe des automorphismes qui n’en fixent aucun. Soient donc e i1 , . . . e inet supposons que tout automorphisme de M en fixe au moins un. Si on note H j le stabilisateurde e j dans G, on a alors G = ⋃ j H j , mais comme tous ces sous-groupes sont d’indiceinfini (leur indice est égal au cardinal de l’orbite du e i correspondant), on a une contradictionpar le lemme de Neumann (voir (1.51)).Notons alors p i = tp(e i /e j

1 Corps valués algébriquement closProof . Commençons par remarquer une conséquence immédiate de la condition (iii).Lemme 1.54 :Les ensembles finis sont codés dans M ⊧ T.Proof . Soit E ⊆ M n un ensemble fini. Comme E est définissable (avec l’égalité et sans quantificateurs)sur M, il l’est aussi dans ̃M. Soit e un code dans ̃M, on a alors que e ∈ dcl ̃L(M)et soit e ′ ∈ M donné par (iii). Soit alors σ ∈ Aut L (M), c’est alors aussi une ̃L-applicationélémentaire qui peut donc s’étendre en ̃σ ∈ Aut ̃L(̃M). On a alors que σ fixe E si et seulementsi ̃σ fixe E (car E ⊆ M) si et seulement si ̃σ fixe e, si et seulement si ̃σ fixe e ′ (par définition car̃σ laisse M globalement invariant), si et seulement si σ fixe e ′ (car e ′ ∈ M).✠Revenons maintenant à la preuve de l’élimination des imaginaires. Par le lemme (1.49) il suffitde montrer que le graphe d’une fonction L M -définissable f ∶ dom(M) → M n est codé. Par leslemmes (1.47) et (1.54), il suffit de montrer qu’il est faiblement codé. On pose A ′ = acl L (⟨f⟩)et A = A ′ ∩ M où ⟨f⟩ est pris dans M eq . Il suffit alors de montrer que f est A-définissable, parle lemme (1.46).Lemme 1.55 :Il existe une relation R[x, y] ̃L M -définissable telle que, pour tout c ∈ dom(M), R(c) = { d ∈ ̃M ∶̃M ⊧ R[c, d]} est fini et f(c) ∈ R(c).Avant de démontrer ce lemme, remarquons que, comme R est définie sans quantificateurs,pour tout c, d ∈ M, M ⊧ R[c, d] si et seulement si ̃M ⊧ R[c, d]. En particulier pour toutc ∈ dom(M), { d ∈ M ∶ M ⊧ R[c, d]} est aussi fini.Proof . Soit M ′ ≼ M (petit) tel que f soit M ′ -définissable et soit ϕ[x, y] une L M ′-formule quila définit, alors pour tout c, par (i), f(c) ∈ dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c). Considérons alorsl’ensemble de formules suivant :Σ[x, y] = {ϕ[x, y]} ∪ {¬ψ[x, y] ∈ ̃L M ′ ∶ ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n y ψ[x, y] pour un n ∈ N}.Il est évident que cet ensemble de formules n’est pas satisfaisable dans M car pour toute formuleψ[x, y] ∈ ̃L M ′ (sans quantificateurs donc) et c, d ∈ Mod, M ⊧ ψ[c, d] si et seulement sĩM ⊧ ψ[c, d]. Par compacité, il existe donc (ψi ) i=1...N ∈ ̃L M ′ telles que M ⊧ ∀x y ϕ[x, y] ⇒⋁ i ψ i [x, y] et que, par définition, il existe n tel ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n y ⋁ i ψ i [x, y].✠Lemme 1.56 :Soient c ∈ dom(M) et p = tp L (c/A). Il existe alors une fonction g A-définissable telle que f et gcoïncident sur toute réalisation de p et {x ∶ f(x) = g(x)} est A-définissable.Proof . Soit ̃p le type Aut ̃L(̃M/A)-invariant qui étend p donné par (v). Pour tout R commeau lemme (1.55), on a alors ∃ =n y R[x, y] ∈ ̃p pour un certain n. Ainsi, le cardinal de R(x)est constant sur l’ensemble des réalisations de ̃p. On choisit alors un R comme au lemme(1.55) tel que le cardinal de R(x) sur une réalisation de ̃p soit minimal (parmi tous les R quivérifient le lemme (1.55)) et on note r ∶ x ↦ ⟨R(x)⟩ (une telle fonction existe car ̃T admetl’élimination uniforme des imaginaires). Soit alors σ ∈ Aut L eq(M eq /A ′ ), σ M est alors aussiune ̃L-application élémentaire qui peut donc s’étendre à σ ∈ Aut ̃L(̃M/A) qui fixe globalementM. Comme σ fixe A ′ , il fixe f et donc σ le fixe aussi. De plus, pour tout x ∈ ̃M, σ(R)(x)24

1 Corps valués algébriquement closest fini (de même cardinal que R(x)) et donc σ(R) vérifie aussi la conclusion du lemme (1.55).Il est alors facile de voir que la relation R ∧ σ(R) vérifie aussi la conclusion de ce lemme etdonc, comme R a été choisi de cardinal minimal sur les réalisations de ̃p, pour tout x ⊧ ̃p, ona R(x) = R(x) ∩ σ(R)(x) et donc R(x) = σ(R)(x) car ils ont le même cardinal. Comme il estévident que σ(r)(x) code σ(R)(x), il s’en suit que σ(∂̃p r) = ∂̃p σ(r) = ∂̃p r.Considérons alors les e i ∈ dcl ̃L(M) comme dans le (∗) et pour tout i, le ei ′ ∈ M donnépar le (iii). On a montré que toute extension (au sens décrit ci-dessus) σ à ̃M d’un σ ∈Aut L eq(M eq /A ′ ) fixe ∂̃p r ; σ doit donc fixer tout les e i sauf un nombre fini, par définitiondes e i et donc tous les ei ′ sauf un nombre fini, par définition des e′ i. Par le corollaire (1.52)(appliqué dans le modèle M eq A), tous les e ′ ′ isauf un nombre fini ont une orbite finie, i.e. ilexiste I 0 fini tel que i ∉ I 0 implique ei ′ ∈ acl L(A ′ ) = A ′ , de plus comme ei ′ ∈ M, on a alorsei ′ ∈ A = A′ ∩ M.Pour tout x ∈ dcl ̃L(M), l’action de Aut L (M) sur x est bien définie car toute extension de σ ∈Aut L (M) à ̃M donnera la même image à x. Posons alors A ∗ = {x ∈ dcl ̃L(M) ∶ x est fixé par Aut L (M /A)}.Pour i ∉ I 0 , comme ei ′ ∈ A, on a (par définition de e′ i ), e i ∈ A ∗ . Tout automorphisme deAut ̃L(̃M/A ∗ ) fixe donc tous les e i qui ne sont pas dans I 0 , i.e. tous sauf un nombre fini. Ils’en suit donc que ∂̃p r est fixé par Aut ̃L(̃M/A ∗ ). Par l’hypothèse (∗∗), il existe s ̃L acl ̃L(A ∗ )-définissable qui a le même germe que r au dessus de ̃p.Comme r(c) est un code de R(c), il existe ϕ[ y, z] ∈ ̃L telle que pour tout c ∈ ̃M R(c) =ϕ[̃M, r(c)]. Soit alors la relation S définie par ϕ[ y, s(x)] ∈ ̃L acl(A ⋆ ). Quitte à remplacer S parl’union de ses conjugués au dessus de A ∗ , on peut supposer que S est A ∗ définissable et quepour tout t ⊧ ̃p∣M, S(t) est fini et contient R(t). Comme tout isomorphisme de Aut L (M /A)fixe A ∗ et donc S, il s’en suit que S ∩ M est Aut L (M /A)-invariant. Il suffit donc de montrerque c’est un ensemble définissable (dans M) pour savoir qu’il est A-définissable. Mais commeS est A ⋆ -définissable, il existe ψ[x, y, a] ∈ ̃L, où a ∈ A ⋆ , qui définit S. De plus, comme a ∈A ⋆ ⊆ dcl ̃L(M), il existe θ[ z, t] ∈ ̃L et m ∈ M tels que θ[̃M, m] = { a}. La formule ∃ z θ[ z, m]∧ψ[x, y, z] définit donc S et est équivalente à une formule sans quantificateurs χ[x, y, t]. Cetteformule définit donc, dans M, l’ensemble S ∩ M que l’on peut donc supposer A-définissable.Soit alors c ⊧ ̃p∣B∪p (qui existe par hypothèse) où B ⊆ M est tel B contienne A et r soit définisur B. On a alors R(c) ⊆ S(c) et donc f(c) ∈ S(c) ∩ M. Il s’en suit que f(c) ∈ acl L (Ac) =dcl L (Ac) par (ii). Il existe donc g L A -définissable telle que g(c) = f(c). On pose alors E ={x ∈ M ∶ f(x) = g(x)}. C’est un ensemble unaire qui est A ′ -définissable. Par (iv), il a un codee ∈ M, mais alors e ∈ dcl L (A ′ ) = A ′ et donc e ∈ A = A ′ ∩M, i.e. E est A-définissable. Commec ∈ E et c ⊧ p, on a bien E ∈ p et donc ∂ p f = ∂ p g.✠Revenons donc à la preuve de la proposition et montrons que f est A-définissable. CommeM est saturé, tout p ∈ S 1 (A) tel que son unique variable est dans les sortes dominantes,est de la forme tp L (c/A) pour c ∈ dom(M). Par le lemme (1.56), si g p est la fonction A-définissable telle que ∂ p f = ∂ p g P et l’ensemble {x ∶ f(x) = g P (x)} est A-définissable, ona S 1 (A) = ⋃ p∈S1 (A)[f(x) = g p (x)] (où [ϕ] est l’ouvert engendré par ϕ). Par compacité, ilexiste donc (D i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des ensembles A-définissables et (g i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des fonctionsA-définissables telles que f coïncide avec g i sur D i et les D i recouvrent M. Il s’en suit bienque f est A-définissable.∎25

1 Corps valués algébriquement clos1.5 Sortes géométriquesDans [HHM06], il est démontré que la théorie ACVF (m,n) élimine (uniformément) les imaginairessi l’on rajoute certaines sortes de réseaux. Le but de cette section est de rappeler ladéfinition de ces sortes et le langage dans lequel on à la fois élimination des imaginaires etdes quantificateurs.Définition 1.57 (Réseaux) :Soit (K, v) un corps valué. On note S n (K) l’ensemble des sous-O K -modules de K n libres de rangn. Un élément de S(K) = ⋃ n⩾1 S n (K) est appelé un réseau de K.Un réseau de K a donc une base e 1 . . . e n dans K. Deux bases engendrent le même réseaus’il existe une matrice dans GL n (O K ) qui conjugue ces deux bases. On a donc S n (K) ≃GL n (K)/ GL n (O K ). Il s’en suit donc que pour tout n, S n est bien une sorte de K eq . De plusl’ensemble S 1 n’est rien d’autre que l’ensemble des boules fermées centrées en 0 de rayon finiappartenant à K. On a donc S 1 (K) ≃ Γ K . D’ailleurs, la surjection canonique K ⋆ → S 1 (K) ≃GL 1 (K)/ GL 1 (O K ) = K ⋆ / O ⋆ K = Γ K est v.On peut aussi remarquer que la sorte S contient des codes non seulement pour les réseauxmais aussi pour tous les translatés de réseaux :Lemme 1.58 :Soient (K, v) un corps valué, s ∈ S n (K) et a ∈ K. Le sous-O K -module de K n+1 engendré par(a + s) × {1} est un réseau et il code a + s.Proof . Soit (e 1 , . . . , e n ) une base de s. On pose e 0 = 0, la famille des (a + e i , 1) est alors unebase du sous-O K -module de K n+1 engendré par (a + s) × {1}, que l’on notera h(a + s). Supposonsque l’on ait ∑ i λ i (a + e i , 1) = 0, où λ i ∈ O K . On a alors (∑ i λ i a + ∑ i⩾1 λ i e i , ∑ i λ i ) =(0, 0). Il s’en suit donc que ∑ i λ i = 0 et donc ∑ i⩾1 λ i e i = 0. Or c’est une famille libre doncpour tout i ⩾ 1, λ i = 0 et donc, λ 0 = 0. Pour ce qui est du fait que ce soit une famille génératrice,tout élément de h(a+s) est de la forme x = ∑ i λ i (a+x i , 1), où x i ∈ s. En particulier, x i =∑ j⩾1 µ i j e j. On a donc x = ∑ i λ i (a+e 0 , 1)+∑ i,j λ i µ j (e j , 0). Or (e j , 0) = (a+e j , 1)−(a+e 0 , 1)et donc x est bien combinaison linéaire des (a + e i , 1).Le module h(a+s) est donc bien un réseau. De plus, h(a+s)∩K n ×{1} = (a+s)×{1}. En effet,si x ∈ h(a+s)∩K n ×{1}, il existe λ i ∈ O K , x i ∈ s et y ∈ K n tels que ∑ i λ i (a+x i , 1) = (y, 1) = x.Il s’en suit que ∑ i λ i = 1 et donc y = ∑ i λ i a + ∑ i λ i x i = a + ∑ i λ i x 1 ∈ a + s. L’inclusionréciproque est évidente. Il s’en suit donc que h est une fonction ∅-définissable qui injecteles translatés d’éléments de S n dans S n+1 , i.e. a + s est codé par h(a + s) via la fonction quidéfinit h.∎On en déduit immédiatement que l’ensemble des boules fermées dont le rayon est dans Γ Ks’injecte dans S 2 (K)∪K. En effet l’ensemble des boules fermées de rayon infini est exactementK. Pour ce qui est des boules fermées de rayon fini, ce sont des translatés de boules centréesen 0, i.e. d’éléments de S 1 , par le lemme précédent, ils s’injectent bien dans S 2 .Définition 1.59 (Torseurs) :Soit (K, v) un corps valué. On pose T n (K) = ⊔ s∈Sn(K) s/(M s). Un élément de T (K) = ⋃ n⩾1 T n (K)est appelé un torseur de K.26

1 Corps valués algébriquement closIl est clair que T vit aussi dans K eq vu que ses points sont des classes de congruences d’unréseau s (qui est bien un ensemble définissable) par M s qui est bien un sous-groupe définissable.De plus, comme k K = O K / M K et que O K est évidemment un réseau de rang 1, il s’en suitque k K ⊆ T 1 (K). L’application res est aussi définissable car c’est celle qui à a ∈ O K associe saclasse dans O K / M K .Pour pouvoir définir le langage dans lequel on a à la fois élimination des imaginaires et éliminationdes quantificateurs pour ACVF m,n , il faut introduire une dernière notion, celle debase générique. Il faut cependant commencer par montrer le lemme suivant :Lemme 1.60 :Soient (K, v) un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K et a un élément générique de k K au-dessusde A (au sens de la stabilité). Tous les b ∈ O K tels que res(b) = a ont alors le même type.Proof . Quitte à agrandir K, on peut le supposer assez saturé. Soient b et c tels que res(b) =a = res(c), i.e. en se rappelant que a est un translaté de M K , b et c sont dans a. S’ils n’ontpas le même type sur A, il existe un ensemble A-définissable X ⊆ O K tel que b ∈ X et c ∉ X.Mais alors pour tout a ′ générique dans k K au-dessus de A (on peut en construire une infinitéen prenant un élément générique au-dessus de ceux que l’on a déjà construits), il existe b ′ etc ′ dans a ′ tels que b ′ ∈ X et c ′ ∉ X. Mais cela contredit le fait que X est A-définissable. Eneffet, on aurait alors, par la proposition (1.36), X = ⋃ n i=1 (t i/(⋃ m ij=1 tj i ), où les t i et t j isont destranslatés de sous-O-modules de O, i.e. des idéaux. Si t i est un translaté d’un idéal strict deO, il est contenu dans un translaté de M et ne peut donc contenir qu’un seul des b ′ . On doitdonc avoir i = 1 et t 1 = O. Mais pour la même raison on ne peut alors pas éviter tous les c ′sans avoir t j 1= O et donc X = ∅, ce qui est absurde.∎Définition 1.61 (Base générique) :Soient K un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K eq et s ∈ S n (A). Si l’on note res(s) = s/Ms,res(s) n est définissablement isomorphe à k n2 . Comme k est un pur corps algébriquement clos, cetensemble est de degré 1 et a donc un type générique q res(s) n, qui est l’unique type de rang maximalde l’ensemble. Soit alors q s tel que pour tout ( a 1 . . . a n ), on a ( a 1 . . . a n ) ⊧ q s si et seulement si(res( a 1 ) . . . res( a n )) ⊧ q res(s) n, où res( a i ) = a i + Ms.Soit B ⊆ A, une base générique de s au-dessus de B est une réalisation de q s ∣B.Cette définition a un sens car res( a i ) est générique au-dessus de A a 1 . . . a i−1 pour touti et donc, par le lemme (1.60), tous les choix possibles de a i ont le même type au-dessusde ces paramètres. De plus, comme q res(s) n est A-définissable (tous les types sont définissablesdans une théorie stable), q s l’est aussi ; en effet ϕ[ x 1 , . . . x n ] ∈ q s si et seulement si(∀ x 1 . . . x n ⋀ i y i = res( x i ) ⇒ ϕ[x 1 , . . . x n ]) ∈ q res(s) n (il n’est d’ailleurs pas très compliquéde voir que ce type est définissable uniformément en s). Si l’on a plusieurs réseaux s 1 , . . . s n ,on définit le type q s1 ,...,s ncomme le type des bases de s i génériques au dessus des paramètreset des bases déjà choisies pour les (s j ) j

1 Corps valués algébriquement closun symbole de fonction τ n ∶ T n → S n et un symbole de fonction ν n ∶ K n × S n → T n . Enfinpour toute formule atomique ϕ[ x 1 , . . . , x n , y], où x i est un n 2 i-uplet de variables de corps, on aun symbole ϕ ⋆ [z 1 , . . . , z n , y], où les z i sont des variables dans S ni .Soit (K, v) un corps valué, on en fait une L G div -structure KG en interprétant K par le corps,pour tout n ⩾ 1 S n par S n (K) et T n par T n (K). On pose :– ∈ n (a, s) si et seulement si a ∈ s ;– τ n (t) = s si et seulement si t ∈ res(s) ;– ν n (a, s) = a + M s si a ∈ s sinon ν n (a, s) = M n ;– ϕ ⋆ (s 1 , . . . , s n , a) si et seulement si, dans K alg , ϕ[x 1 , . . . , x n , a] ∈ q s1 ,...,s n.Il se pose alors la question de savoir si on a bien défini une extension définissable de L eqdiv .Pour ce qui est des symboles ∈ n , τ n et ν n , même si ce ne sont pas directement des symbolesde L eq , il n’est pas dur de voir qu’ils sont définissables (dans la théorie des corps valués). Pourdivce qui est des ϕ ⋆ , le problème est un peu plus compliqué. Comme q s est un type définissable(uniformément en s), il s’en suit que dans ACVF eq , les ϕ ⋆ sont bien définissables. On notedonc ACVF G m,n la théorie des corps valués algébriquement clos de caractéristique (m, n),dans le langage L G (qui est bien une théorie complète). On a donc pour toute formule sansdivquantificateurs ϕ[ x 1 , . . . , x n , y] une formule θ telle que ACVF G ⊢ ϕ ⋆ [z 1 , . . . , z n , y] ⇐⇒θ[z 1 , . . . , z n , y]. La formule θ[f( x)], où f est la surjection canonique de K n vers les autressortes, est alors une formule à variables dans le corps qui est donc équivalente, par éliminationdes quantificateurs dans ACVF, à une formule ψ[ x] sans quantificateurs. On a alors ACVF eq ⊢∀ x 1 x 2 , f( x 1 ) = f( x 2 ) ⇒ ψ[ x 1 ] ⇐⇒ ψ[ x 2 ] et doncACVF G ⊢ ϕ ⋆ [ z] ⇐⇒ (∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]) ⇐⇒ (∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x]). (1.1)On peut alors montrer que si (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corps valués alors K G ⊆ L G .En effet, si s ∈ S n (K) alors O L s ∈ S n (L) et O L s ∩ K n = s. On peut donc injecter S(K)dans S(L) en respectant les ∈ n . Il s’en suit facilement qu’on peut aussi injecter T (K) dansT (L) en respectant les τ n et les ν n . Reste alors le problème de savoir si les ϕ ⋆ sont respectés.Cependant, comme K alg ≼ L alg (en munissant L alg d’une valuation qui étend w et K alg dela restriction de cette valuation), on a (K alg ) eq ≼(L alg ) eq et comme L G est une extension définissabledans les corps valués algébriquement clos (K alg ) G ≼(L alg ) G . Comme pardivdéfinitionϕ ⋆ [K G ] = ϕ ⋆ [(K alg ) G ] ∩ K G , on a ϕ ⋆ [L G ] ∩ K G = (ϕ ⋆ [(L alg ) G ] ∩ L G ) ∩ K G = ϕ ⋆ [(L alg ) G ] ∩(K alg ) G ) ∩ K G = ϕ ⋆ [(K alg ) G ] ∩ K G = ϕ ⋆ [K G ].Il s’en suit que les ϕ ⋆ sont en fait définissables par les même formules qu’en (1.1). En effet,soit (K, v) un corps valué quelconque, on a alors, par définition K G ⊧ ϕ ⋆ [ z] si et seulementsi (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [ z] et donc (K alg ) G ⊧ ∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]. Comme ψ est sans quantificateurs,on a donc K G ⊧ ∀ x f( x) = z ⇒ ψ[ x]. Mais comme (K alg ) G ⊧ ACVF G , et que K G ⊆ (K alg ) G ,on a aussi K G ⊧ ∀ x 1 x 2 , f( x 1 ) = f( x 2 ) ⇒ ψ[ x 1 ] ⇐⇒ ψ[ x 2 ] et donc K G ⊧ (∀ x f( x) =z ⇒ ψ[ x]) ⇐⇒ (∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x]). Comme cette dernière formule est existentielle, siK G ⊧ ∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x], on a aussi (K alg ) G ⊧ ∃ x f( x) = z ∧ ψ[ x], d’où (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [ z] etdonc K G ⊧ ϕ ⋆ [ z]. On a donc bien démontré que tout corps valué vérifie en fait la formule(1.1) et donc qu’on a bien défini une extension définissables du langage dans tout corps valué.28

1 Corps valués algébriquement closPour finir, énonçons le théorème qui a motivé toutes ces définitions.Théorème 1.63 :Pour tout (m, n), la théorie ACVF G m,n élimine les quantificateurs et les imaginaires.Ce sont les principaux résultats de [HHM06]. L’élimination des quantificateurs est prouvéeau théorème 3.1.2 et celle des imaginaires au théorème 3.4.10.29

Chapitre 2Corps des nombres p-adiques et sa théorie2.1 Corps p-adiquement closCette section est particulièrement définitionnelle. On y introduit toutes les notions nécessairespour étudier les corps p-adiquement clos.Définition 2.1 (Groupes Archimédien) :Soit Γ un groupe abélien totalement ordonné, on dit que Γ est Archimédien si pour tout a et b ∈ Γtels que a > 0 il existe n ∈ Z tel que na ⩾ b.Remarque 2.2 :Un théorème classique que l’on peut trouver dans [Rib64, Proposition 1, p.9] dit que les groupesArchimédien sont exactement les sous-groupes de (R, +) à isomorphisme près.Définition 2.3 (Norme) :Soient (K, v) un corps valué dont le groupe de valeur est inclus dans (R, +) et V un K-espace vectoriel.Une norme (ultramétrique) sur V est une application ν ∶ V → R ∪∞ qui vérifie les propriétéssuivantes :(i) Pour tout x ∈ V, ν(x) = ∞ ⇐⇒ x = 0.(ii) Pour tous x ∈ V et λ ∈ K, ν(λx) = v(λ) + ν(x).(iii) Pour tous x, y ∈ V, ν(x + y) ⩾ min(ν(x), ν(y)).Avec les conventions habituelles que pour tout γ ∈ Γ, γ < ∞ et γ + ∞ = ∞ + γ = ∞.Deux normes sur V, ν 1 et ν 2 , sont dites équivalentes si il existe α et β ∈ R tel que pour tout x ∈ V,ν 1 (x) + α ⩾ ν 2 (x) ⩾ ν 1 (x) + β.Il est évident qu’une valuation sur un corps L de K qui étend v est une norme sur L en tantque K-espace vectoriel.Lemme 2.4 :Soient (K, v) un corps valué et K ⩽ L un extension finie. Deux valuations w 1 et w 2 sur L quiétendent v sont équivalentes en temps que normes si et seulement si elles sont égales.30

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProof . Si w 1 et w 2 sont équivalentes en tant que normes alors il existe α et β dans R tels quepour tout x ∈ L, w 1 (x) + α ⩽ w 2 (x) ⩽ w 1 (x) + β. En appliquant cette inégalité à x n on aalors pour tout n, nw 1 (x) + α ⩽ nw 2 (x) ⩽ nw 1 (x) + β et donc w 1 (x) + α/n ⩽ w 2 (x) ⩽w 1 (x) + β/n. Il s’en suit donc que pour tout x, w 1 (x) = w 2 (x).La réciproque est évidente.∎Définition 2.5 :Soient (K, v) un corps valué de groupe de valeur Archimédien et (V, ν) un K-espace vectorielnormé. Une suite (a n ) n∈N d’éléments de V est dite convergente s’il existe a ∈ V tel que pourtout A ∈ Γ, il existe N ∈ N tel que pour tout n supérieur à N, on ait ν(a n − a) ⩾ A. Elle estdite de Cauchy si pour tout A ∈ Γ, il existe N ∈ N tel que pour tout n et m supérieurs à N, on aitν(a n − a m ) ⩾ A.Enfin, on dit que V est complet si toute suite de Cauchy converge.L’existence d’un complété (qui est aussi un corps) pour tout corps valué est un résultat classique.On peut trouver dans [Lan02, Proposition XII.2.1]. De plus, il est facile de voir que lecomplété d’un corps valué à le même groupe de valeur et le même corps résiduel.Définition 2.6 (Valuation p-adique) :On peut munir Q de la valuation suivante : tout rationnel s’écrit d’une façon unique sous la formep n a/b où a, b et n ∈ Z et a et b ne sont pas divisibles par p. On pose alors v p (p n a/b) = n. Ondéfinit le corps Q p comme le complété de Q pour cette valuation.Lemme 2.7 :Soient (K, v) un corps valué complet et V un K-espace vectoriel normé, alors toutes les normes surV sont équivalentes et V est complet pour toutes ces normes.Proof . Voir [Lan02, Proposition XII.2.2]Corollaire 2.8 :Soient (K, v) un corps complet et K ⩽ L une extension finie, alors L ne peut être munie que d’uneseule valuation (et pas seulement à équivalence près) qui étend v et, muni de cette valuation, c’estun corps complet.Proof . L est alors un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les valuations sur L quiétendent v sont donc équivalentes en tant que normes par le lemme (2.7) et par le lemme(2.4), elles sont donc égales. De plus le lemme (2.7) précise aussi que L est alors complet pourn’importe quelle norme et donc a fortiori son unique valuation.∎Corollaire 2.9 :Soit (K, v) un corps valué complet alors il est Hensélien.Proof . D’après le corollaire (2.8), toute extension finie de K ne peut être munie que d’une seulevaluation qui étend v. Par la proposition (1.11), on a alors bien que K est hensélien. ∎Définition 2.10 :Soit (K, v) un corps valué. On dit qu’il est à valuation discrète si v(K) a un plus petit élémentstrictement positif. Une uniformisante d’un tel corps est π tel que v(π) est le plus petit élémentstrictement positif.∎31

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieRemarque 2.11 :Il est facile de voir que le groupe de valeur d’un corps valué de valuation discrète et Archimédienneest monogène.Lemme 2.12 :Soit (K, v) un corps valué de valuation discrète, d’uniformisante π et dont le corps résiduel est finialors toute boule de rayon γ est recouverte par un nombre fini de boules de rayon γ + v(π).Proof . Soit b une boule de centre a et de rayon γ. Supposons que le corps résiduel soit decardinal q et qu’il existe q + 1 boules disjointes de rayon γ + v(π) incluses dans b. Soientalors x 0 , . . . , x q des points dans chacune de ces q + 1 boules. On a alors pour tous i ≠ j,v(x i − x j ) ⩽ γ, sinon ils seraient dans la même boule de rayon γ + v(π). Mais d’un autre côtéon a v(x i − x j ) = v(x i − a − (x j − a)) ⩾ γ car x i et x j sont tous les deux dans b. On a doncpour tous i ≠ j, v(x i − x j ) = γ. Posons x i = (x i − a)y où v(y) = −γ. On a alors v(x i ) = 0 etpour tous i ≠ j, res(x i − x j ) ≠ 0, i.e. res(x i ) ≠ res(x j ). On a donc q + 1 éléments de résidusdistincts, ce qui est absurde. Il ne peut donc exister au plus que q boules disjointes de rayonγ + v(π) incluses dans b. Comme deux boules de même rayon sont soit égales soit disjointes,on a bien le résultat recherché.∎Lemme 2.13 :Soient (K, v) un corps valué complet à valuation discrète, R un ensemble de représentants de k =O /M et π i une suite d’éléments de K tels que v(π i ) = v(π) i où π est une uniformisante de K.Alors tout élément x ∈ K se développe de façon unique comme une série convergente ∑ ∞ i=N r iπ i oùN ∈ Z et pour tout i, r i ∈ R.Proof . Voir [Lan02, p. 488].Remarque 2.14 :On peut alors remarquer que tout élément de Q p s’écrit de façon unique comme une série convergente∑ i⩾N a i p i où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧. Il s’en suit aussi immédiatement que tout élément de Z ps’écrit de façon unique comme une série convergente ∑ i⩾0 a i p i et est donc limite d’éléments de Z,i.e. Z est dense dans Z p .Définition 2.15 :On définit L Qp = L div ∪{P n ∶ n ∈ N ⋆ }. La théorie pCF des corps p-adiquement clos dans lelangage L Qp est donnée par les axiomes suivants :(i) K est un corps valué Hensélien.(ii) P n définit l’ensembles des puissances n-ièmes.(iii) Le groupe de valuation est un Z-groupe dont le plus petit élément strictement positif estv(p).(iv) Le corps résiduel est F p .Remarque 2.16 :Il n’est pas totalement évident que cette théorie soit axiomatisable, montrons donc que toutes cespropriétés peuvent être traduites au premier ordre dans L Qp .∎32

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorie(i) Le seul problème est d’exprimer qu’il est Hensélien, mais il suffit d’énoncer que le corps vérifiele lemme de Hensel : pour tout a 1 . . . a n et a, si 1 div a i , 1 div a, ¬(∑ i a i a i div 1) et∑ i a i ia i−1 div 1, alors il existe b tel que 1 div b, ∑ i a i b i = 0 et ¬(a − b div 1).(ii) ∀x(P n x ⇐⇒ ∃y x = y n ).(iii) Les axiomes précédents impliquent que le groupe de valuation est un groupe abélien totalementordonné. Il reste cependant à dire qu’il a un plus petit élément strictement positif (quiest v(p)) : ¬(p div 1) et pour tout x, x div p implique x div 1 ; et que pour tout n ∈ N ⋆ ,[Γ ∶ nΓ] = n : pour tout x, il existe y tel que ⋁ i=0...n−1 x div p i y k ∧ p i y k div x.(iv) On a déjà dit dans les axiomes que v(p) > 0 et donc res(p) = 0. Il s’en suit que la caractéristiquerésiduelle est forcément p et donc il suffit de dire que le corps résiduel à au plus péléments : ∀x 0 . . . x p ⋁ i≠j ¬(x 1 − x j div 1).Proposition 2.17 :Le corps Q p est un modèle de pCF. De plus cette théorie admet l’élimination des quantificateursdans L Qp et est complète. On a donc Th(Q p ) = pCF.Proof . La seule chose à vérifier pour montrer que Q p ⊧ pCF est que Q p est Hensélien maisc’est une conséquence immédiate du corollaire (2.9). L’élimination des quantificateurs a étémontrée par Macintyre dans [Mac76], on en trouve aussi une preuve dans [Cha08, Théorème5.1 p. 50]. La complétude de la théorie suit immédiatement du fait que tous les modèlescontiennent Q muni de la valuation p-adique.∎Comme pour ACVF, on peut démontrer un résultat d’élimination des quantificateurs dansune extension du langage tri-sorté qui permet de montrer que Γ stablement plongé au sensque tout ensemble définissable de Γ, l’est avec seulement des paramètres de Γ.On définit aussi le langage L G Qen rajoutant les prédicats P n au langage L G et en les interprétantstoujours par l’ensemble des puissances n-ièmes. La théorie pCF G est alors la théorie dep divTh(Q G p). C’est l’extension définissables de pCF eq donnée par les considérations qui suiventla définition (1.62). Il suit aussi de ces considérations que la restriction à L G de tout modèledivde pCF G se plonge dans un modèle de ACVF G 0,p .Lemme 2.18 :Soient K ⊧ pCF, x ∈ K et k ∈ N ⋆ alors x ∈ (K ⋆ ) k si et seulement si(K ⋆ ) k ∩ B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ≠ ∅.Proof . Soient y ∈ (K ⋆ ) k ∩B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) et P(X) = X k −x/y. On a v(P(1)) = v(1−y/x) =v(x − y) − v(x) ⩾ 1 + 2v(k) et v(P ′ (1)) = v(k). On a donc bien v(P(1)) > 2v(P ′ (1)) et doncpar le lemme de Hensel-Rychlik (voir (1.11.iv)) il existe b ∈ O tel que P(b) = 0, i.e. b k = y/x.Comme y ∈ (K ⋆ ) k , il s’en suit directement que x aussi. La réciproque est évidente. ∎Une conséquence immédiate de ceci est que (K ⋆ ) k est ouvert et fermé. Cela a des conséquencessur le cardinal des ensembles définissables dans pCF. La preuve est similaire à cellepour ACVF dans la proposition (1.37).33

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProposition 2.19 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors tout sous-ensemble définissable de K est soit fini soit du cardinal de K.Proof . Soit X un ensemble définissable, par élimination des quantificateurs et par le mêmeargument que dans la preuve de la proposition (1.37), on peut supposer que la formule quel’on considère est en une seule variable et que c’est une conjonction d’atomes et de négationsd’atomes. Elle est donc de la forme ϕ[x] ∧ ⋀ i P ki (R i (x)) ∧ ⋀ j ¬P kj (R j (x)), où ϕ ∈ L div et lesR k sont des polynômes à coefficients dans K. Le cas où X est vide étant très peu intéressant,on peut supposer qu’on a un m ∈ X.Comme ϕ est sans quantificateurs, on a ϕ[K] = ϕ[K alg ] ∩ K. Or, on a montré dans la preuvede la proposition (1.37) que si m ∈ ϕ[K alg ] alors cet ensemble contient une boule ouvertecentrée en m. Quitte à augmenter son rayon, comme Γ Kalg = div(Γ K ), on peut supposer qu’ilest dans Γ K . On a donc m + y M alg ⊆ ϕ[K alg ] où y ∈ K et donc, comme tous ces ensemblesKsont définis sans quantificateurs, m + yM K ⊆ ϕ[K]. Il s’en suit que ϕ[K] est ouvert.Montrons à présent que les P k définissent des ensembles ouverts-fermés. Soit x ∈ K tel queK ⊧ P k (x) alors tout la boule ouverte B >v(x)+2v(k) (x) est aussi dans P k (K). En effet, soity ∈ B >v(x)+2v(k) (x) alors v(y) = v(y − x + x) = v(x) car v(y − x) > v(x) + 2v(k) ⩾ v(x) etx ∈ (K ⋆ ) k ∩ B ⩾(1+v(y)+2v(k)) (y), d’où, par le lemme (2.18), y ∈ P k (K). Réciproquement, six ∉ P k (K) alors si on avait P k (K) ∩ B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ≠ ∅, on aurait x ∈ P K (K) ce qui estabsurde, donc B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ⊆ ¬P k (K).Comme les polynômes définissent des fonctions continues, R −1i(P k i) et R −1j(¬P kj ) sont ouvertset donc X est une intersection finie d’ouverts. C’est donc lui même un ouvert qui contientun sous-ensemble de la forme m + yM K . Par les même considérations que dans la preuve dela proposition (1.37), on montre que M K à le même cardinal que K. C’est donc aussi le cas deX. ∎Lemme 2.20 :Soient K ⊧ pCF, x ∈ K tel que v(x) = 0 et k ∈ N ⋆ , il existe alors n ∈ N ⋆ avec n < p 1+2v(k) tel quex/n ∈ (K ⋆ ) k et v(n) = 0.Proof . Cet énoncé peut s’exprimer au premier ordre par∀x v(x) = 0 ⇒⋁ ∃y x = ny k .0

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProof . Soit x ∈ K, comme Γ K est un Z-groupe de plus petit élément strictement positif v(p),il existe n ∈ ⟦0 . . . k − 1⟧ et y ∈ K tel que v(x) = kv(y) + nv(p). D’après le lemme (2.20), ilexiste m ∈ ⟦1 . . . p 1+2v(k) ⟧ tel que v(m) = 0 et que est une puissance k-ième. Il s’enxy k p n msuit donc que x est dans la même classe d’équivalence que mp n modulo (K ⋆ ) k . Il existe doncbien un système de représentants dans Q et il est fini vu les bornes imposées à n et m. ∎Corollaire 2.22 :Soit (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K un sous-corps valué. Pour que A soit un modéle de pCF, il faut et ilsuffit que A soit Hensélien et A ⊧ ∀x P n x ⇒ ∃y x = y n .Proof . D’après la remarque (2.16), A vérifie bien tous les axiomes de pCF sauf la définition deP n et celui qui dit que pour tout n, [Γ A ∶ nΓ A ] = n. Comme par hypothèse A ⊧ ∀x P n x ⇒∃y x = y n , il suffit de montrer la réciproque. Soit donc x ∈ A tel que A ⊧ ∃y x = y n . Mais ona alors aussi K ⊧ ∃y x = y n , i.e. K ⊧ P n x et donc A ⊧ P x .De plus, soient x ∈ A et n ∈ N ∗ . Comme Γ K est un Z-groupe, il existe k ∈ ⟦0 . . . n − 1⟧ ety ∈ K tels que v(x) = nv(y) + kv(p). Par le lemme (2.20), il existe m ∈ Z tel que v(m) = 0 etxp −k y −n m −1 ∈ P n et donc xp −k m −1 ∈ P n . Comme la définition de P n est aussi vérifiée dansA, il existe y ∈ A tel que xp −k m −1 = y n et donc que v(x) ∈ kv(p) + nΓ A . ∎Pour finir prouvons un lemme technique sur Q p qui sera utile pour déterminer la clôturedéfinissables dans pCF.Lemme 2.23 :On a ⋂ k⩾1 (Q p ) k = {1}.Proof . Soit x ∈ ⋂ k⩾1 (Q p ) k , quitte à le remplacer par x −1 , on peut supposer que x ∈ Z pet on a alors x ∈ ⋂ k⩾1 (Z p ) k . Pour tout k il existe donc y tel que y pk−1 = x, mais y peuts’écrire comme ∑ i y i p i , où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧ et donc en posant y ′ = ∑ k−1i=0 a ip i ∈ Z et y ′′ =∑ i⩾k a i p i−k , on a y = y ′ + p k y ′′ . D’après le petit théorème de Fermat, on a y ′pk−1 ≡ 1mod p k et donc, en appliquant un binôme de Newton, il existe z ∈ Z p tel que y pk−1 = 1 +p k z. Il s’en suit donc que pour tout k ∈ N, il existe z tel que x = 1 + p k z. Par unicité dudéveloppement en série p-adique de x, on a donc x = 1.∎2.2 Clôture algébrique et définissable dans pCFCette section se propose de démontrer quelles sont les clôtures algébriques et définissablesdans pCF, comme on l’a fait à la remarque (1.32) pour ACVF.Proposition 2.24 :Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K, on a alors A alg ∩ K ⊧ pCF.Proof . D’après le corollaire (2.22), il suffit de montrer que K ′ = A alg ∩ K est Hensélien etK ′ ⊧ ∀x P n x ⇒ ∃y x = y n . Soient alors P ∈ O K ′[X] et a tel que res(P(a)) = 0 et res(P ′ (a)) ≠0. Ces même conditions sont vérifiées dans K qui est hensélien, il existe donc b ∈ O K telque P(b) = 0 et res(b) = res(a). Mais ce b est alors algébrique sur K ′ qui est relativementalgébriquement clos dans K, donc b ∈ K ′ . Le corps K ′ est donc bien Hensélien.35

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieDe plus la définition des P n est préservée, en effet si on a K ′ ⊧ P n (x), c’est aussi vrai dans Kcar K ′ est muni de la structure induite et donc il existe y ∈ K tel que y n = x, mais ce y estalgébrique sur K ′ et donc appartient à K ′ .∎Corollaire 2.25 :Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K, on a alors acl(A) = A alg ∩ K.Proof . On a montré dans la proposition (2.24) que A alg ∩K est une sous-structure de K qui estun modèle de pCF. Comme pCF est modèle complète, A alg ∩K est sous-structure élémentairequi contient A et donc acl(A). Mais comme L Qp contient le langage des anneaux, on a aussiA alg ∩ K ⊆ acl(A). Ils sont donc égaux.Lemme 2.26 :Soit T une théorie modèle complète, telle que pour tout modèle M et tout A ⊆ M, acl(A) ⊧ T,alors T a un modèle premier et minimal au dessus de tout ensemble de paramètres, qui est justementacl(A).Proof . Montrons tout d’abord que acl(A) ne dépend pas de M. Soient donc M 1 et M 2 deuxmodèles de D el (A), le diagramme élémentaire de A. Par la propriété du plongement commun,ils se plongent tous deux élémentairement dans un modèle M ⊧ D el (A). Mais alorsacl M1 (A) = acl M (A) = acl M2 (A). De plus tout modèle de D el (A) contient acl(A) qui parmodèle complétude est une sous-structure élémentaire. Enfin, si on a A ⊆ M ≼ acl(A) oùM ⊧ D el (A), alors acl(A) ⊆ M et donc ils sont égaux.∎Corollaire 2.27 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors A alg ∩ K est un modèle premier et minimal au dessus de A.Proof . C’est une conséquence immédiate du lemme (2.26), du corollaire (2.25) et de la proposition(2.24).∎Proposition 2.28 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors K ′ = A alg ∩ K est rigide au dessus de A.Proof . Soit σ ∈ Aut(K ′ /A) et soit B la sous-structure fixée par σ. Montrons alors que B ⊧ pCF.D’après le corollaire (2.22), il suffit de montrer que B est hensélien et que B ⊧ ∀x P n (x) ⇒∃y x = y n . Tout d’abord, comme K ′ est hensélien, il contient C h = Frac(< A >) h et commeC = Frac(< A >) ⊆ dcl(A), il est fixé par σ. On a donc le diagramme commutatif suivant :C h i 1 i 4 C C h σ σ(C h ) K ′i 3i 2où les injections vérifient toutes i(x) = x. Par la propriété universelle de l’Hensélianisé (voir(1.13)) on a i 3 ○ σ = i 4 et donc pour tout x ∈ C h , σ(x) = x, i.e. C h ⩽ B. Mais cette extension estalgébrique donc par le corollaire (1.12), B est Hensélien.∎36

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieSoit maintenant x tel que B ⊧ P n (x). Si x = 0 alors c’est évident, sinon il a donc une racine n-ième dans K, notée y. Soit k ∈ N ⋆ , par le corollaire (2.21), il existe q ∈ Q ⋆ tel que qy ∈ (K ⋆ ) k .Mais on a alors σ(qy)/qy = qσ(y)/qy = σ(y)/y ∈ (K ⋆ ) k . De plus σ(y)/y est une racinen-ième de a/a = 1. Il s’en suit que σ(y)/y ∈ dcl(∅) ⊆ Q p . Par le lemme (2.23), on a alorsσ(y)/y = 1 et donc y ∈ B, i.e. B ⊧ ∃y x = y n .∎Corollaire 2.29 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors dcl(A) = acl(A) = A alg ∩ K.Proof . Quitte à en prendre une extension élémentaire, on peut supposer que K est assez saturéet homogène. Il suffit alors de montrer que tout σ ∈ Aut(K/A) fixe A alg ∩ K. Mais comme σfixe A alors σ fixe (globalement) acl(A) = A alg ∩ K. Mais on a montré dans la proposition(2.28) que A alg ∩ K est rigide au dessus de A, il est donc fixé point par point. ∎On peut alors en déduire, comme le fait van den Dries dans [Dri84] que pCF admet des fonctionsde Skolem définissables. Pour cela on fait appel au critère suivant.Lemme 2.30 (Critère pour les fonctions de Skolem) :Soit T une théorie qui élimine les quantificateurs, alors T admet des fonctions de Skolem définissablessi et seulement si tout A ⊧ T ∀ se plonge dans un modèle A ⊧ T qui est algébrique et rigideau dessus de A.Proof . Voir [Dri84, Théorème 2.1]Corollaire 2.31 :La théorie pCF admet des fonctions de Skolem définissables.Proof . Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K. D’après la proposition (2.24), A alg ∩ K est un modèle depCF, algébrique au dessus de A. Mais par la proposition (2.28), il est rigide au dessus de A.On peut donc conclure par le lemme (2.30).∎Remarque 2.32 :Ces résultats seront utilisés dans la dernière section, mais il faut faire attention qu’on sera alorsdans une extension définissable d’une partie de L eq . Les résultats qu’on a démontré restent vraisdans ce langage, à condition de considérer des ensembles de paramètres et des variables du corpsseulement.∎2.3 Types dans pCFLa section qui suit est une reprise des résultats de la section 4 de [HM08], dans le cas particulierde la théorie pCF. Dans ce qui suit, on notera B l’ensemble des boules. En particulier, si Kest un corps valué et A ⊆ K, on note B(A) l’ensemble des boules A-définissables. Si b ∈ B(A),on notera x ∈ b pour ϕ[x], où ϕ est une L A -formule qui définit b. De plus, si M eq ⊧ pCF eq ,on notera K(M) la sorte du corps.37

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieDéfinition 2.33 (Généricité) :Soient (K, v) un corps valué, A ⊆ K, (b i ) i∈I une famille de boules A-définissables et P = ⋂ i b i .On dit que x ∈ K est générique dans P au dessus de A si x ∈ P et x n’appartient à aucune sous-boulestricte A-définissable de P.On note α P ∣A le A-type partiel suivant :α P = {x ∈ b i ∶ i ∈ I} ∪ {¬x ∈ b ∶ b ∈ B(A) et b ⊊ P}.Comme on l’a déjà fait remarquer précédemment, la notion de boule se comporte mal visà vis des extensions de corps. Il faut donc faire attention qu’un point générique dans uneintersection de boules dans un corps ne le sera pas forcément dans une extension. Mais pourles corps p-adiquement clos, cela cas ne peut pas se produire :Lemme 2.34 :Soient (K, v) ⊧ PCF, (K, v) ⩽(L, w) une extension de corps valués, γ ∈ Γ L et a ∈ K. Si B ⩾γ (a)∩Ket B >γ (a) ∩ K sont définissables sur K, alors leurs traces sur K sont des boules de K.Proof . Considérons d’abord b = B ⩾γ (a). Comme b est définissable sur K, son rayon (qui estla valuation maximal de la différence de deux points dans b) est aussi définissable sur K, ils’en suit qu’il est dans Γ alg = div Γ K . Il existe donc n ∈ N tel que nγ ∈ Γ K . Comme K estKun corps p-adiquement clos, Γ K est un Z −groupe et donc il existe k ∈ ⟦0 . . . n − 1⟧ tel quenγ+k ∈ nΓ K , i.e. γ+ k n ∈ Γ K. En d’autres termes, il existe δ ∈ Γ K tel que δ−v(p)γ ⩽ δ et b∩Mest donc la boule de centre de a est de rayon δ dans M.De plus B >γ (a) ∩ M = B ⩾γ+v(p) (a) ∩ M qui est bien une boule de M par ce qu’on vient dedémontrer.∎Il s’en suit donc que si (K, v) ⊧ pCF et (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corps valués (onconsidérera les deux corps munis de leur L div -structure, car cela ne change rien aux boulesdéfinissables), P est une intersection de boules de K et A ⊆ K, alors si x est un point génériquede P au dessus de A (dans K) si et seulement s’il l’est aussi dans L. En effet, si x est génériquedans L, comme toutes les boules de K sont aussi des boules de L, x est générique dans K. Réciproquement,soit b une boule de L, A-définissable alors, comme on l’a démontré au lemme(2.34), b ∩ K est une boule de K. Soit σ ∈ Aut(K/A), on peut (quitte à supposer L assez homogène)l’étendre en σ ∈ Aut(L/A) qui fixe globalement K. Comme b est A-définissable dans L,il est fixé par σ et donc σ fixe b ∩ K qui est donc bien A-définissable. Comme cette dernièreboule contient x, elle ne peut être strictement incluse dans P et donc b non plus.Remarque 2.35 :De même, si une boule b de K est A-définissable où dcl(A) ∩ B ⊆ A, alors ⟨b⟩ ∈ A et comme b(L)est codé par le même point, b est aussi A-définissable dans L.On dira que P est une intersection stricte si ce n’est pas lui même une boule (qui serait alorsimmédiatement A-définissable) et que P est non vide.D’après [HHM06, lemme 2.3.3], le type générique sur une boule ou une intersection strictede boules est complet dans le cas où l’ensemble de paramètres est algébriquement clos. Deplus tous les types d’éléments du corps sont d’une de ces deux formes. Dans le cas de pCF, lasituation est un peu plus compliquée.38

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieLemme 2.36 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et x ∈ K(M) alors x est génériquedans une intersection stricte de boules A-définissables au-dessus de A.Proof . Soit P = ⋂{b ∈ B(A) ∶ x ∈ b}, il est alors évident que x est générique dans P audessus de A. Supposons alors que l’intersection ne soit pas stricte, P est donc une boule A-définissable. Soit γ son rayon, d’après le lemme (2.12), la boule de centre x et de rayon γ + 1est algébrique sur A. Elle est donc dans acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et est donc définissable surA. De plus elle contient x et est strictement contenue dans P, ce qui est absurde. ∎Définition 2.37 (f ⋆ p) :Soient M une L-structure, A ⊆ M, p un type sur A et f = (f i ∶ i ∈ I) une famille de fonctions A-définissables telle que pour tout i f i est défini sur les réalisations de p. Soit ϕ i [ x, y, a i ] qui définitf i , on peut alors considérer le typef ⋆ p = {ψ[ y i1 , . . . , y in , a ′ ] ∶ ∀ y i1 . . . y inn⋀ ϕ ij [ x, y ij , a ij ] ∧ ψ[ y i1 . . . y in , a ′ ] ∈ p}.j=1Définition 2.38 (Relative complétude) :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-définissables. Un A-typepartiel p est complet au dessus de A relativement aux f i si la fonction q ↦ f ⋆ q est injective de{q ∈ S(A) ∶ p ⊆ q} dans S(A).En particulier, pour vérifier qu’un type est complet au dessus de A relativement à f, il suffitde de vérifier que, dans un modèle assez saturé, pour tous c et c ′ qui réalisent ce type, sif(c) ≡ A f(c ′ ) alors c ≡ A c ′ .Lemme 2.39 :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-définissables. Un A-typepartiel p[ x] est complet au dessus de A relativement aux f i si et seulement si pour toute L A -formule ϕ[ x], il existe une L A -formule θ[ y] telle que p[ x] ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ θ[f( x)]), où f( x)représente le uplet des f i ( x).Proof . Supposons, tout d’abord, que p est complet au dessus de A relativement à f. L’ensemblede formules p[ x] ∪ p[ x ′ ] ∪ {θ[f( x)] ⇐⇒ θ[f( x ′ ) ∶ θ ∈ L A ]} ∪ {¬(ϕ[ x] ⇐⇒ ϕ[ x ′ ])} n’estpas satisfaisable (dans un extension N assez saturée de M) sinon on aurait f( x) ≡ A f( x ′ )mais pas x ≡ A x ′ , ce qui contredit notre hypothèse. Il existe donc (θ i ) i=1...n des A-formulestelles que pour tout x et x ′ réalisations de p, on ait :⋀(θ i [f( x)] ⇐⇒ θ i [f( x ′ )]) ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ ϕ[ x ′ ]).iPour tout σ ∶ ⟦1 . . . n⟧ → {0, 1}, on pose θ σ [ y] = ⋀ σ(i)=1 θ i [ y]∧⋀ σ(i)=0 ¬θ i [ y] et on définitX = {σ ∶ ∃ c ∈ N c ⊧ p et N ⊧ ϕ[ c] ∧ θ σ [f( c)]} et θ[ y] = ⋁ σ∈X θ σ [ y]. Soit alors c ⊧ pdans N , si N ⊧ ϕ[ c] alors, comme N ⊧ θ σ [f( c)] pour σ tel que σ(i) = 1 si et seulementsi N ⊧ θ i [f( c)], on a bien σ ∈ X et N ⊧ θ[f( c)]. Réciproquement, si N ⊧ θ[f( c)], il existeσ ∈ X tel que N ⊧ θ σ [f( c)], et donc il existe c ′ ⊧ p tel que N ⊧ θ σ [f( c ′ )] ∧ ϕ[ c ′ ]. On a39

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriealors, pour tout i, θ i [f( c)] ⇐⇒ θ i [f( c ′ )] et donc, comme N ⊧ ϕ[ c ′ ], on a aussi N ⊧ ϕ[ c].Comme N est assez saturé, on a exactement montré que p[ x] ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ θ[f( x)]).Réciproquement, soient c et c ′ deux réalisations de p dans N telles que f( c) ≡ A f( c ′ ) etϕ[ x] ∈ L A . Soit alors θ[ y] la formule qui existe par hypothèse. On a alors N ⊧ ϕ[ c] ⇐⇒θ[f( c)] ⇐⇒ θ[f( c ′ )] ⇐⇒ ϕ[ c ′ ] car f( c) et f( c ′ ) ont le même type. Il s’en suit donc quec ≡ A c ′ .∎On a montré dans le corollaire (2.21) que pour tout corps p-adiquement clos K, le groupeK ⋆ /(K ⋆ ) n est fini et a un système de représentants dans Q. Soit alors (q n i) un tel système dereprésentants. La surjection canonique K ⋆ → K ⋆ /(K ⋆ ) n est alors définissable par la formuler n [x, y] = ⋁ i y = q n i ∧ P n((q n i )−1 x). On peut d’ailleurs remarquer que le lemme (2.18)implique que pour tout n, 1 + p 1+2v(n) O ⊆ ker(r n ). Il s’en suit donc que si v(x − y) + 1 +2v(n) ⩽ v(x − z) alors r n (y − x) = r n (y − z), en effet y−zy−x = 1 + z−xy−xet v(x − z) − v(x − y) ⩾1 + 2v(n) et donc y−zy−x ∈ ker r n.Pour x et y ∈ Γ, on notera aussi dans la suite x ≪ y si pour tout n ∈ N, x + n ⩽ y. Commeon vient de le remarquer, on a alors que v(x − y) ≪ v(x − z) implique que pour tout n,r n (y − x) = r n (y − z). De plus soit b une boule, si x ∉ b, alors pour tout y ∈ b, v(x − y) estconstant (c’est une conséquence immédiate du caractère ultramétrique), la notation v(x−b) adonc un sens. De même, si v(x−b) ≪ ρ(b) (où ρ(b) est le rayon de la boule) alors on vient demontrer que la notation r n (x−b) à un sens. Cela dit, il suffit d’avoir v(x−b)+1+2v(n) ⩽ ρ(b),comme on l’a montré un peu plus haut. Enfin dans ce qui suit, on notera r(x−b) pour le upletdes r n (x − b), sous réserve qu’il soit bien défini.Rappelons enfin que si M ⊧ pCF eq , v est ∅-définissable (c’est même un symbole de L eq ). Eneffet, le groupe de valeur n’est autre que K ⋆ /(O / M) qui est bien un quotient définissable, etv est la projection canonique.Lemme 2.40 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ K(M), P = ⋂ i∈I b i une intersection stricte de boules A-définissables eta ∈ P(A), alors le type (α P ∣A)[x] est complet relativement à v(x − a) et aux r n (x − a).Proof . Soit L = K alg muni d’une valuation qui étend v (et qu’on notera aussi v). Dans un premiertemps nous allons montrer que l’on peut étendre les r n à L ⋆ . Soit H = (K ⋆ ) n ∩ (1 +p 1+2v(n) O L ) un sous-groupe de L ⋆ . Si ab ∈ H ∩ K ⋆ avec a ∈ (K ⋆ ) n et b ∈ (1 + p 1+2v(n) O L ),on a alors b ∈ K ⋆ , or b = 1 + p 1+2v(n) c où v(c) ⩽ 0. Mais on a alors c ∈ K et donc b ∈(1+p 1+2v(n) O K ) ⊆ (K ⋆ ) n . Il s’en suit que ab ∈ (K ⋆ ) n . On a donc montré que H∩K ⋆ = (K ⋆ ) net donc K ⋆ /P n s’identifie avec un sous groupe de L ⋆ /H, et la projection sur ce quotient étendr n . De plus on a étendu r n de façon à ce qu’il soit toujours vrai que si v(x − y) ≪ v(x − z)alors r n (x − z) = r n (y − z).Soient maintenant c et c ′ ∈ K génériques dans P au dessus de A tels que v(c−a) ≡ A v(c ′ −a)et pour tout n, r n (c − a) ≡ A r n (c ′ − a), i.e. il existe σ ∈ Aut(M/A) tel que v(c − a) =σ(v(c ′ − a)) = v(σ(c ′ ) − a) (quitte à supposer M assez homogène) et r n (c − a) = r n (c ′ − a)(car les images des r n sont dans dcl(∅)). Comme σ(c ′ ) ≡ A c ′ , il suffit de démontrer queσ(c ′ ) ≡ A c. On peut donc supposer v(c − a) = v(c ′ − a).Considérons maintenant d ∈ A alg . Si d ∉ P, soit i tel que d ∉ b i . Pour tout m ∈ N, il existe j ∈ Itel que ρ(b j ) ⩾ ρ(b i )+m sinon X = {ρ(b j ) ∶ j ∈ I} aurait un minimum, (parmi ρ(b i ), ρ(b i )+40

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorie1, . . . , ρ(b i ) + m) or comme les boules de même rayon sont soit égales soit disjointes et queP ≠ ∅, l’ensemble des b j aurait un minimum pour l’inclusion ce qui contredirait le fait que Psoit une intersection stricte. Comme d ∉ b i , on a v(d − a) < ρ(b i ) et donc, comme a, c ∈ b j ,v(c − a) ⩾ ρ(b j ) ⩾ ρ(b i ) + m > v(d − a) + m. On a donc montré que v(d − a) ≪ v(c − a).Le même résultat tient pour c ′ et donc v(c − d) = v(d − a) = v(c ′ − d) et pour tout n,r n (c − d) = r n (d − a) = r n (c ′ − d).Supposons maintenant que d ∈ P, comme v(a − d) ∈ Γ alg = div(Γ A ), il existe m ∈ N telAque mv(a − d) = γ ∈ Γ A . Pour tout l ∈ N, la boule B ⩾γ/m−l (a) est une boule A-définissableincluse dans P (par le même raisonnement que précédemment mais en utilisant maintenantque d ∈ P) et donc c ne peut y appartenir, i.e. v(c − a) < γ/m − l = v(d − a) − l et doncv(c − a) ≪ v(d − a). Par le même raisonnement, v(c ′ − a) ≪ v(d − a) et donc v(c − d) =v(c−a) = v(c ′ −a) = v(c ′ −d) et pour tout n, r n (c−d) = r n (c−a) = r n (c ′ −a) = r n (c−a).Comme tout polynôme à coefficients dans A est scindé sur A alg , et que v et les r n sont desmorphismes pour la multiplication, on a démontré que pour tout Q ∈ A[X], v(Q(c)) =v(Q(c ′ )) et pour tout n, r n (Q(c)) = r n (Q(c ′ )) i.e. P n (Q(c)) ⇐⇒ P n (Q(c ′ )). Or commeA ⊆ K(M) et que toute L eqQ-formule à paramètres et variables dans le corps est équivalentepà une L Qp -formule (c’est un propriété de T eq pour toute théorie T), le type de c sur A estentièrement déterminé par son type dans la L Qp -structure. Comme il y a élimination desquantificateurs et qu’on vient de démontrer que c et c ′ réalisent les même atomes, on a bienc ≡ A c ′ .∎Proposition 2.41 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M, (b i ) i∈I une famille de boules A-définissables d’intersection stricteP et x une variable de corps, alors pour toute L eqQ-formule à paramètres dans A, ϕ[x], on a soitpeqα P ⇒ ϕ ou α P ⇒ ¬ϕ, ou il existe une L -formule θ(y, z) et e ⊆ QpA e′ ⊆ P dans B(A), tels quex ∈ P ∧ x ∉ e ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − e), r(x − e)]) et que tous les r n (x − e) qui apparaissentdans θ soient bien définis en dehors de e ′ .Proof . Quitte à supposer M assez saturé, on peut supposer que P(a) ≠ ∅. Soit alors a ∈P(A). D’après les lemmes (2.40) appliqué à K(M) (ce qui est possible car on a bien A ⊆M = dcl(K(M))) et (2.39), il existe une L eqQ-formule θ[y, z] à paramètres dans M telle quepα P ∣M[x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]).Montrons maintenant que θ peut être choisie A-définissable. Soient N une extension élémentairede M assez saturée et homogène et σ(θ) un conjugué de θ au dessus de A (dansM, i.e. σ ∈ Aut(M /A)). Alors, pour tout x ∈ N tel que x ⊧ α P ∣M, on a alors v(x − a) ≪v(a − σ(a)) car pour tout m ∈ N, B v(a−σ(a))−m (a) est une sous-boule M-définissable de P.On a donc v(x − a) = v(x − σ(a)) et pour tout n, r n (x − a) = r n (x − σ(a)). Il s’en suit doncque θ[v(x − a), r(x − a)] ⇐⇒ ϕ[x] ⇐⇒ σ(ϕ[x]) ⇐⇒ σ(θ)[v(x − σ(a)), r(x − σ(a))]car ϕ est A-définissable, mais la dernière formule est équivalente à σ(θ[v(x − a), r(x − a)])par les égalités qu’on vient de montrer.est le système de repré-De plus supposons que seuls r 1 , . . . r N apparaissent dans θ. Si q n isentants rationnelles de K ⋆ /(K ⋆ ) n utilisés pour définir r n , pour tout J = (q i j i) i=1...N , si onnote θ J [y] = ∀z 1 . . . z N , ⋀ i z i = q i j i∧ θ[y, z]. On a σ(θ J ) = (σ(θ)) J car les q i j isont ∅-41

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriedéfinissables, et donc θ J vérifie la même propriété que θ à savoir que pour tout conjuguéσ(θ J ) au dessus de A (dans M), α P ∣M[x] ⇒ (θ J [v(x − a)] ⇐⇒ σ(θ J )[v(x − a)]). Commeθ[x, y] = ⋁ J (θ J [x]∧⋀ y i = q i j i), il suffit de montrer que tous les theta J sont A-définissables(ou du moins qu’on peut les remplacer par une formule à paramètres dans A).Considérons l’ensemble de formules suivant :Σ[x, x ′ ] = (α P ∣M)[x] ∪ {θ J [x], ¬θ J [x ′ ]} ∪ {ψ[x, a] ⇐⇒ ψ[x ′ a] ∶ ψ ∈ L eqQ p, a ∈ A}.Supposons qu’il soit satisfait par c et c ′ . Ils ont alors le même type au dessus de A et donc ilexiste un automorphisme σ ∈ Aut(M /A) tel que σ(c ′ ) = c. Mais comme c ⊧ α P ∣M, et queM ⊧ θ J [c], on a aussi M ⊧ σ(θ J )[x], mais donc aussi M ⊧ θ J [σ −1 (x)], i.e. M ⊧ θ j [c ′ ]ce qui est absurde. Cet ensemble ne peut donc pas être satisfaisable et il existe (ψ i ) i=1...mdes L eqQ-formules à paramètres dans A, telles que α P ∣M[x] ⇒p(⋀ i ψ i [x] ⇐⇒ ψ i [x ′ ]) ⇒(θ J [x] ⇐⇒ θ J [x ′ ]). Pour tout τ ∈ 2 m , soit ψ τ = ⋀ τ(i)=1 ψ i ∧ ⋀ τ(i)=0 ¬ψ i . Notons E = {τ ∈2 m ∶ ∃x ∈ N, x ⊧ α P ∣M, N ⊧ θ J [x] et N ⊧ ψ τ [x]} et ψ E = ⋁ τ∈E ψ τ . Il est alors facile de voirque α P ∣M[x] ⇒ (θ J [x] ⇐⇒ ψ E ) et cette dernière formule est bien à paramètres dans A.On peut donc supposer que les θ J , et donc aussi θ, sont à paramètres dans A.Par compacité, il suffit d’être dans un nombre fini de b i et d’éviter un nombre fini de sousboulesde P dans M pour avoir ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]. Mais ces sous-boulessont toutes incluse dans la plus petite boule qui les contient toutes (et a). On a donc I 0 ⊆ Ifini et une boule b de M tels que b ⊆ P, a ∈ b et ⋀ i∈I0 x ∈ b i ∧ x ∉ b ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x−a), r(x−a)]). Soit b ′ la boule autour de b de rayon ρ(b)−m tel que m ∈ N est suffisantpour qu’en dehors de b ′ , r n (x − b) soit bien défini pour tous les r n qui apparaissent dans θ(en reprenant les notation de ci- dessus, il suffit de prendre m = max(1+2v(n) ∶ 1 ⩽ n ⩽ N)).On a alors⋀ x ∈ b i ∧ x ∉ b ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − b), r(x − b)]). (2.1)i∈I 0Il suffit alors de montrer qu’on peut choisir b et b ′ A-définissables. Si α P ∣A ⇒ ϕ ou α P ∣A ⇒¬ϕ alors c’est fini. On peut donc supposer qu’on a a 1 et a 2 ∈ M qui réalisent α P ∣A telsque M ⊧ ϕ[a 1 ] et M ⊧ ¬ϕ[a 2 ]. Soient alors e = B ⩾v(a1 −a 2 )(a 1 ) et e ′ la boule autourde e de rayon ρ(e) − m, alors aucune paire (b, b ′ ) qui satisfait (2.1) ne peut vérifier que b ′et e ′ sont disjoints. En effet, si c’était le cas, comme b est disjoint de e ′ , on aurait ρ(e ′ ) =v(a 1 − a 2 ) − m > v(a 1 − b) et donc v(a 1 − b) = v(a 2 − b) et pour tout n tel que r n apparaîtdans θ, r n (a 1 − b) = r n (a 2 − b). De plus, comme a 1 , a 2 ∉ b ′ , on a ϕ[a 1 ] ⇐⇒ θ[v(a 1 −b), r(a 1 −n)] ⇐⇒ θ[v(a 2 −b), r(a 2 −n)] ⇐⇒ ϕ[a 2 ] ce qui est absurde. Quitte à agrandirb pour que son rayon soit supérieur à v(a 1 − a 2 ) ∈ Γ M , on peut supposer que ρ(b ′ ) ⩾ ρ(e ′ ),on a donc forcément e ′ ⊆ b ′ . Comme tous les conjugués de (b, b ′ ) au dessus de A vérifient(2.1), un conjugué de b ′ au dessus de A ne pas être disjoints de e ′ et donc de b ′ . Cela impliqueaussi, quitte a appliquer un automorphisme, que deux conjugués de b ne peuvent pas êtredisjoints.Soit ψ[x, d] une LeqQ p-formule qui défini b ′ . Soit p = tp( d/Aρ(b ′ )). Si l’ensemble de formulesp[y] ∪ {¬(∀x ψ[x, d] ⇐⇒ ψ[x, y])}42

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieétait satisfaisable, on aurait σ ∈ Aut(M/Aρ(b ′ )) tel que ψ[x, d] et ψ[x, σ( d)] ne définissentpas le même ensemble, i.e. b ′ ≠ σ(b ′ ). D’après ce qu’on vient de démontrer, on a soit b ′ ⊆σ(b ′ ), soit σ(b ′ ) ⊆ b ′ . Mais comme σ fixe ρ(b ′ ), on a ρ(σ(b ′ )) = σ(ρ(b ′ )) = ρ(b ′ ) etdonc b ′ = σ(b ′ ), ce qui est absurde. Il s’en suit donc qu’il existe (χ[ y, z]) une L eqQ p-formule àparamètres dans A, telle que M ⊧ ∀ d ′ χ[ d ′ , ρ(b ′ )] ⇒ (∀xψ[x, d] ⇐⇒ ψ[x, d ′ ]) et on peutsupposer que χ[y, z] implique que ψ[x, y] est une boule de rayon z (car c’est exprimable parune formule qui est dans le type de d). De plus, si on note q = tp( d/A) et δ[x1 , x 2 , y 1 , y 2 ] =ψ[x 1 , y 1 ] ∧ ¬ψ[x 2 , y 1 ] ∧ ¬ψ[x 1 , y 2 ] ∧ ψ[x 2 , y 2 ], l’ensemble de formulesq[ d1 ] ∪ q[ d2 ] ∪ δ[x 1 , x 2 , d1 , d2 ]n’est pas satisfaisable. En effet, il y aurait alors deux conjugués de b au dessus de A qui ne sontpas inclus l’un dans l’autre, i.e. sont disjoints, ce qui contredit ce que l’on a vu précédemment.Il s’en suit donc qu’il existe χ 1 et χ 2 deux formules de q telles que M ⊧ ∀ d1 d2 χ 1 [ d1 ] ∧χ 2 [ d2 ] ⇒ (∀x 1 x 2 ¬δ[x 1 , x 2 , d1 , d2 ]). Posons alors ζ[x, z] = ∃ d ′ χ[ d ′ , z] ∧ χ 1 [ d ′ ] ∧ χ 2 [ d ′ ] ∧ψ[x, d ′ ] qui est à paramètres dans A. Cette formule permet alors de définir une fonction fA-définissable qui a un rayon γ associe une boule de rayon γ telle que f(ρ(b ′ )) = b ′ . De plusles images par f forment une chaîne. En effet, si l’on a γ 1 et γ 2 tels que f(γ 1 ) et f(γ 2 ) ne sontpas inclus l’un dans l’autre, i.e. sont disjoints, alors il existe x 1 , x 2 , d1 et d2 dans M tels queM ⊧ δ[x 1 , x 2 , d1 , d2 ] ∧ χ 1 [ d1 ] ∧ χ 2 [ d2 ], ce qui est absurde.On note alors f ′ la fonction qui à γ associe la boule de rayon m de moins autour de f(γ).L’ensemble G des γ ∈ Γ M tels que (f(γ), f ′ (γ)) vérifie (2.1) est donc A-définissable et nonvide car il contient ρ(b ′ ) (en effet comme (b, b ′ ) vérifie (2.1) et que f ′ (ρ(b ′ )) contient b ′ quicontient b, (b ′ , f ′ (ρ(b ′ ))) vérifie aussi (2.1)).Si cet ensemble est majoré il admet un maximum. En effet, le groupe de valeur de Q p est Z oùcette propriété est vérifiée et elle s’exprime au premier ordre. Soit donc γ 0 un majorant de G,il est donc A-définissable et (f(γ 0 ), f ′ (γ 0 )) est une paire de boules A-définissables vérifiant(2.1). Si f(γ 0 ) ⊆ P alors ce sont les boules recherchées, sinon f ′ (γ 0 ) et P sont disjoints et donccomme a 1 et a 2 sont dans P, v(a 1 − f(γ 0 )) ≪ v(a 1 − a 2 ). Il s’en suit alors que ϕ[a 1 ] ⇐⇒θ[v(a 1 − f(γ 0 )), r(a 1 − f(γ 0 ))] ⇐⇒ θ[v(a 2 − f(γ 0 )), r(a 2 − f(γ 0 ))] ⇐⇒ ϕ[a 2 ] ce quiest absurde.S’il n’est pas majoré, considérons l’ensemble X = ⋂ γ∈G f(γ) qui est A-définissable et ne peutcontenir au plus qu’un point. De plus, comme la propriété que les intersections de chaînesdéfinissables de boules sont non vides est vraie dans Q p et s’exprime au premier ordre, ils’en suit que X est non vide et est donc réduit à un point a, qui est donc nécessairementA-définissable. Soient alors x ∈ P distinct de a et γ ∈ G tel que γ − m > v(x − a), on aalors ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − f(γ)), r(x − f(γ))] mais comme a ∈ f(γ), on a bien ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x − a), r(x − a)]. On peut alors choisir pour e et e ′ la boule de rayon ∞ autour de a. ∎Corollaire 2.42 :Avec les même notations que dans le lemme précédent, s’il existe b ∈ B(A) tel que b ⊆ P alors α Pest complet relativement à v(x − b) et aux r n (x − b). Si, par contre, il n’existe pas de tel b alorsα P est complet.Proof . Supposons qu’il existe b ∈ B(A) tel que b ⊆ P. Soit ϕ[x] une L A -formule, si α P [x] ⇒ϕ[x], on a α P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ v(x) = v(x)) et si α P [x] ⇒ ¬ϕ[x], on a α P [x] ⇒43

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorie(ϕ[x] ⇐⇒ ¬v(x) = v(x)). Dans les autres cas, d’après la proposition (2.41), il existe uneformule θ et e ⊆ e ′ ⊆ P dans B(A) tels que x ∈ P∧x ∉ e ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x−e), r(x−e)]).Soit c la plus petite boule qui contient b et e, elle est bien A-définissable et donc toute réalisationx de α P est à l’extérieure de cette boule (et même loin de cette boule). Il s’en suit doncque v(x − b) = v(x − c) = v(x − e) et de même pour r. On a donc α P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x − b), r(x − b)]). Il suit alors du lemme (2.39), que α P est complet au dessus de A relativementà v et r.Par contre, si un tel b n’existe pas, si on n’a pas α P ⇒ ϕ où α P ⇒ ¬ϕ alors on devrait avoirun e ∈ B(A) qui sont inclus dans P, par la proposition (2.41), ce qui est absurde. ∎Corollaire 2.43 :Soient M eq ⊧ pCF eq , A ⊆ M eq tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et B = B(A) alors pour toutc ∈ K(M), tp(c/B) ⇒ tp(c/A).Proof . Soient c et c ′ qui ont le même type au dessus de B et montrons qu’ils ont aussi le mêmetype au dessus de A. Tout d’abord, d’après le lemme (2.36), comme A est algébriquementclos, c est générique dans une intersection stricte P de boules A-définissables. Comme α p ⊆tp(c/B), c ′ est aussi générique sur P. D’après le corollaire (2.42), si P ne contient pas de boulede B alors α P est complet et comme c et c ′ en sont deux réalisations, on a bien c ≡ A c ′ . Parcontre s’il existe une boule b ∈ B incluse dans P, toujours par ce corollaire, il suffit de vérifierque v(c − b), r(c − b) a le même type au dessus de A que v(c ′ − b), r(c ′ − b).Tout d’abord comme les valeurs des différents r i sont dans Q ⊆ dcl(∅) et que c ≡ B c ′ et doncen particulier que c − b ≡ Q c ′ − b, r(c − b) et r(c ′ − b) ont bien le même type (ils sont enfait égaux). De plus comme Γ est plongé stablement et que tous ses points sont codés par uneboule, le type de v(c − b) sur B implique celui sur Γ(A) et donc sur A. On a donc bien quev(c − b) ≡ A v(c ′ − b).∎La proposition qui suit est une forme de réciproque à la proposition (2.41). On y avait démontréque pour rendre complet un α P , il faut spécifier le type de (v(x − a), r(x − a)) pourun certain a. La proposition qui suit montre que réciproquement, quelque soit le type qu’onchoisisse pour (v(x − a), r(x − a)), s’il est raisonnable alors il sera consistant avec α P .Définition 2.44 (P Γ ) :Si P = ⋂ b∈B b est une intersection de boules, on notera P Γ = {γ ∈ Γ ∶ ∀b ∈ B, γ ⩾ ρ(b)}. Onnotera aussi P Γ l’ensemble de formules qui définit ce type partiel.On peut d’ailleurs remarquer que dans ACVF, P Γ est un type total.Proposition 2.45 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M, P = ⋂ b∈B b intersection stricte de boules A-définissables et q[y, z] letype d’un certain (v(c), r(c)) au dessus de A tel que q[y, z] implique P Γ [y] et y < γ pour toutγ ∈ P γ (A). Alors (α P ∣M)[x] ∪ ⋃ a∈P(M) q[v(x − a), r(x − a)] est consistant.Proof . On peut supposer M assez saturé pour que P(M) soit non vide. Soit alors a ∈ P(M).Montrons que q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)} est consistant. En effet, s’il ne l’était pas,par compacité, il existerait γ ∈ P Γ (M) et ψ ∈ q une L A -formule tels que ψ[y, z] ⇒ y ⩾ γ.Comme z n’apparaît pas à droite de l’implication, quitte à remplacer ψ pas ∃ zψ[y, z], on peut44

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriesupposer que sa seule variable est y. Comme ψ[M] a un minorant, elle admet une borneinférieure γ ′ (cette propriété est vraie dans Z et s’exprime au premier ordre). Comme ψ[M]a un minorant dans P Γ , γ ′ est dans P Γ (A) et on a q[y] ⇒ y ⩾ γ ′ , ce qui est absurde.Soit alors (γ, s) ⊧ q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)} (dans une extension élémentaire de M).Par hypothèse, la formule ∃x, v(x) = y ∧ r(x) = z est dans q (à vrai dire comme r est unuplet infini, tout bout fini de cette formule est dans q). Par compacité, existe donc c tel que(v(c), r(c)) ⊧ q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)}. On pose alors d = a + c. Tout d’abord, commev(d − a) = v(c) ∈ P Γ , et que a ∈ P, il s’en suit immédiatement que d ∈ P. De plus si détait dans une boule b M-définissable incluse dans P, quitte à la remplacer par la plus petiteboule qui contient a et b, on pourrait supposer que b contient a. Mais alors ρ(b) ∈ P Γ (M) etv(c) = v(d−a) ⩾ ρ(b), ce qui contredit la définition de c. On a donc bien d ⊧ α P ∣M. De plus,soit a ′ ∈ P(M), comme d est générique dans P au dessus de M, on a v(d − a) ≪ v(a − a ′ ).Il s’en suit donc qu’on a v(d − a ′ ) = v(d − a) = v(c) et r(d − a ′ ) = r(d − a) = r(c) et, commec ⊧ q[v(c), r(c)], on a bien (v(d − a ′ ), r(d − a ′ )) ⊧ q.∎Pour finir montrons l’existence d’extensions invariantes dans pCF. Avant de commencer rappelonscependant que dans un Z-groupe, il existe des extension invariantes. Toute type p surun ensemble de paramètres A est déterminé par l’ensemble des n k ∈ ⟦0 . . . k − 1⟧ tels quex − n k est un multiple de k et par la coupure réalisée par x dans A. Comme les n k sont définissablessur le vide, une extension de p est juste une extension de la coupure, et elle peutêtre choisie de façon à être A-invariante (par exemple en mettant à gauche tout les nouveauxpoints qui réalisent la coupure sur A).Proposition 2.46 :Soient M eq ⊧ pCF eq , A ⊆ M eq tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et c ∈ K(M), p = tp(c/A) aalors une extension Aut(M eq /A)-invariante.Proof . D’après le lemme (2.36), c est générique sur une intersection stricte P de boules A-définissables. Supposons qu’il existe une boule a A-définissable incluse dans P, on note alorsq = tp(v(c−a), r(c −a)/A). D’après la proposition (2.41), on a alors α P ∣A∪q[v(x−a), r(x−a)] ⇒ p[x]. On pose alors s i = r i (x − a) ∈ Q et soit q ′ une extension Aut(Γ(M)/Γ(A))-invariante de tp(v(c − a)/Γ(A)). Comme Γ est stablement plongé, q ′ est un type completsur M eq et il est bien Aut(M eq /A)-invariant. De même le type t[y, z] = q ′ [y] ∪ {z = s i }est un type complet sur M eq qui est Aut(M eq /A)-invariant (il est consistant car commeprécédemment toute sous formule finie de ∃x v(x) = y ∧ v(x) = y est dans q dont q ′ estune extension). Par la proposition (2.45), p ⋆ = α P ∣M eq ∪ ⋃ m∈P(M eq ) t[v(x − m), r(x − m)]est consistant. Il est évident qu’il est complet par le corollaire (2.42) et qu’il étend p. De plus,α P ∣M eq est clairement Aut(M eq /A)-invariant et si σ ∈ Aut(M eq /A) et m ∈ P(M eq ) alorsσ(m) ∈ P(M eq ) et σ(t[v(x − m), r(x − m)]) = t[v(x − σ(m)), r(x − σ(m))] est aussi inclusdans p ⋆ , d’où p ⋆ est Aut(M eq /A)-invariant.∎Remarque 2.47 :Comme pour les résultats de la section précédente, les résultats de cette section ne seront pas utilisésexactement dans le cadre où on les a démontrés. Mais ici, on s’est déjà placé dans un modèle depCF eq . Le passage à une extension définissable ne changeant rien aux types, on pourra les appliquersans soucis.45

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorie2.4 Extensions algébriques des corps p-adiquement closOn va commencer dans cette partie par étudier les extensions finies de Q p , pour étendreensuite cette étude aux corps p-adiquement clos. La partie algébrique de ce qui suit est inspiréde [Lan94, ch. II], [Lan02, ch. XII], [Nar74, ch. V §2] et [Ser68, ch. III §6].Définition 2.48 (indice de ramification et d’inertie) :Soit (L, w) ⩾(K, v) une extension finie de corps valué. On note e(w∣v) = [Γ w ∶ Γ v ] (ou plus simplemente(L∣K) si les valuations sont évidentes) le degré de ramification et f(w∣v) = [k w ∣k v ] l’indiced’inertie.Lemme 2.49 :Soit (L, w) ⩾(K, v) une extension finie, on a alors e(w∣v)f(w∣v) ⩽ [L ∶ K] (en particulier e(w∣v)et f(w∣v) sont finis).Proof . Soient w(x 1 ), . . . , w(x r ) des éléments de classes distinctes de Γ L /Γ K (où x i ∈ L ⋆ ) ety 1 , . . . , y s une famille k K -libre de k L . Montrons alors que la famille (x i y j ) i,j est libre sur K.Considérons donc a i,j ∈ K tels que ∑ i,j a i,j x i y j = 0. Quitte à retirer des termes, on peutsupposer que pour tout i il existe j tel que a i,j est non nul. Fixons alors un i et soit j i tel quev(a i,ji ) est minimal. ∑ j a i,j /a i,ji y j est alors une combinaison des y j à coefficients dans Odont un des coefficients est de valuation nulle. Son résidu est une combinaison des y j dontun des coefficients est non nul, elle ne peut donc pas être nulle et donc v(∑ j a i,j /a i,ji y j ) =0, i.e. v(∑ j a i,j y j ) = v(a i,ji ), il s’en suit que ∞ = v(∑ i,j a i,j x i y j ) = ∑ i v(a i,ji )v(x i ). Ilexiste donc i 1 et i 2 tel que v(a i1 ,j i1)v(x i1 ) = v(a i2 ,j i2)v(x i2 ). Mais alors v(x i1 ) − v(x i2 ) =v(a i2 ,j i2/a i1 ,j i1) ∈ Γ K ce qui est absurde. Comme cette famille est libre, on doit donc avoirrs ⩽ [L ∶ K].Supposons maintenant que e(w∣v) sont infini, on particulier on peut trouver une famillex 1 , . . . , x r telle que précédemment avec r > [L ∶ K]. Mais on a alors [L ∶ K] < r ⩽ [L ∶ K],ce qui est absurde. Donc e(w∣v) est fini, et de même f(w∣v) est fini. On peut alors prendrer = e(w∣v) et s = f(w∣v) pour obtenir le résultat voulu.∎Proposition 2.50 :Soient (K, v) un corps valué complet de valuation discrète et (L, w) une extension finie, alors[L∣K] = e(w∣v)f(w∣v). De plus L est aussi à valuation discrète. Si l’extension k L ⩾ k K est séparable,il existe a ∈ L tels que L = K[a, Π] (où Π est une uniformisante de L et le polynôme minimalannulateur de a est dans O[X]) et O L = O K [a, Π], K[a] ⩾ K est purement inertielle, res(K[a]) =k L , K[Π] ⩾ K est purement ramifiée et v(K[Π]) = Γ L (en fait K[a, Π] ⩾ K[a] est aussi purementramifiée).Proof . On notera dans cette preuve e pour e(w∣v) et de même pour f. Tout d’abord par lecorollaire (2.8) L est un corps valué complet. De plus soit π une uniformisante de v, commeΓ L /Γ K est fini, entre 0 et π il y a au plus un nombre fini de points et donc Γ L a un plus petitélément, i.e. L est à valuation discrète. Soit alors Π une uniformisante de L. Comme [Γ L ∶Γ K ] = e, on a ew(Π) ∈ Γ. De plus, par la remarque (2.11), Γ L est monogène, il existe donc ntel que v(π) = nw(Π). Si on prend ce n minimal, on a alors n ⩽ e, et (iw(Π)) i=0...n−1 sontdans des classes différentes modulo Γ K (car leurs différences sont plus petites que π). De plus,46

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriesoit γ ∈ Γ L , il existe m tel que γ = mw(Π) = (qn + r)w(Π) = qv(π) + rw(Π) où 0 ⩽ r < n etdonc e = [Γ L ∶ Γ K ] = n, i.e. ew(Π) = v(π).Soit de plus (a i ) i=0...f−1 une base de k L ⩾ k K . Si R est un système de représentants de k Kalors {∑ f−1i=0 r ia i ∶ r i ∈ R} est un système de représentants de k L . Comme la famille des(Π i π j ) i=0...e−1,j∈Z vérifie que w(Π i π j ) = i + ejw(Π), par le lemme (2.13), tout x ∈ L s’écrit∞∑j=Ne−1∑i=0f−1( ∑l=0r i,j,l a l ) Π i π j =e−1 f−1∑ ∑i=0 l=0⎛∞∑ r i,j,l π j⎞ ⎝ ⎠ a lΠ ior ∑ ∞ j=N r i,j,lπ j ∈ K et donc la famille à ef éléments (a l Π i ) est une famille génératrice de Lau dessus de K et donc [L ∶ K] ⩽ ef. Le lemme (2.49) permet alors de conclure qu’on a bien[L ∶ K] = ef.Supposons maintenant que k L ⩾ k K est séparable. Soit alors α un élément primitif de cetteextension et P ∈ k K [X] son polynôme minimal (que l’on choisit unitaire) qui est séparable.Soit Q ∈ O K [X] unitaire tel que res(Q) = P, comme K est complet et donc Hensélien (voir(2.9)), il existe a ∈ O L tel que Q(a) = 0 et res(a) = α. On peut alors prendre a i = a i dansla preuve précédente et on a alors bien L = K[a, Π]. De plus, on a x ∈ O L si et seulement siN ⩾ 0 mais alors ∑ ∞ j=N r i,j,lπ j ∈ O K et on a donc bien O L = O K [a, b].Enfin, comme w(Π) > 0, on a res(Π) = 0 et donc res(K[Π]) = res(K) = k K et donc l’extensionest purement ramifiée. De plus [K[a] ∶ K] ⩽ deg(Q) = deg(P) = [k L ∶ k K ] ⩽ [K[a] ∶ K] car(res(a) i ) i=0...f−1 est une famille génératrice de k L au dessus de k K . Il s’en suit que [K[a] ∶K] = [k L ∶ k K ] et comme res(K[a]) = k L c’est bien une extension purement inertielle. Pourfinir, on peut remarquer que [K[a, Π] ∶ K[a]] = e = [Γ L ∶ Γ K ] et comme v(K[a]) = Γ K carl’extension est purement inertielle, on a bien que K[a, Π] ⩾ K[a] est purement inertielle. ∎Remarque 2.51 :On remarque que dans la preuve précédente on a démontré que si (K, v) est un corps valué completde valuation discrète, (L, w) une extension finie, Π une uniformisante de L et a tel que res(a)soit primitif de k L au dessus de k K , alors la famille (a i Π j ) pour 0 ⩽ i < f(w∣v) et 0 ⩽ j

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieet on muni L de la restriction de la valuation de K alg . Comme P(res(a)) = res(Q(a)) = 0, ona k L ⊇ k (ou du moins k s’injecte dans k L au dessus de k K ), de plus k L est engendré par lesres(a i ) i=1...[L∶K] au dessus de k K et donc [L ∶ K] ⩽ deg(Q) = deg(P) = [k ∶ k K ] ⩽ [k L ∶ k K ] ⩽[L ∶ K], i.e. L ⩾ K est purement ramifié et k L ≅ kK k K . On a donc montré l’existence.Montrons maintenant l’unicité. Soit L ′ ⩾ K une extension purement ramifiée telle que k L ′ ≅ kK k.Comme L ′ est Hensélien (c’est une extension finie d’un corps Hensélien), il existe a ′ ∈ L ′ telque Q(a ′ ) = 0. On a alors K[a ′ ] ≅ K K[a] (et ils sont isomorphe en temps que corps valuéspar unicité de l’extension de la valuation au dessus d’un corps Hensélien). Mais par les mêmeconsidérations que précédemment, le corps résiduel de K[a ′ ] est k L ′ et comme L ′ ⩾ K estpurement ramifiée, il s’en suit que L ′ = K[a ′ ].Supposons maintenant que k ⩾ k K soit normale. Le polynôme P est donc scindé dans k L et parle lemme d’Hensel appliqué à chaque racine, Q est scindé sur L. Comme Q ⩾ K est engendrépar une des racines de Q, c’est le corps de décomposition de Q et il est donc normal et unique.∎Corollaire 2.53 :Soit (K, v) un corps hensélien de corps résiduel fini, alors K n’a qu’une extension purement inertiellede degré donné.Proof . Comme un corps fini est parfait, n’a qu’une seule extension finie de degré donné et quecette extension est le corps de décomposition d’un polynôme de la forme X q −X, i.e. est doncnormale, le lemme (2.52) implique le résultat voulu.∎Définition 2.54 (Polynôme d’Eisenstein) :Soient (K, v) un corps valué à valuation discrète d’uniformisante π, P ∈ O[X] unitiare et (a i )tels que P = ∑ n i=0 a iX i , on dit que P est un polynôme d’Eisenstein si v(a n ) = 0, pour tout i ≠ na i ∈ M et v(a 0 ) = v(π).Lemme 2.55 :Tout polynôme d’Eisenstein est irréductible.Proof . Soit P un polynôme d’Eisenstein, supposons que P = QR où Q et R ∈ K[X]. Soient(q i ) (respectivement (r j )) les coefficients de Q (respectivement R) et q i0 (respectivement R j0 )le premier coefficient dont la valuation est minimale. On a alors (q i0 r j0 ) −1 P = q −1i 0Qr −1j 0Ret le polynôme à droite de l’égalité est dans O[X]. Le coefficient dominant de ce polynome(q i0 r j0 ) −1 est dans O et donc v((q i0 r j0 ) −1 ) ⩾ 0, i.e. v(q i0 )+v(r i0 ) ⩽ 0. Mais si on considèrele i 0 +j 0 -ième coefficient de P, on a v(∑ i+j=i0 +j 0q i r j ) ⩾ 0. Si i < i 0 alors v(q i r j ) < v(q i0 r j0 )et de même si j < j 0 et donc v(q i0 r j0 ) = v(∑ i+j=i0 +j 0q i r j ) ⩾ 0. On a donc montré quev(q i0 ) = −v(r i0 ) et donc q i0 R ∈ O[X]. Comme P = q −1i 0Qq i0 R, on peut supposer que Q et Rsont dans O[X].Mais comme res(P) = cX n pour un certain c ∈ k ⋆ , res(Q) et res(R) qui le divisent sont ausside cette forme et donc res(q 0 ) = res(Q)(0) = 0 et de même res(r 0 ) = 0, il s’en suit donc quele coefficient constant de P qui est q 0 r 0 a une valuation d’au moins 2v(π) ce qui est absurde.∎48

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieLemme 2.56 :Soient (K, v) un corps complet de valuation discrète. Les extensions purement ramifiées de K sontexactement les corps de rutpures de polynomes d’Eisenstein.Proof . Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension purement ramifiée. Comme dans la preuve de laproposition (2.50), on montre que L est à valuation discrète et que si Π est une uniformisantede L et π une uniformisante de K et que [L ∶ K] = e alors ew(Π) = v(π) et L = K[Π]. Soit alorsP ∈ K[X] le polynôme minimal unitaire de Π. Montrons qu’il est d’Eisenstein. Tout d’abord,remarquons que si σ ∈ Aut(K alg /K), σ(Π) engendre une extension isomorphe à L et donc parunicité de l’extension de v (car K est hensélien), l’anneau de valuation de K[σ(Π)] muni d’uneextension w ′ de w à K alg est σ(O L ) et son idéal maximal est σ(Π O L ) = σ(Π)σ(O L ). Il s’ensuit donc que σ(Π) est une uniformisante de K[σ(Π)] muni de w ′ et donc que ew ′ (σ(Π)) =v(π) = ew(Π). Comme un groupe abélien totalement ordonné est sans torsion, on doit avoirw ′ (σ(Π)) = w(Π).Comme tous les coefficients de P peuvent s’exprimer comme des polynômes symétriquesdes racines dont les seuls coefficients sont des 1, il s’en suit tous les coefficients de P sauf lecoefficient dominant sont dans M L or M L ∩K = M K et donc tous les coefficients de P sauf lecoefficient dominant, sont dans M K . De plus a 0 est le produit des e conjugués de Π et doncv(a 0 ) = ew(Π) = v(π). On a donc bien montré que P est un polynôme d’Eisenstein.Supposons maintenant que L soit engendré au dessus de K par une racine b d’un polynômed’Eisenstein P de degré n. Comme les polynômes d’Eisenstein sont irréductibles (voir lemme(2.55)), [L ∶ K] = n. De plus par le même argument que précédemment, les conjugués de bont la même valuation et si a 0 est le coefficient constant de P, alors nw(b) = v(a 0 ) = v(π)et donc [Γ L ∶ Γ K ] ⩾ n or c’est aussi au plus n et donc l’extension est purement ramifiée. ∎Lemme 2.57 (Lemme de Krasner) :Soient (K, v) un corps complet et a et b ∈ K alg (muni d’une valuation w qui étend v) tel que asoit séparable au dessus de K[b]. Supposons que pour tout a ′ conjugué de a au dessus de K, on aitw(b − a) > w(a ′ − a), alors K[a] ⊆ K[b].Proof . Soit L une extension normale de K contenant a et b. Si a ∉ K[b], il a un conjugué audessus de K[b] et donc comme l’extension est normale il existe σ ∈ Aut(L/K[b]) qui ne fixepas a. Par unicité de l’extension de la valuation, on a v(σ(a) − b) = v(σ(a − b)) = v(a − b)et donc v(b − a) > v(σ(a) − a) = v(σ(a) − b + b − a) ⩾ v(b − a), ce qui est absurde. On adonc a ∈ K[b].∎Soit (K, v) un corps valué, on munit K[X] de la norme ∣ ∑ a i X i ∣ = max i (v(a i )).Corollaire 2.58 :Soient (K, v) un corps complet et P ∈ K[X] un polynôme unitaire irréductible et séparable. SiG ∈ K[X] est un polynôme unitaire de même degré tel que ∣P − Q∣ est assez grand, alors G est aussiirréductible et pour toute racine α de P (dans une clôture algébrique fixée de K) il existe une racineβ de Q tel que K[α] = K[β].Proof . Montrons tout d’abord que pour tout M ≠ ∞ il existe N ≠ ∞ tel que si ∣P − Q∣ > Nalors pour toute racine α de P il existe une racine β de Q telle que v(α − β) > M. Soient β i49

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieles racines de Q, supposons que pour tout i, v(α − β i ) ⩽ M. On a alors v(P(α) − Q(α)) =v(Q(α)) = v(∏ i α − β i ) ⩽ nM où n est le degré de P. Mais on a aussi, si on note a j les coefficientsde P et b j ceux de Q, v(P(α)−Q(α)) = v(∑ j (a j −b j )α j ) ⩾ min j (v(a j −b j )jv(α)) ⩾∣P − Q∣ + min j (jv(α)). On a donc ∣P − Q∣ ⩽ nM − min j (jv(α)) ce qui est absurde si on poseN = nM − min j (jv(α)).Notons alors α i les racines de P et posons M = max i≠j (v(α i −α j )) qui est bien différent de ∞car P est séparable. Soit alors N tel que dans le paragraphe précédent, si ∣Q−P∣ > N, pour touti, il existe β ji tel que v(α i − β ji ) > M ⩾ v(α i − α k ) pour tout k ≠ i. Par le lemme de Krasner(2.57), on a alors K[α i ] ⊆ K[β ji ], mais comme [K[β ji ] ∶ K] ⩽ deg(Q) = n = [K[α i ] ∶ K], on aK[α i ] = K[β ji ] et donc Q est le polynôme minimal annulateur de β ji , i.e. il est irréductible.∎Lemme 2.59 :Soit (K, v) un corps complet de valuation discrète et de corps résiduel fini, alors O est compact.Proof . Soient π une uniformisante de K et (a n ) n∈N une suite d’éléments de O = B ⩾0 (0), ilsuffit de montrer qu’on peut en extraire une suite convergente. On construit b i par récurrencede telle façon que la boule B ⩾iv(π) (b i ) contienne une infinité d’éléments de la suite(a n ) et que ces boules forment une suite décroissante. On peut poser b 0 = a 0 . Supposonsque b i soit construit, par le lemme (2.12), la boule B ⩾iv(π) (b i ) est recouverte par une unionfinie des boules de rayon i + 1. Comme B ⩾iv(π) (b i ) contient une infinité d’éléments de (a n )c’est aussi le cas d’un de ces sous-boules. On pose b i+1 le premier élément de la suite aprèsb i à être dans cette sous-boule.Cette suite vérifie que pour tout N, si i et j sont supérieurs à N alors b i et b j sont tous lesdeux dans la boule B ⩾Nv(π) (b N ) et donc v(b i − b j ) ⩽ N. C’est donc une suite de Cauchy carle groupe de valeurs de K est Archimédien. Comme le corps est complet, elle converge. ∎Lemme 2.60 :Soit (K, v) un corps complet de valuation discrète et de corps résiduel fini, alors K a un nombre finid’extension purement ramifiées d’un degré donné.Proof . Soit E d l’ensemble des polynômes d’Eisenstein de degré d, par définition des polynômesd’Eisenstein, on a E d = O ⋆ ×M d−1 ×(M/M 2 ). Comme la valuation est discrète toutesles boules sont ouvertes et fermées et donc tous les ensembles qui apparaissent dans ce produitsont fermés, inclus dans O, or par le lemme (2.59) O est compact, donc ils le sont tous. Ils’en suit que E d est compact pour la topologie produit. Soit L ⩾ K une extension purement ramifiéede degré d, on pose U L = {P ∈ E ∶ L est un corps de rupture pour P}. D’après le lemme(2.56), et comme les polynômes d’Eisenstein sont irréductibles, les U L recouvrent E d . Maispar le corollaire (2.58) ces ensembles sont ouverts pour la topologie produit. Comme E d estcompact, il est recouvert par un nombre fini de U L , i.e. il existe n extensions L 1 , . . . L n tellesque tout polynôme d’Eisenstein sur K de degré d admet l’un des L i comme corps de rupture.Quitte à agrandir un peu n on peut supposer que tous les conjugués (qui sont en nombrefinis) des L i au dessus de K sont parmi les L i . Soit alors L ⩾ K une extension purement ramifiéede degré d, par le lemme (2.56), c’est le corps de rupture d’un polynôme d’Eisensteinqui admet donc un des L i comme corps de rupture. Il s’en suit que L est conjugué à ce L i audessus de K et donc est lui même l’un des L i .∎50

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProposition 2.61 :Soit (K, v) un corps complet de corps résiduel fini et à valuation discrète, alors K a un nombre finid’extensions de degré donné.Proof . Comme on l’a montré dans la proposition (2.50), toute extension finie de K est la composéed’une extension purement inertielle et d’une extension purement ramifiée. Soit alorsn ∈ N ⋆ . Il existe un nombre fini de façon d’écrire n sous la forme ef avec e et f ∈ N ⋆ . D’aprèsle corollaire (2.53), il existe une unique extension purement inertielle de K de degré f. Cetteextension finie est aussi complète par le corollaire (2.8) et, comme le groupe de valeur nechange pas, évidemment aussi à valuation discrète. Par le lemme (2.60), ce corps a donc unnombre fini d’extensions purement ramifiées de degré e.∎Proposition 2.62 :Soit (Q p , v p ) ⩽(K, v) une extension finie, il existe alors α ∈ Q alg tel que K = Q p [α], que O K =Z p [α] et que le polynôme minimal annulateur de α au dessus de Q p soit dans Q.Proof . Soient a et Π tels que K = Q p [a, Π], O K = Z p [a, Π], Q p ⩽ Q p [a] est purement inertielle,le polynôme minimal de a est dans Z p [X] et Q p ⩽ Q p [Π] est purement ramifiée (cettedécomposition est donnée à la proposition (2.50)). Comme Q est dense dans Q p est que Zest dense dans Z p , quitte à remplacer a et Π par des racines de polynômes assez proches deleurs polynômes minimaux, on peut supposer que le polynôme minimal de Π est dans Q[X]et que celui de a est dans Z[X]. Il est alors facile de vérifier que Π est alors toujours uneuniformisante.Posons alors α = a + Π. On sait alors qu’il existe un polynôme P dans Q[X] de degré n quiannule α. Soit Q le polynôme minimal de a, d’après la formule de Taylor, Q(α) = Q(a) +ΠQ ′ Q(a) + ∑ (i) (a)iΠ i = Q(a) + ΠQ ′ (a) + Π 2 b où b ∈ Oi! K . Comme res(a) engendrek K au dessus de F p , que [k K ∶ F p ] = deg(Q) = deg(res(Q)) et que res(Q)(res(a)) =res(Q(a)) = 0, il s’en suit que Q est res(Q) est irréductible et donc, comme F p est parfait,que res(Q ′ (a)) ≠ 0, i.e. v(Q ′ (a)) = 0. Il s’en suit donc que v(Q(α)) = v(Π), i.e. Q(α)est une uniformisante. Comme res(α) = res(a) est un élément primitif de k K ⩽ F p , d’aprèsla remarque (2.51), la famille α i Q(α) j , et donc la famille (α i ), génère K au dessus de Q p etO K au dessus de Z p . Le polynôme P est donc bein irréductible et est donc bien le polynômeminimal annulateur de α.∎Théorème 2.63 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors K a un nombre fini d’extensions d’un degré donné et elles sont toutesengendrées par un élément algébrique sur Q qui engendre aussi l’anneau de valuation et dontle polynôme minimal annulateur au dessus de K est dans Q.Proof . On a montré aux propositions (2.61) et (2.62) que ces propriétés sont vraies pour Q p , ilsuffit donc de montrer qu’elles sont exprimables au premier ordre. Fixons alors un degré n etP 1 , . . . P k des polynômes de degré n à coefficients dans Q tels que leurs corps de rupture sontles extensions de degré n de Q p et qu’une de leur racine dans un corps de rupture engendrel’anneau de valuation.Mais les extensions finies de degré n d’un corps sont définissables de façon uniforme avecpour paramètres les coefficients du polynôme minimal d’un élément primitif. On peut donc51

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieexprimer au premier ordre que dans toute extension L de degré donné il y a un élément αqui annule un des P i . De plus on peut exprimer au premier ordre que l’anneau engendré parα au dessus de O K est un anneau de valuation. Comme K est hensélien, c’est donc l’uniqueanneau de valuation au dessus de O K et c’est donc forcément O L .∎2.5 Élimination des imaginaires dans pCFDans cette section, on reprendra les notations de la proposition (1.53) avec L = L G Q p, T =pCF G , ̃L = L G div et ̃T = ACVF G 0,p . On rappelle que M est un modèle de pCFG assez saturé ethomogène et que ̃M est un modèle de ACVF G 0,pqui contient M et qui est lui même assezsaturé et homogène.Montrons maintenant que les hypothèses de la proposition (1.53) sont vérifiées.Proposition 2.64 ((i) dans pCF) :Soient M ′ ≼ M deux modèles de T et c ∈ dom(M), on a alors dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c).Proof . Comme acl ̃L(dom(M ′ )c) = dom(M ′ )c alg d’après la remarque (1.32.i), on a montré àla proposition (2.24) que acl ̃L(M ′ c)∩dom(M) = acl ̃L(dom(M ′ )c)∩dom(M) est un modèlede pCF. Par modèle complétude, on a acl ̃L(M ′ c)∩dom(M) ≼ dom(M) et donc acl ̃L(M ′ c)∩M eq = (acl ̃L(M ′ c) ∩ dom(M)) eq ≼ M eq . Comme L G Qest une extension définissable de L eqp Q,pon a donc aussi acl ̃L(M ′ c) ∩ M ≼ M. Enfin, comme la clôture définissable ne dépend pas dumodèle dans une extension élémentaire, on a bien que dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c) ∩ M ⊆acl ̃L(M ′ c).∎Proposition 2.65 ((ii) dans pCF) :Pour tout A = acl L (A) ∩ M et c ∈ dom(M), on a acl L (Ac) = dcl L (Ac) et donc, en particulier,acl L (Ac) ∩ M ⊆ dcl L (Ac) ∩ M.Proof . D’après le corollaire (2.29), on a, pour tout A ⊆ K(M), acl L (Ac) ∩ K(M) = dcl L (Ac) ∩K(M). Or cet ensemble est un modèle de pCF et donc acl L (Ac) ⊆ (acl L (Ac) ∩ K(M)) eq =dcl L ((acl L (Ac)∩K(M))) = dcl L ((dcl L (Ac)∩K(M))) = dcl L (Ac). Il faut cependant étendrece résultat à des ensembles de paramètres imaginaires (et pas uniquement dans la sorte ducorps).Soit A = {a i ∶ i ∈ κ} une énumération de A. Pour tout i, soit c i ∈ dom(M) tel que a i ∈dcl L (c i ) (qui existe par définition des sortes dominantes) et p i ∈ S L (M) une extensionAut L (M /A)-invariante de tp L (c i /A) (qui existe par la proposition (2.46)). On construitalors (A i ) i∈κ par induction. On pose A 0 = A, A i+1 = A i ∪ {b i } où b i ⊧ p i ∣ acl L (A i c) etA λ = ⋃ i

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriep i+1 ∣ acl L (A i c) et donc M ⊧ ϕ[σ(a), c, b i+1 ]. Il s’en suit donc que σ(a) = a et donc quea ∈ dcl L (A i c). On a donc acl L (Ac) ∩ dcl L (A i+1 c) ⊆ acl L (Ac) ∩ dcl L (A i c) ⊆ dcl L (Ac).Pour tout i, a i ∈ dcl L (b i ) et donc, comme b i ∈ dom(M), A ⊆ dcl(A k ∩dom(M)). On a alorsacl L (Ac) ⊆ acl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ c). Il s’en suit doncque acl L (Ac) = acl L (Ac) ∩ dcl L (A κ c) ⊆ dcl L (Ac).∎Pour ce qui est du (iii), on peut même en montrer une version un petit peu plus forte.Proposition 2.66 ((iii ′ ) dans pCF) :Soit e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ ̃M, il existe alors e ′ ∈ M tel que tout automorphisme de ̃M qui laisse Mglobalement fixe, fixe e si et seulement si il fixe e ′ , et e ∈ dcl ̃L(e ′ ).Proof . Supposons tout d’abord que e ∈ K(̃M). D’après la remarque (1.32.ii), comme K(M) estHensélien et qu’on est en caractéristique nulle, K(M) est dcl ̃L-clos. On a donc e ∈ K(M).Si maintenant, e ∈ K(̃M), comme e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ acl ̃L(M) et que acl ̃L(M) ⊧ ACVF G 0,p (lapreuve est similaire à celle de la proposition (2.64) dans le cas de pCF G ), il s’en suit que e a unebase dans acl ̃L(M). Il existe donc une extension finie K(M) ⩽ L, telle que e ait une base dansL. Soit m = [L ∶ K(M)]. On sait par le théorème (2.63), qu’il y a un nombre fini d’extensionsde degré m au dessus de K(M). Soit alors L ′ l’union de toutes ces extensions. L’extensionK(M) ⩽ L ′ est toujours finie et si σ est un automorphisme de K(̃M) qui fixe globalementK(M) alors il fixe globalement L. En effet, si a est algébrique de degré m au dessus de K(M),alors σ(a) aussi et donc σ(a) ∈ L ′ . On a donc σ(L ′ ) ⊆ L ′ et comme ces deux extensions sontde même degré, elles sont égales. Quitte à remplacer L par L ′ , on peut donc supposer que Lvérifie cette même propriété que tout automorphisme de K(̃M) qui fixe globalement M fixeglobalement L.Soit alors a ∈ Q alg tel que L = K(M)[a], que O L = O M [a] et dont le polynôme minimalannulateur est dans Q. On connaît l’existence d’un tel a par le théorème (2.63). Ce a permetdonc de définir une bijection f a ∶ L → K(M) m qui induit une bijection f n a ∶ L n → K(M) mn .On pose alors e ′ = f n a(e). Comme O L est un O M -module libre de rang m (la famille des a ien est une base), s est un O M module libre de rang mn. Il est facile de voir que f n a est unisomorphisme de O M -modules et il s’en suit donc que e ′ est bien dans S mn (M).Si a ′ est un conjugué de A au dessus de Q, comme le polynôme minimal annulateur de aau dessus de K(M) est dans Q, c’est aussi le polynôme minimal annulateur au dessus de Qet donc a et a ′ sont conjugués au dessus de K(M). Il existe donc σ ∈ Aut(L/K(M)) unautomorphisme de corps, qui envoie a sur a ′ . De plus, comme e et e ′ ∈ dcl ̃L(M) (à vrai direon a même e ′ ∈ M), ces deux points sont fixés par σ et donc f n σ(a) (e) = e′ . Il s’en suit doncque tout automorphisme de ̃M qui fixe globalement M fixe globalement f a et donc fixe e siet seulement s’il fixe e ′ .Il reste alors à démontrer que e ∈ dcl ̃L(e ′ ). Mais l’inverse de g a ∶ (x 0 . . . x m−1 ) ↦ ∑ i x i a ipeut être étendue par la même formule en un ÕM-module ̃g a ∶ K(̃M) m → K(̃M), qui induitdonc un morphisme de ÕM-module ̃g n a ∶ K(̃M) mn → K(̃M) n . Ce morphisme envoie unebase de e ′ sur une base de e, on a donc ̃g n a(e ′ ) = e. Comme précédemment ̃g a = ̃g a ′ pourtout conjugué de a au dessus de Q et donc tout automorphisme de ̃M qui fixe e ′ fixe bien e,i.e. e ∈ dcl(e ′ ).53

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriePour ce qui est des e ∈ T n (̃M), on peut procéder de la même manière ou remarquer que si Lest un extension finie de K(M) telle que s = τ n (e) a une base dans L alors comme la valuationde K(M) est discrète, celle de L aussi et donc, si Π est une uniformisante de L, M L s = Πs esttoujours un réseau de L. Par le lemme (1.58), ses translatés (dont e) codés dans S n+1 (L). Soitalors s ∈ S n+1 (L) qui code e. Comme on a déjà traité le cas des réseaux, on peut trouver e ′tel que tout automorphisme de ̃M qui fixe globalement M fixe s si et seulement si il fixe e ′ .Mais comme il fixe s si et seulement si il fixe e, on a bien le résultat voulu. De plus, commes est un code de e, on a e ∈ dcl ̃L(s) et, comme on l’a montré précédemment, s ∈ dcl ̃L(e ′ ). Ils’en suit donc que e ∈ dcl ̃L(e ′ )∎Corollaire 2.67 :Soient X un ensemble ̃L M -définissable sans quantificateurs et A ′ ⊆ M eq tel que A ′ = dcl L (A ′ ). Si⟨X⟩ ∈ dcl ̃L(M) est Aut( mod eq /A ′ )-invariant (on rappel que l’action de Aut(M eq /A ′ ) sur ⟨X⟩est bien définie car toute les extension d’un même morphisme de M à ̃M sont égales sur dcl ̃L(M)),alors X est ̃L A -définissable sans quantificateurs, où A = A ′ ∩ M.Proof . Comme X un ensemble ̃L M -définissable sans quantificateurs, il a un code ⟨X⟩ ∈ dcl ̃L(M).D’après la proposition (2.66), il existe e ′ ∈ M tel que tout automorphisme de ̃M qui fixe globalementM fixe ⟨X⟩ si et seulement si il fixe e ′ et que ⟨X⟩ ∈ dcl( e ′ ). Il suffit donc de montrerque e ′ ∈ A. Soit σ ∈ Aut(M eq /A ′ ) et ̃σ une extension de σ à ̃M (qui laisse bien M globalementinvariant). Par hypothèse, ̃σ(⟨X⟩) = ⟨X⟩ et donc ̃σ( e ′ ) = e ′ . Il s’en suit donc quee ′ ∈ dcl L (A ′ ) = A ′ et comme e ′ ∈ M, on a bien e ′ ∈ A.∎Proposition 2.68 ((iv) dans pCF) :Tout sous-ensemble X M-définissable inclus dans dom(M) a un code dans M.Proof . Soit x un code de X dans M eq . On pose A = acl L (x) et B = B(A). D’après le corollaire(2.43), pour tout c ∈ dom(M), on a tp(c/B) ⇒ tp(c/A), en particulier, tous les types sur Bimpliquent soit X soit ¬X. Il s’ensuit que X est laissé invariant par les automorphismes de M eqqui fixent B et donc, par compacité, X est B-définissable. On a donc montré que X a un codefaible, mais on sait que les ensembles finis sont codés par le lemme (1.54) (et la proposition(2.66)) et donc le lemme (1.47) permet de conclure. ∎Avant de traiter le cas de l’hypothèse (v), il nous faut définir quelques notions et montrerquelques lemmes.Définition 2.69 (Boule générique) :Soient A ⊆ ̃M et P une intersection stricte de boules A-définissables. Une boule générique dans Pau dessus de A, est une sous-boule fermée de P qui contiennent strictement toutes les sous-boulesstrictes de P qui sont A-définissables et dont le rayon est strictement inférieur à tous les γ ∈ P Γ (A).On note β P ∣A le A-type partiel suivant (dont la variable parcourt l’ensemble des boules fermées) :β P = {x ⊆ b i ∶ i ∈ I} ∪ {x ⊋ b ∶ b ∈ B(A) et b ⊊ P} ∪ {ρ(x) < γ ∶ γ ∈ P Γ (A)}.Comme Γ est o-minimal et que les conditions ρ(b) > ρ(b i ) pour i ∈ I et radb < γ pour γ ∈P Γ (A) définissent une coupure de Γ A , il s’en suit que si b et b ′ ⊧ β P ∣A, alors ρ(b) ≡ A ρ(b ′ ).54

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProposition 2.70 :Soient A ⊆ ̃M et P une intersection (pas forcément stricte) de boules A-définissables, γ ∈ Γ ̃Met b unesous-boule de P telle que b ∈ acl ̃L(Aγ)/ acl ̃L(A). Alors ρ(b) ∈ dcl ̃L(Aγ) et il existe a ∈ acl ̃L(A)une sous-boule de P telle que ρ(a) > ρ(b) et b ∈ {B ⩾γ (a), B >γ (a)}.Proof . TO DO [HHM06, Proposition 2.4.4]Corollaire 2.71 :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A) et P une intersection de boules ̃L A -définissables, si P necontient aucune boule stricte ̃L A -définissable, alors le type d’une chaîne de n boules au dessus deA est déterminé par le type de leurs rayons au dessus de A.Proof . Tout d’abord, soient (γ i ) 1⩽i⩽n ∈ Γ ̃M, montrons par récurence sur n que P ne contientaucune boule stricte ̃L acl ̃L(Aγ 1 ...γ n)-définissable. Pour n = 0 c’est une trivialité. Supposonsmaintenant que l’on ait montré que c’est vrai pour n et soit b une boule ̃L acl ̃L(Aγ 1 ...γ n+1 )-définissable strictement incluse dans P. Par hypothèse de récurrence, elle ne peut pas êtrẽL acl ̃L(Aγ 1 ...γ n )-définissable, et donc la proposition (2.70) implique qu’il existe une boule b ′̃L acl ̃L(Aγ 1 ...γ n)-définissable incluse dans b et donc strictement incluse dans P, ce qui est absurde.Soit alors (b i ) 1⩽i⩽n et (bi ′) 1⩽i⩽n deux chaînes de n boules telles que ρ(b 1 ) . . . ρ(b n ) ≡ Aρ(b1 ′ ) . . . ρ(b′ n). Quitte à appliquer un isomorphisme de ̃M qui fixe A, on peut supposerque pour tout i, ρ(b i ) = ρ(bi ′) = γ i. De plus on vient de montrer que P ne contient pasde sous-boule stricte ̃L acl ̃L(Aγ 1 ...γ n )-définissable. Soit alors x ∈ b 1 et x ′ ∈ b1 ′ , ils sont tousles deux génériques dans P au dessus de acl ̃L(Aγ 1 . . . γ n ). Comme α P ∣ acl ̃L(Aγ 1 . . . γ n ) estcomplet, il existe σ ∈ Aut(̃M/Aγ 1 . . . γ n ) qui envoit x sur x ′ . Mais alors pour tout i, σ(b i )et bi ′ contiennent toutes deux x′ et sont toutes deux de rayon γ i , i.e. elles sotn égales. ∎Corollaire 2.72 (Complétude de β P ) :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A) et P une intersection stricte de boules ̃L A -définissables, alorsβ P ∣A est complet.Proof . Soient b et b ′ ⊧ β P ∣A, comme on a remarqué précédemment, il s’en suit que ρ(b) ≡ Aρ(b ′ ). D’une part, si P ne contient aucune boule ̃L A -définissable, alors par le corollaire (2.71),b ≡ A b ′ . D’autre part, si il existe a ∈ B(A), alors a ⊆ b et a ⊆ b ′ . De plus, comme ρ(b) ≡ Aρ(b ′ ), il existe σ ∈ Aut ̃L(̃M/A) tel que σ(ρ(b)) = ρ(b ′ ). Comme a est fixé par σ, on aa ⊆ (σ(b)). Les boules σ(b) et σ(b ′ ) ont alors le même rayon et ne sont pas disjointes, ellessont donc égales.∎Le lemme qui suit est le lemme 5.4 de [HM08].Lemme 2.73 :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A) et (s b ) b⊧βP ∣A une famille de fonctions de dom( ̃M) dans ̃M ñL A -définissable uniformément en b. Supposons de plus qu’il existe une fonction r ̃L ̃M -définissabletelle que pour tout b ⊧ β P ∣A, on ait ∂ αb r = ∂ αb s b . Il existe alors une fonction s ̃L A -définissabletelle que ∂ αP s = ∂ αP r.∎55

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProof . Supposons tout d’abord que P a une sous-boule a ∈ B(A). On pose alors s(x) =s B⩾v(x−a) (a)(x) qui est bien une fonction ̃L A -définissable. Soient alors b ⊧ β P ∣A et x ⊧α b ∣ acl ̃L(Ab). Comme x ∈ b et a ⊆ b car b est générique au dessus A, il s’en suit que v(x−a) ⩾ρ(b). De plus x ∉ B >ρ(b) (a) car c’est une sous-boule stricte de b, et donc v(x − a) = ρ(b).On a donc s(x) = s B⩾ρ(b) (a)(x) = s b (x), i.e. ∂ αb s = ∂ αb s b . Montrons maintenant que∂ αP s = ∂ αP r. Si ce n’était pas le cas r et s ne seraient égaux au plus sur b une sous-boulede P. Soit alors b ′ un sous-boule de P qui contient b et qui est générique au dessus de A.Par hypothèse, pour tout t ⊧ α b ∣ acl ̃L(A⟨r⟩), on a r(t) = s b (t), or comme s(t) ≠ r(t), celacontredit le fait que ∂ αb s = ∂ αb s b .Supposons maintenant que P ne contient aucune sous-boule a ∈ B(A). Soient alors b 1 ⊧β P ∣A et b 2 ⊧ β P ∣ acl ̃L(Ab 1 ). Comme, par hypothèse, ∂ αb2 r = ∂ αb2 s b2 , r et s b2 sont égauxsur b 2 /e, où e est une union finie de sous-boules strictes de b. Soit alors b1 ′ une sous-boulede b 2 qui est disjoint de e et de même rayon que b 1 (une telle boule existe car sinon b seraitrecouverte par un nombre fini de boules de rayon ρ(b 1 ), ce qui est absurde car le corps résiduelest infini). On a alors r b ′1= s b2 b ′ . De plus, comme ρ(b ′11 ) = ρ(b 1), par le corollaire(2.71), b ′ 1 ⊧ sβ P∣A et donc ∂ αb ′1r = ∂ αb ′1s b ′1. Il s’en suit donc que ∂ αb ′1s b2 = ∂ αb ′1s b ′1. Mais,comme b1 ′ ne contient aucune sous-boule acl(A, b′ 1 , b 2)-définissable (en effet b1 ′ contientune infinité de boules d’un rayon donné qui ont toutes le même type au dessus de A, b1 ′ , b 2par le corollaire (2.71)), les fonctions s b2 et s b ′1coïncident sur tout b1 ′ . Comme le fait queb1 ′ ⊧ β P∣A et b2 ′ ⊧ β P∣ acl ̃L(Ab 1 ′ ) définit un type complet au dessus de A, l’égalité que l’onvient de montrer est vraie pour toute paire de boules qui vérifient les même hypothèses.Soient alors b 1 ⊆ b 2 deux sous-boules de P et b 3 ⊧ β P ∣ acl ̃L(Ab 1 b 2 ). On a alors pour i = 1, 2,s bi bi= s b3 biet donc s b1 et s b2 coïncident sur b 1 . On pose donc s = ⋃ b⊆P s b qui est bienune fonction. Il est alors évident que pour tout boule b ⊆ P, ∂ αb s = ∂ αb s b et donc pas lamême preuve que précédemment, germsα P = ∂ αP r.∎Définition 2.74 (Irréductibilité sur un type) :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A), q un type Aut ̃L(̃M/A)-invariant et R[x, y] une relatioñL A -définissable telle que pour tout c ∈ ̃M, R(c) = R[c, ̃M] soit un ensemble fini (on dit que R estune pseudo-fonction). On dit que R est irréductible sur q au dessus de A s’il n’existe pas de R ′ [x, y]A-définissable tel que pour c ⊧ q∣A, R ′ (c) est un sous-ensemble strict non vide de R(c) (commecette propriété s’exprime avec un ̃L A -formule, il suffit de le vérifier pour un unique c ⊧ q∣A).Remarque 2.75 :Si R est irréductible sur q au dessus de A alors pour c ⊧ q∣A, R[c, y] est une formule algébriquecomplète, i.e. tous les éléments de R(c) sont Aut ̃L(̃M/Ac)-conjugués.Lemme 2.76 :Soit A ⊆ ̃M tel que acl ̃L(A) = A et P une intersection de boules A-définissables. Soit f une fonctioñL̃M -définissable tel que pour tout x ∈ P, f(x) ∈ acl ̃L(Ax). Il existe alors g une fonctionA-définissable qui a le même germe que f sur α P .Proof . TO DO Voir [HHM06, Lemme 3.4.13].∎56

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieCorollaire 2.77 :Soient A ⊆ ̃M, q un type Aut ̃L(̃M/A)-invariant et R une pseudo-fonction ̃L A -définissable etB ⊆ ̃M tel que A ⊆ B = acl ̃L(B) et R est irréductible sur q au dessus de B. Alors pour tout B ′ ⊆ ̃Mtel que A ⊆ B = acl ̃L(B), R est irréductible sur q au dessus de B ′ .Il est donc inutile de préciser au dessus de quel ensemble un tel R est irréductible sur q.Proof . Supposons tout d’abord que B ′ ⊆ B. Supposons qu’il existe R ′ B ′ -définissable et c ⊧q∣B ′ , tel que ∅ ≠ R ′ (c) ⊊ R(c). Mais ceci s’exprime avec une formule à paramètres dans B ′ etest donc vérifiée pour toute réalisation de q∣B ′ , en particulier celles de q∣B, ce qui contreditle fait que R est irréductible sur q au dessus de B.Supposons maintenant que B ⊆ B ′ . Tout d’abord, comme on l’a déjà fait remarqué, q est letype générique d’une intersection P de boules A-définissables. Supposons qu’il existe R ′ B ′ -définissable telle que pour un c ⊧ q∣B ′ (et donc pour tous) ∅ ≠ R ′ (c) ⊊ R(c). C’est donc aussivérifié sur un ouvert autour de q∣B ′ , et donc quitte à étendre R en dehors de cet ouvert parR(x) = ∅, on peut supposer que pour tout c ∈ P, R ′ (c) ⊆ R(c). Comme tout automorphismequi fixe Bc fixe R(c) qui est un ensemble fini et donc qui a un nombre fini de parties, R ′ (c) aau plus un nombre fini de conjugués au dessus de Bc. Il s’en suit donc que, si on note r ′ ∶ x ↦⟨R ′ (x)⟩, pour tout c ∈ P, r ′ (c) ∈ acl ̃L(Bc). Par le lemme (2.76), il existe donc une fontion sB-définissable qui a le même germe que r ′ au dessus de q, i.e. il existe une pseudo-fonction SB-définissable telle que pour tout c ⊧ q∣B ′ , S(c) = R ′ (c) et donc ∅ ≠ S(c) ⊊ R(c). Mais cettedernière affirmation s’exprime avec une formule à paramètres dans B et donc est vérifiée detout c ⊧ q∣B, ce qui contredit notre hypothèse d’irréductibilité de R sur q au dessus de B. ∎Démontrons maintenant un lemme qui permet de « descendre » l’irréductibilité sur une intersectionstricte à des sous-boules génériques (c’est le lemme 5.3 de [HM08]). Mais pour celail nous faut un autre lemme de [HHM06].Lemme 2.78 :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A) et γ ∈ Γ ̃M . On alors acl ̃L(Aγ) = dcl ̃L(Aγ).Proof . TO DO voir [HHM06, Lemme 3.4.12]∎Lemme 2.79 :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A), P une intersection stricte de boules ̃L A -définissables et Rune pseudo-fonction ̃L A -définissable qui est irréductible sur α P . Alors pour tout b ⊧ β P ∣A, r estirréductible sur α b .Proof . Soit B ⊆ ̃M tel que acl ̃L(B) = B, A ⊆ B et B contient un point d de P. Soit b ⊧ β P ∣B. Ona alors d ∈ b et b est ̃L Bρ(b) -définissable. Soit c ⊧ α b ∣ acl ̃L(Bρ(b)). Il est aussi générique dansP au dessus de B et donc, par hypothèse, les éléments de R(c) sont Aut ̃L(̃M/Bc)-conjugués.Mais ρ(b) = v(c − d) ∈ dcl(Bc) et donc les éléments de R(c) sont Aut ̃L(̃M/ dcl ̃L(Bρ(b))c)-conjugués. Or par le lemme (2.78), acl ̃L(Bρ(b)) = dcl ̃L(Bρ(b)). On a dont bien montré queR est irréductible sur α b .Soit R ′ une pseudo-fonction ̃L A -définissable. On vient de montrer que pour tout b ⊧ β P ∣A,(¬(∅ ≠ R ′ (x) ⊊ R(x))) ∈ α b . Comme α b est b-définissable uniformément en b, il s’en suit57

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriequ’il existe une ̃L A -formule ϕ[b] qui exprime exactement ce fait, et comme α b ∣A est complet,il suffit que b soit générique au dessus de A pour que pour tout c ⊧ α b , R ′ (c) ne peutpas être un sous-ensemble strict de R(c), i.e. r est irréductible sur α b .∎On aura aussi besoin du lemme combinatoire suivant :Lemme 2.80 :Soit M = (P, Q, R) un structure avec R ⊆ P 2 × Q. Supposons que :(i) Pour tout a ∈ P, acl(a) ∩ Q = ∅.(ii) Pour tout a ≠ b ∈ P, R(a, b) = {c ∈ Q ∶ R(a, b, c)} est fini, de taille bornée et queR(a, b) = R(b, a).(iii) Pour a, b et c ∈ P distincts, on a R(a, c) ⊆ R(a, b) ∪ R(b, c).Alors pour tous a et b distincts, R(a, b) = ∅.Proof . Quitte à prendre une extension élémentaire, on peut supposer la structure assez saturéeet homogène. Soient a et b ∈ P distincts tel que R(a, b) soit de cardinal maximal n.Montrons alors que pour tout b ′ ∈ P, si b ′ ≠ b et R(b, b ′ ) ≠ ∅ alors R(b, b ′ ) ∩ R(a, b) ≠ ∅.En effet, si b ′ = a ceci est clair (à moins que n = 0 dans quel cas c’est fini). On peut donc supposerb ′ ≠ a. Supposons que R(b, b ′ ) ∩ R(a, b) = ∅. Comme R(b, b ′ ) ⊆ R(b, a) ∪ R(a, b ′ )on a R(b, b ′ ) ⊆ R(a, b ′ ) et de même R(a, b) ⊆ R(a, b ′ ). Mais par maximalité du cardinal deR(a, b), on a R(a, b) = R(a, b ′ ) et donc R(b, b ′ ) = R(a, b ′ ) ∩ R(b, b ′ ) = R(a, b) ∩ R(b, b ′ ) =∅.Cependant, par (i), R(a, b) ∩ acl(b) = ∅, i.e. Pour tout x ∈ R(a, b), son stabilisateur estd’indice infini dans Aut(M/b). Par le lemme de Neumann, il existe un automorphisme σ quienvoit chacun des points de R(a, b) en dehors de cet ensemble, c’est à dire que R(a, b) etσ(R(a, b)) = R(σ(a), b) sont disjoints. En itérant cette construction, on obtient des points(a i ) 0⩽i⩽n conjugués au dessus de b tels que pour tout i ≠ j, R(a i , b) ∩ R(a j , b) = ∅. CommeR(a i , b) est aussi de cardinal maximal, on a aussi que pour tout b ′ ∈ P, si b ′ ≠ b et R(b, b ′ ) ≠∅ alors R(b, b ′ ) ∩ R(a i , b) ≠ ∅. En particulier, R(b, a) ∩ R(a i , b) ≠ ∅. Comme les R(a i , b)sont disjoints, on a donc trouvés n+1 éléments distincts de R(a, b) ce qui est contradictoire.∎Théorème 2.81 :La théorie pCF G élimine les imaginaires.Proof . Le théorème suit (presque) de la proposition (1.53). Les hypothèses (i) à (iv) de laproposition sont démontrés dans les propositions (2.64),(2.65),(2.66) et (2.68). On ne sait pasdémontrer le (v) en général, mais cette hypothèse ne sert que dans la preuve du lemme (1.56),il suffirait donc de montrer ce lemme dans le cas précis de pCF.∎Remarque 2.82 :Les torseurs ne sont pas nécessaires dans les corps p-adiquement clos. Comme on a vu dans lapreuve du lemme (2.66), pour tout s ∈ S n (M), M s est en fait un réseau et ses translatés sont donccodés par des éléments de S n+1 (M), par le lemme (1.58).58

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Table des matièresIntroduction 21 Corps valués algébriquement clos 41.1 Langages des corps valués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Extensions des valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Élimination des quantificateurs dans ACVF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Élimination des imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Sortes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Corps des nombres p-adiques et sa théorie 302.1 Corps p-adiquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Clôture algébrique et définissable dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Types dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Extensions algébriques de K ⊧ pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 Élimination des imaginaires dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Bibliographie 59Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Théorie des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5961