mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorie(ϕ[x] ⇐⇒ ¬v(x) = v(x)). Dans les autres cas, d’après la proposition (2.41), il existe uneformule θ et e ⊆ e ′ ⊆ P dans B(A) tels que x ∈ P∧x ∉ e ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x−e), r(x−e)]).Soit c la plus petite boule qui contient b et e, elle est bien A-définissable et donc toute réalisationx de α P est à l’extérieure de cette boule (et même loin de cette boule). Il s’en suit doncque v(x − b) = v(x − c) = v(x − e) et de même pour r. On a donc α P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x − b), r(x − b)]). Il suit alors du lemme (2.39), que α P est complet au dessus de A relativementà v et r.Par contre, si un tel b n’existe pas, si on n’a pas α P ⇒ ϕ où α P ⇒ ¬ϕ alors on devrait avoirun e ∈ B(A) qui sont inclus dans P, par la proposition (2.41), ce qui est absurde. ∎Corollaire 2.43 :Soient M eq ⊧ pCF eq , A ⊆ M eq tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et B = B(A) alors pour toutc ∈ K(M), tp(c/B) ⇒ tp(c/A).Proof . Soient c et c ′ qui ont le même type au dessus de B et montrons qu’ils ont aussi le mêmetype au dessus de A. Tout d’abord, d’après le lemme (2.36), comme A est algébriquementclos, c est générique dans une intersection stricte P de boules A-définissables. Comme α p ⊆tp(c/B), c ′ est aussi générique sur P. D’après le corollaire (2.42), si P ne contient pas de boulede B alors α P est complet et comme c et c ′ en sont deux réalisations, on a bien c ≡ A c ′ . Parcontre s’il existe une boule b ∈ B incluse dans P, toujours par ce corollaire, il suffit de vérifierque v(c − b), r(c − b) a le même type au dessus de A que v(c ′ − b), r(c ′ − b).Tout d’abord comme les valeurs des différents r i sont dans Q ⊆ dcl(∅) et que c ≡ B c ′ et doncen particulier que c − b ≡ Q c ′ − b, r(c − b) et r(c ′ − b) ont bien le même type (ils sont enfait égaux). De plus comme Γ est plongé stablement et que tous ses points sont codés par uneboule, le type de v(c − b) sur B implique celui sur Γ(A) et donc sur A. On a donc bien quev(c − b) ≡ A v(c ′ − b).∎La proposition qui suit est une forme de réciproque à la proposition (2.41). On y avait démontréque pour rendre complet un α P , il faut spécifier le type de (v(x − a), r(x − a)) pourun certain a. La proposition qui suit montre que réciproquement, quelque soit le type qu’onchoisisse pour (v(x − a), r(x − a)), s’il est raisonnable alors il sera consistant avec α P .Définition 2.44 (P Γ ) :Si P = ⋂ b∈B b est une intersection de boules, on notera P Γ = {γ ∈ Γ ∶ ∀b ∈ B, γ ⩾ ρ(b)}. Onnotera aussi P Γ l’ensemble de formules qui définit ce type partiel.On peut d’ailleurs remarquer que dans ACVF, P Γ est un type total.Proposition 2.45 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M, P = ⋂ b∈B b intersection stricte de boules A-définissables et q[y, z] letype d’un certain (v(c), r(c)) au dessus de A tel que q[y, z] implique P Γ [y] et y < γ pour toutγ ∈ P γ (A). Alors (α P ∣M)[x] ∪ ⋃ a∈P(M) q[v(x − a), r(x − a)] est consistant.Proof . On peut supposer M assez saturé pour que P(M) soit non vide. Soit alors a ∈ P(M).Montrons que q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)} est consistant. En effet, s’il ne l’était pas,par compacité, il existerait γ ∈ P Γ (M) et ψ ∈ q une L A -formule tels que ψ[y, z] ⇒ y ⩾ γ.Comme z n’apparaît pas à droite de l’implication, quitte à remplacer ψ pas ∃ zψ[y, z], on peut44