mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement clospar σ. Il s’en suit donc que A h ⊆ dcl(A). Toujours comme L div contient le langage des anneaux,dcl(A) doit contenir K ′ = A hins , la clôture inséparable de A h . Montrons alors quedcl(A) = K ′ .Soit x ∉ /K ′ . Comme x est séparable au dessus de K ′ , il existe un automorphisme σ de K quifixe K ′ mais pas x. Mais comme K ′ est Hensélien par le corollaire (1.12), v est v ○ σ qui sontdeux valuations de K qui coïcident sur K ′ sont équivalentes, i.e.σ(O K ) = O K et donc σ estun automorphisme de K en temps que corps valué. On a donc x ∉ dcl(A).Théorème 1.33 :La théorie ACVF admet l’élimination des quantificateurs dans le langage L div .Proof . Soient (K 1 , v 1 ) et (K 2 , v 2 ) deux modèles de ACVF et (K, v) un sous-corps valué commun(qui est bien une sous-L div -structure de chacun des modèles par la remarque (1.7)).Soient (K1 ′ , v′ 1 ) et (K′ 2 , v′ 2 ) les clôtures algébriques de K dans K 1 et K 2 respectivement, munisdes restrictions des valuations. Par le corollaire (1.29), il existe σ ∈ Iso K (K1 ′ , K′ 2) qui soitun isomorphisme de corps valué. Il induit un plongement de K1 ′ dans K 2 et on peut doncremplacer K par K1 ′ , i.e. considérer que K est algébriquement clos.Soient alors ϕ[x] ∈ L div sans quantificateurs à paramètres dans K et m 1 ∈ K 1 tel que K 1 ⊧ϕ[m 1 ]. D’après le lemme (1.30), il suffit de vérifier qu’il existe m 2 ∈ K 2 tel que K 2 ⊧ ϕ[m 2 ].Si K est de valuation non triviale, c’est un modèle de ACVF et donc par le lemme (1.31), K 1 ⊧∃xϕ[x] implique K ⊧ ∃xϕ[x], qui implique K 2 ⊧ ∃x ϕ[x].Reste le cas où K est trivialement valué. La preuve du lemme (1.31) marche encore et permet detrouver un m ∈ K tel que K ⊧ ϕ[m] et donc, comme ϕ est sans quantificateurs, K 2 ⊧ ϕ[m],sauf dans le cas de l’extension totalement ramifiée, car on a alors {0} ⊭ DLO. Mais dans cecas-là, la coupure de m 1 sur K se résume à savoir si v(m 1 ) > 0 ou pas. Il suffit alors de choisirm 2 ∈ K 2 qui n’annule aucun des P i et tel que v(m 2 ) > 0 si et seulement si v(m 1 ) > 0. Onaura alors bien K 2 ⊧ ϕ[m 2 ].∎Une première remarque que l’on peut faire est que l’élimination des quantificateurs dans lelangage tri-sorté se déduit assez facilement du résultat que l’on donne ici et permet de démontrerque Γ est un pur groupe abélien totalement ordonné, divisible et sans torsion et quek est un pur corps algébriquement clos.Comme souvent, il n’est pas difficile de déduire les complétions d’une théorie, une fois quel’on sait qu’elle admet l’élimination des quantificateurs.Corollaire 1.34 (Complétude de ACVF) :Les complétions de ACVF sont données par la caractéristique du corps et celle du corps résiduel(appelée caractéristique résiduelle). Les cas possibles sont (0, 0), (0, p) et (p, p) où p est un nombrepremier. On note ACVF (n,m) ces différentes complétions.Proof . Le fait qu’un corps est de caractéristique p ≠ 0 s’exprime au premier ordre dans L div par∑ p i=11 = 0. De même, le fait qu’il soit de caractéristique résiduelle p s’exprime par v(p) > 0i.e. ¬(∑ p i=11 div 1). Les complétions de ACVF fixent donc bien ces deux caractéristiques.D’autre part, comme on a un morphisme d’anneau qui va de O l’anneau de valuation (quiest de même caractéristique que le corps valué) vers k, le corps résiduel, il s’en suit que la15