mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProposition 2.19 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors tout sous-ensemble définissable de K est soit fini soit du cardinal de K.Proof . Soit X un ensemble définissable, par élimination des quantificateurs et par le mêmeargument que dans la preuve de la proposition (1.37), on peut supposer que la formule quel’on considère est en une seule variable et que c’est une conjonction d’atomes et de négationsd’atomes. Elle est donc de la forme ϕ[x] ∧ ⋀ i P ki (R i (x)) ∧ ⋀ j ¬P kj (R j (x)), où ϕ ∈ L div et lesR k sont des polynômes à coefficients dans K. Le cas où X est vide étant très peu intéressant,on peut supposer qu’on a un m ∈ X.Comme ϕ est sans quantificateurs, on a ϕ[K] = ϕ[K alg ] ∩ K. Or, on a montré dans la preuvede la proposition (1.37) que si m ∈ ϕ[K alg ] alors cet ensemble contient une boule ouvertecentrée en m. Quitte à augmenter son rayon, comme Γ Kalg = div(Γ K ), on peut supposer qu’ilest dans Γ K . On a donc m + y M alg ⊆ ϕ[K alg ] où y ∈ K et donc, comme tous ces ensemblesKsont définis sans quantificateurs, m + yM K ⊆ ϕ[K]. Il s’en suit que ϕ[K] est ouvert.Montrons à présent que les P k définissent des ensembles ouverts-fermés. Soit x ∈ K tel queK ⊧ P k (x) alors tout la boule ouverte B >v(x)+2v(k) (x) est aussi dans P k (K). En effet, soity ∈ B >v(x)+2v(k) (x) alors v(y) = v(y − x + x) = v(x) car v(y − x) > v(x) + 2v(k) ⩾ v(x) etx ∈ (K ⋆ ) k ∩ B ⩾(1+v(y)+2v(k)) (y), d’où, par le lemme (2.18), y ∈ P k (K). Réciproquement, six ∉ P k (K) alors si on avait P k (K) ∩ B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ≠ ∅, on aurait x ∈ P K (K) ce qui estabsurde, donc B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ⊆ ¬P k (K).Comme les polynômes définissent des fonctions continues, R −1i(P k i) et R −1j(¬P kj ) sont ouvertset donc X est une intersection finie d’ouverts. C’est donc lui même un ouvert qui contientun sous-ensemble de la forme m + yM K . Par les même considérations que dans la preuve dela proposition (1.37), on montre que M K à le même cardinal que K. C’est donc aussi le cas deX. ∎Lemme 2.20 :Soient K ⊧ pCF, x ∈ K tel que v(x) = 0 et k ∈ N ⋆ , il existe alors n ∈ N ⋆ avec n < p 1+2v(k) tel quex/n ∈ (K ⋆ ) k et v(n) = 0.Proof . Cet énoncé peut s’exprimer au premier ordre par∀x v(x) = 0 ⇒⋁ ∃y x = ny k .0