mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriequ’il existe une ̃L A -formule ϕ[b] qui exprime exactement ce fait, et comme α b ∣A est complet,il suffit que b soit générique au dessus de A pour que pour tout c ⊧ α b , R ′ (c) ne peutpas être un sous-ensemble strict de R(c), i.e. r est irréductible sur α b .∎On aura aussi besoin du lemme combinatoire suivant :Lemme 2.80 :Soit M = (P, Q, R) un structure avec R ⊆ P 2 × Q. Supposons que :(i) Pour tout a ∈ P, acl(a) ∩ Q = ∅.(ii) Pour tout a ≠ b ∈ P, R(a, b) = {c ∈ Q ∶ R(a, b, c)} est fini, de taille bornée et queR(a, b) = R(b, a).(iii) Pour a, b et c ∈ P distincts, on a R(a, c) ⊆ R(a, b) ∪ R(b, c).Alors pour tous a et b distincts, R(a, b) = ∅.Proof . Quitte à prendre une extension élémentaire, on peut supposer la structure assez saturéeet homogène. Soient a et b ∈ P distincts tel que R(a, b) soit de cardinal maximal n.Montrons alors que pour tout b ′ ∈ P, si b ′ ≠ b et R(b, b ′ ) ≠ ∅ alors R(b, b ′ ) ∩ R(a, b) ≠ ∅.En effet, si b ′ = a ceci est clair (à moins que n = 0 dans quel cas c’est fini). On peut donc supposerb ′ ≠ a. Supposons que R(b, b ′ ) ∩ R(a, b) = ∅. Comme R(b, b ′ ) ⊆ R(b, a) ∪ R(a, b ′ )on a R(b, b ′ ) ⊆ R(a, b ′ ) et de même R(a, b) ⊆ R(a, b ′ ). Mais par maximalité du cardinal deR(a, b), on a R(a, b) = R(a, b ′ ) et donc R(b, b ′ ) = R(a, b ′ ) ∩ R(b, b ′ ) = R(a, b) ∩ R(b, b ′ ) =∅.Cependant, par (i), R(a, b) ∩ acl(b) = ∅, i.e. Pour tout x ∈ R(a, b), son stabilisateur estd’indice infini dans Aut(M/b). Par le lemme de Neumann, il existe un automorphisme σ quienvoit chacun des points de R(a, b) en dehors de cet ensemble, c’est à dire que R(a, b) etσ(R(a, b)) = R(σ(a), b) sont disjoints. En itérant cette construction, on obtient des points(a i ) 0⩽i⩽n conjugués au dessus de b tels que pour tout i ≠ j, R(a i , b) ∩ R(a j , b) = ∅. CommeR(a i , b) est aussi de cardinal maximal, on a aussi que pour tout b ′ ∈ P, si b ′ ≠ b et R(b, b ′ ) ≠∅ alors R(b, b ′ ) ∩ R(a i , b) ≠ ∅. En particulier, R(b, a) ∩ R(a i , b) ≠ ∅. Comme les R(a i , b)sont disjoints, on a donc trouvés n+1 éléments distincts de R(a, b) ce qui est contradictoire.∎Théorème 2.81 :La théorie pCF G élimine les imaginaires.Proof . Le théorème suit (presque) de la proposition (1.53). Les hypothèses (i) à (iv) de laproposition sont démontrés dans les propositions (2.64),(2.65),(2.66) et (2.68). On ne sait pasdémontrer le (v) en général, mais cette hypothèse ne sert que dans la preuve du lemme (1.56),il suffirait donc de montrer ce lemme dans le cas précis de pCF.∎Remarque 2.82 :Les torseurs ne sont pas nécessaires dans les corps p-adiquement clos. Comme on a vu dans lapreuve du lemme (2.66), pour tout s ∈ S n (M), M s est en fait un réseau et ses translatés sont donccodés par des éléments de S n+1 (M), par le lemme (1.58).58