mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closa donc v(x) = 0. De même on trouve y ∈ K tel que v(y) > 0 et v i (y) = 0 pour tout i. Maisalors v(x/y) = −v(y) < 0 et v i (x/y) = v i (x) > 0 pour tout i, ce qui contredit le fait que⋂ i O vi ⊆ O v .∎Théorème 1.28 (Théorème de conjugaison) :Soit (K, v) un corps valué et (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valué, alors toutevaluation w ′ sur L qui étend v est de la forme (à équivalence près) w ○ σ pour σ ∈ Aut(L/K).Proof . Le cas où v est triviale est traitée dans le corollaire (1.22), on peut donc supposer qu’ellene l’est pas.Comme w ′ étend v, O w ′ ∩K = O v . De plus, d’après le lemme (1.23), O w ′ est intégralementclos dans L et d’après le lemme (1.25), ⋂ σ∈Aut(K/K) O w○σ est la clôture intégrale de O v dansL, on a donc ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ ⊆ O w ′. Mais alors d’après le lemme (1.27), comme Aut(L/K)est fini, il existe σ ∈ Aut(L/K) tel que O w ′ et O w○σ sont comparables et donc, par le lemme(1.26), w ′ et w ○ σ sont équivalentes. ∎Le résultat que l’on utilisera vraiment est une extension de ce théorème à toute la clôturealgébrique.Corollaire 1.29 :Soient (K, v) un corps valué, K 1 et K 2 deux clôtures algébriques de K. Soient v 1 et v 2 des valuationssur K 1 et K 2 respectivement qui étendent v. Alors il existe σ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ) tel que v 1 = v 2 ○ σ (àéquivalence près).Proof . Soit X ∶= {(L 1 , σ) ∶ K ⩽ L 1 ⩽ K 1 , σ ∈ End K (L 1 , K 2 ) et v 1 L1 = v 2 ○ σ}. Cet ensembleordonné par l’inclusion est inductif et donc par le lemme de Zorn, il existe (L 1 , σ) ∈ X maximal.Montrons que L 1 = K 1 . On aura alors K ⩽ σ(K 1 ) ⩽ K 2 et σ(K 1 ) algébriquement clos d’oùσ(K 1 ) = K 2 et on aura terminé.Supposons donc, par l’absurde, qu’on ait a ∈ K 1 /L 1 . Soit L1 ′ la clôture normale de L 1[a].Comme K 1 est la clôture algébrique de L 1 , par unicité de la clôture algébrique (au dessusd’un isomorphisme), on peut étendre σ en σ ′ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ). Le corps L1 ′ est muni de deuxvaluations qui sont les restrictions de v 1 et v 2 ○ σ ′ , et ces deux valuations coïncident surL 1 . Par le théorème (1.28), il existe τ ∈ Aut(L1 ′ /L 1) tel que v 1 L ′1= v 2 ○ σ ′ ○ τ. Mais alors(L1 ′ , σ′ ○ τ) ∈ X, ce qui contredit le fait que (L 1 , σ) soit maximal. ∎1.3 Élimination des quantificateurs dans ACVFLa preuve de l’élimination des quantificateurs pour les corps valués est adaptée de celle de[Cha08] en utilisant un autre critère, plus élémentaire.Lemme 1.30 (Critère d’élimination des quantificateurs) :Une théorie T dans un langage L admet l’élimination des quantificateurs si et seulement si pourtous modèles M et N de T qui contiennent une L-structure commune A, toute formule ϕ sansquantificateurs de L A et m ∈ M tel que M ⊧ ϕ[ m], il existe n ∈ N tel que N ⊧ ϕ[ n].12