mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriedéfinissables, et donc θ J vérifie la même propriété que θ à savoir que pour tout conjuguéσ(θ J ) au dessus de A (dans M), α P ∣M[x] ⇒ (θ J [v(x − a)] ⇐⇒ σ(θ J )[v(x − a)]). Commeθ[x, y] = ⋁ J (θ J [x]∧⋀ y i = q i j i), il suffit de montrer que tous les theta J sont A-définissables(ou du moins qu’on peut les remplacer par une formule à paramètres dans A).Considérons l’ensemble de formules suivant :Σ[x, x ′ ] = (α P ∣M)[x] ∪ {θ J [x], ¬θ J [x ′ ]} ∪ {ψ[x, a] ⇐⇒ ψ[x ′ a] ∶ ψ ∈ L eqQ p, a ∈ A}.Supposons qu’il soit satisfait par c et c ′ . Ils ont alors le même type au dessus de A et donc ilexiste un automorphisme σ ∈ Aut(M /A) tel que σ(c ′ ) = c. Mais comme c ⊧ α P ∣M, et queM ⊧ θ J [c], on a aussi M ⊧ σ(θ J )[x], mais donc aussi M ⊧ θ J [σ −1 (x)], i.e. M ⊧ θ j [c ′ ]ce qui est absurde. Cet ensemble ne peut donc pas être satisfaisable et il existe (ψ i ) i=1...mdes L eqQ-formules à paramètres dans A, telles que α P ∣M[x] ⇒p(⋀ i ψ i [x] ⇐⇒ ψ i [x ′ ]) ⇒(θ J [x] ⇐⇒ θ J [x ′ ]). Pour tout τ ∈ 2 m , soit ψ τ = ⋀ τ(i)=1 ψ i ∧ ⋀ τ(i)=0 ¬ψ i . Notons E = {τ ∈2 m ∶ ∃x ∈ N, x ⊧ α P ∣M, N ⊧ θ J [x] et N ⊧ ψ τ [x]} et ψ E = ⋁ τ∈E ψ τ . Il est alors facile de voirque α P ∣M[x] ⇒ (θ J [x] ⇐⇒ ψ E ) et cette dernière formule est bien à paramètres dans A.On peut donc supposer que les θ J , et donc aussi θ, sont à paramètres dans A.Par compacité, il suffit d’être dans un nombre fini de b i et d’éviter un nombre fini de sousboulesde P dans M pour avoir ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]. Mais ces sous-boulessont toutes incluse dans la plus petite boule qui les contient toutes (et a). On a donc I 0 ⊆ Ifini et une boule b de M tels que b ⊆ P, a ∈ b et ⋀ i∈I0 x ∈ b i ∧ x ∉ b ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x−a), r(x−a)]). Soit b ′ la boule autour de b de rayon ρ(b)−m tel que m ∈ N est suffisantpour qu’en dehors de b ′ , r n (x − b) soit bien défini pour tous les r n qui apparaissent dans θ(en reprenant les notation de ci- dessus, il suffit de prendre m = max(1+2v(n) ∶ 1 ⩽ n ⩽ N)).On a alors⋀ x ∈ b i ∧ x ∉ b ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − b), r(x − b)]). (2.1)i∈I 0Il suffit alors de montrer qu’on peut choisir b et b ′ A-définissables. Si α P ∣A ⇒ ϕ ou α P ∣A ⇒¬ϕ alors c’est fini. On peut donc supposer qu’on a a 1 et a 2 ∈ M qui réalisent α P ∣A telsque M ⊧ ϕ[a 1 ] et M ⊧ ¬ϕ[a 2 ]. Soient alors e = B ⩾v(a1 −a 2 )(a 1 ) et e ′ la boule autourde e de rayon ρ(e) − m, alors aucune paire (b, b ′ ) qui satisfait (2.1) ne peut vérifier que b ′et e ′ sont disjoints. En effet, si c’était le cas, comme b est disjoint de e ′ , on aurait ρ(e ′ ) =v(a 1 − a 2 ) − m > v(a 1 − b) et donc v(a 1 − b) = v(a 2 − b) et pour tout n tel que r n apparaîtdans θ, r n (a 1 − b) = r n (a 2 − b). De plus, comme a 1 , a 2 ∉ b ′ , on a ϕ[a 1 ] ⇐⇒ θ[v(a 1 −b), r(a 1 −n)] ⇐⇒ θ[v(a 2 −b), r(a 2 −n)] ⇐⇒ ϕ[a 2 ] ce qui est absurde. Quitte à agrandirb pour que son rayon soit supérieur à v(a 1 − a 2 ) ∈ Γ M , on peut supposer que ρ(b ′ ) ⩾ ρ(e ′ ),on a donc forcément e ′ ⊆ b ′ . Comme tous les conjugués de (b, b ′ ) au dessus de A vérifient(2.1), un conjugué de b ′ au dessus de A ne pas être disjoints de e ′ et donc de b ′ . Cela impliqueaussi, quitte a appliquer un automorphisme, que deux conjugués de b ne peuvent pas êtredisjoints.Soit ψ[x, d] une LeqQ p-formule qui défini b ′ . Soit p = tp( d/Aρ(b ′ )). Si l’ensemble de formulesp[y] ∪ {¬(∀x ψ[x, d] ⇐⇒ ψ[x, y])}42