mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieDéfinition 2.33 (Généricité) :Soient (K, v) un corps valué, A ⊆ K, (b i ) i∈I une famille de boules A-définissables et P = ⋂ i b i .On dit que x ∈ K est générique dans P au dessus de A si x ∈ P et x n’appartient à aucune sous-boulestricte A-définissable de P.On note α P ∣A le A-type partiel suivant :α P = {x ∈ b i ∶ i ∈ I} ∪ {¬x ∈ b ∶ b ∈ B(A) et b ⊊ P}.Comme on l’a déjà fait remarquer précédemment, la notion de boule se comporte mal visà vis des extensions de corps. Il faut donc faire attention qu’un point générique dans uneintersection de boules dans un corps ne le sera pas forcément dans une extension. Mais pourles corps p-adiquement clos, cela cas ne peut pas se produire :Lemme 2.34 :Soient (K, v) ⊧ PCF, (K, v) ⩽(L, w) une extension de corps valués, γ ∈ Γ L et a ∈ K. Si B ⩾γ (a)∩Ket B >γ (a) ∩ K sont définissables sur K, alors leurs traces sur K sont des boules de K.Proof . Considérons d’abord b = B ⩾γ (a). Comme b est définissable sur K, son rayon (qui estla valuation maximal de la différence de deux points dans b) est aussi définissable sur K, ils’en suit qu’il est dans Γ alg = div Γ K . Il existe donc n ∈ N tel que nγ ∈ Γ K . Comme K estKun corps p-adiquement clos, Γ K est un Z −groupe et donc il existe k ∈ ⟦0 . . . n − 1⟧ tel quenγ+k ∈ nΓ K , i.e. γ+ k n ∈ Γ K. En d’autres termes, il existe δ ∈ Γ K tel que δ−v(p)γ ⩽ δ et b∩Mest donc la boule de centre de a est de rayon δ dans M.De plus B >γ (a) ∩ M = B ⩾γ+v(p) (a) ∩ M qui est bien une boule de M par ce qu’on vient dedémontrer.∎Il s’en suit donc que si (K, v) ⊧ pCF et (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corps valués (onconsidérera les deux corps munis de leur L div -structure, car cela ne change rien aux boulesdéfinissables), P est une intersection de boules de K et A ⊆ K, alors si x est un point génériquede P au dessus de A (dans K) si et seulement s’il l’est aussi dans L. En effet, si x est génériquedans L, comme toutes les boules de K sont aussi des boules de L, x est générique dans K. Réciproquement,soit b une boule de L, A-définissable alors, comme on l’a démontré au lemme(2.34), b ∩ K est une boule de K. Soit σ ∈ Aut(K/A), on peut (quitte à supposer L assez homogène)l’étendre en σ ∈ Aut(L/A) qui fixe globalement K. Comme b est A-définissable dans L,il est fixé par σ et donc σ fixe b ∩ K qui est donc bien A-définissable. Comme cette dernièreboule contient x, elle ne peut être strictement incluse dans P et donc b non plus.Remarque 2.35 :De même, si une boule b de K est A-définissable où dcl(A) ∩ B ⊆ A, alors ⟨b⟩ ∈ A et comme b(L)est codé par le même point, b est aussi A-définissable dans L.On dira que P est une intersection stricte si ce n’est pas lui même une boule (qui serait alorsimmédiatement A-définissable) et que P est non vide.D’après [HHM06, lemme 2.3.3], le type générique sur une boule ou une intersection strictede boules est complet dans le cas où l’ensemble de paramètres est algébriquement clos. Deplus tous les types d’éléments du corps sont d’une de ces deux formes. Dans le cas de pCF, lasituation est un peu plus compliquée.38