mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriealors, pour tout i, θ i [f( c)] ⇐⇒ θ i [f( c ′ )] et donc, comme N ⊧ ϕ[ c ′ ], on a aussi N ⊧ ϕ[ c].Comme N est assez saturé, on a exactement montré que p[ x] ⇒ (ϕ[ x] ⇐⇒ θ[f( x)]).Réciproquement, soient c et c ′ deux réalisations de p dans N telles que f( c) ≡ A f( c ′ ) etϕ[ x] ∈ L A . Soit alors θ[ y] la formule qui existe par hypothèse. On a alors N ⊧ ϕ[ c] ⇐⇒θ[f( c)] ⇐⇒ θ[f( c ′ )] ⇐⇒ ϕ[ c ′ ] car f( c) et f( c ′ ) ont le même type. Il s’en suit donc quec ≡ A c ′ .∎On a montré dans le corollaire (2.21) que pour tout corps p-adiquement clos K, le groupeK ⋆ /(K ⋆ ) n est fini et a un système de représentants dans Q. Soit alors (q n i) un tel système dereprésentants. La surjection canonique K ⋆ → K ⋆ /(K ⋆ ) n est alors définissable par la formuler n [x, y] = ⋁ i y = q n i ∧ P n((q n i )−1 x). On peut d’ailleurs remarquer que le lemme (2.18)implique que pour tout n, 1 + p 1+2v(n) O ⊆ ker(r n ). Il s’en suit donc que si v(x − y) + 1 +2v(n) ⩽ v(x − z) alors r n (y − x) = r n (y − z), en effet y−zy−x = 1 + z−xy−xet v(x − z) − v(x − y) ⩾1 + 2v(n) et donc y−zy−x ∈ ker r n.Pour x et y ∈ Γ, on notera aussi dans la suite x ≪ y si pour tout n ∈ N, x + n ⩽ y. Commeon vient de le remarquer, on a alors que v(x − y) ≪ v(x − z) implique que pour tout n,r n (y − x) = r n (y − z). De plus soit b une boule, si x ∉ b, alors pour tout y ∈ b, v(x − y) estconstant (c’est une conséquence immédiate du caractère ultramétrique), la notation v(x−b) adonc un sens. De même, si v(x−b) ≪ ρ(b) (où ρ(b) est le rayon de la boule) alors on vient demontrer que la notation r n (x−b) à un sens. Cela dit, il suffit d’avoir v(x−b)+1+2v(n) ⩽ ρ(b),comme on l’a montré un peu plus haut. Enfin dans ce qui suit, on notera r(x−b) pour le upletdes r n (x − b), sous réserve qu’il soit bien défini.Rappelons enfin que si M ⊧ pCF eq , v est ∅-définissable (c’est même un symbole de L eq ). Eneffet, le groupe de valeur n’est autre que K ⋆ /(O / M) qui est bien un quotient définissable, etv est la projection canonique.Lemme 2.40 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ K(M), P = ⋂ i∈I b i une intersection stricte de boules A-définissables eta ∈ P(A), alors le type (α P ∣A)[x] est complet relativement à v(x − a) et aux r n (x − a).Proof . Soit L = K alg muni d’une valuation qui étend v (et qu’on notera aussi v). Dans un premiertemps nous allons montrer que l’on peut étendre les r n à L ⋆ . Soit H = (K ⋆ ) n ∩ (1 +p 1+2v(n) O L ) un sous-groupe de L ⋆ . Si ab ∈ H ∩ K ⋆ avec a ∈ (K ⋆ ) n et b ∈ (1 + p 1+2v(n) O L ),on a alors b ∈ K ⋆ , or b = 1 + p 1+2v(n) c où v(c) ⩽ 0. Mais on a alors c ∈ K et donc b ∈(1+p 1+2v(n) O K ) ⊆ (K ⋆ ) n . Il s’en suit que ab ∈ (K ⋆ ) n . On a donc montré que H∩K ⋆ = (K ⋆ ) net donc K ⋆ /P n s’identifie avec un sous groupe de L ⋆ /H, et la projection sur ce quotient étendr n . De plus on a étendu r n de façon à ce qu’il soit toujours vrai que si v(x − y) ≪ v(x − z)alors r n (x − z) = r n (y − z).Soient maintenant c et c ′ ∈ K génériques dans P au dessus de A tels que v(c−a) ≡ A v(c ′ −a)et pour tout n, r n (c − a) ≡ A r n (c ′ − a), i.e. il existe σ ∈ Aut(M/A) tel que v(c − a) =σ(v(c ′ − a)) = v(σ(c ′ ) − a) (quitte à supposer M assez homogène) et r n (c − a) = r n (c ′ − a)(car les images des r n sont dans dcl(∅)). Comme σ(c ′ ) ≡ A c ′ , il suffit de démontrer queσ(c ′ ) ≡ A c. On peut donc supposer v(c − a) = v(c ′ − a).Considérons maintenant d ∈ A alg . Si d ∉ P, soit i tel que d ∉ b i . Pour tout m ∈ N, il existe j ∈ Itel que ρ(b j ) ⩾ ρ(b i )+m sinon X = {ρ(b j ) ∶ j ∈ I} aurait un minimum, (parmi ρ(b i ), ρ(b i )+40