mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closVérifions alors que ⟨g⟩ code aussi f. Supposons que ⟨g⟩ code g via χ[x 1 , t, s]. Quitte à remplacerχ[x 1 , t, s] par « χ[x 1 , t, s] définit une fonction totale » ∧χ[x 1 , t, s], on peut supposerque pour tout m χ[x 1 , t, m] est soit vide, soit définit une fonction totale. La formuleψ[ x, y, ⟨g⟩] = ∃ t θ[x2 , . . . , x n , y, t] ∧ χ[x1 , t, ⟨g⟩] définit alors f. En effet, si ( x, y) ∈ f, cetteformule est vérifiée pour t = ⟨fx1 ⟩. Réciproquement, si ( x, y) vérifie cette formule, comme gest une fonction, on a alors forcément t = ⟨fx1 ⟩ et donc (x 2 . . . x n y) ∈ f x1 , i.e. ( x, y) ∈ f. Enfin,si m ≠ ⟨g⟩, soit χ[x, y, m] définit l’ensemble vide et donc ψ aussi, soit elle définit une fonctiong m, mais il existe alors c 1 ∈ M tel que g m(c 1 ) ≠ g(c 1 ) = ⟨f c1 ⟩. Il y a alors deux cas possibles.Soit il existe (c 2 . . . c n , d) ∉ f c1 , i.e. ( c, d) ∉ f, tel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )].On a alors M ⊧ ψ[c, d, m] mais (c, d) ∉ f. Soit il existe (c2 . . . c n ) tel qu’il n’existe pas de dtel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )], mais alors ψ[ c, M, m] est l’ensemble vide. Comme fest totale, ψ[ x, y, m] ne peut pas définir f. On a donc que f est codé par ⟨g⟩ via ψ[ x, y, z]. ∎Prouvons maintenant un théorème de [HM08] qui permet de déduire l’élimination des imaginairesdans une théorie en utilisant une autre théorie qui les élimine. C’est le théorèmequi sera utilisé pour montrer l’élimination des imaginaires dans la théorie de Q p en utilisantles corps valués algébriquement clos. On a cependant besoin pour la preuve de la notion degerme que l’on commence donc par définir.Définition 1.50 (Germe) :Soient M une L-structure, f une fonction M-définissable définie par ϕ[ x, y, m], où m ∈ M et p ∈S(M) un type tel que f soit définie sur p. On note ∂ p f la classe d’équivalence de f pour la relationd’équivalence E(m, m ′ ) ∶= (∀ y, ϕ[ x, y, m] = ϕ[ x, y, m ′ ] ∈ p), i.e. l’ensemble des fonctions quicoïncident avec f sur une réalisation de p dans une extension élémentaire de M.Si le type p est définissable, cette relation d’équivalence est définissable et si, de plus, Th(M) élimineles imaginaires, ∂ p f est un point.Dans tous les cas, si on a A ⊆ M tel que p est Aut(M /A)-invariant, on peut parler de l’action deAut(M /A) sur ∂ p f (même si ce n’est pas un point), en posant σ(∂ p f) = ∂ p σ(f).La preuve nécessite aussi un lemme combinatoire sur les groupes d’automorphismes d’unmodèle assez saturé et homogène qui découle du lemme de Neumann.Lemme 1.51 (Lemme de Neumann) :Soient G un groupe et (g i H i ) i=1...n des translatés de sous-groupes de G tels que :G =alors l’un des H i au moins est d’indice fini.⋃ g i H i ,i=1...nCe lemme est énoncé et prouvé dans [Neu54, Lemma 4.1, p. 239].Corollaire 1.52 :Soient M un modèle assez universel et homogène et (e i ) i∈N une famille de points telle que toutautomorphisme de M fixe tous les e i sauf un nombre fini. Il y a alors au plus un nombre fini de e iqui ont une orbite infinie sous l’action des automorphismes de M.Proof . Supposons par l’absurde qu’il y ait une infinité de e i qui ont une orbite infinie et montronsqu’il existe alors un automorphisme qui ne fixe aucun de ces e i . Quitte à en oublier,22