mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProof . Supposons tout d’abord que P a une sous-boule a ∈ B(A). On pose alors s(x) =s B⩾v(x−a) (a)(x) qui est bien une fonction ̃L A -définissable. Soient alors b ⊧ β P ∣A et x ⊧α b ∣ acl ̃L(Ab). Comme x ∈ b et a ⊆ b car b est générique au dessus A, il s’en suit que v(x−a) ⩾ρ(b). De plus x ∉ B >ρ(b) (a) car c’est une sous-boule stricte de b, et donc v(x − a) = ρ(b).On a donc s(x) = s B⩾ρ(b) (a)(x) = s b (x), i.e. ∂ αb s = ∂ αb s b . Montrons maintenant que∂ αP s = ∂ αP r. Si ce n’était pas le cas r et s ne seraient égaux au plus sur b une sous-boulede P. Soit alors b ′ un sous-boule de P qui contient b et qui est générique au dessus de A.Par hypothèse, pour tout t ⊧ α b ∣ acl ̃L(A⟨r⟩), on a r(t) = s b (t), or comme s(t) ≠ r(t), celacontredit le fait que ∂ αb s = ∂ αb s b .Supposons maintenant que P ne contient aucune sous-boule a ∈ B(A). Soient alors b 1 ⊧β P ∣A et b 2 ⊧ β P ∣ acl ̃L(Ab 1 ). Comme, par hypothèse, ∂ αb2 r = ∂ αb2 s b2 , r et s b2 sont égauxsur b 2 /e, où e est une union finie de sous-boules strictes de b. Soit alors b1 ′ une sous-boulede b 2 qui est disjoint de e et de même rayon que b 1 (une telle boule existe car sinon b seraitrecouverte par un nombre fini de boules de rayon ρ(b 1 ), ce qui est absurde car le corps résiduelest infini). On a alors r b ′1= s b2 b ′ . De plus, comme ρ(b ′11 ) = ρ(b 1), par le corollaire(2.71), b ′ 1 ⊧ sβ P∣A et donc ∂ αb ′1r = ∂ αb ′1s b ′1. Il s’en suit donc que ∂ αb ′1s b2 = ∂ αb ′1s b ′1. Mais,comme b1 ′ ne contient aucune sous-boule acl(A, b′ 1 , b 2)-définissable (en effet b1 ′ contientune infinité de boules d’un rayon donné qui ont toutes le même type au dessus de A, b1 ′ , b 2par le corollaire (2.71)), les fonctions s b2 et s b ′1coïncident sur tout b1 ′ . Comme le fait queb1 ′ ⊧ β P∣A et b2 ′ ⊧ β P∣ acl ̃L(Ab 1 ′ ) définit un type complet au dessus de A, l’égalité que l’onvient de montrer est vraie pour toute paire de boules qui vérifient les même hypothèses.Soient alors b 1 ⊆ b 2 deux sous-boules de P et b 3 ⊧ β P ∣ acl ̃L(Ab 1 b 2 ). On a alors pour i = 1, 2,s bi bi= s b3 biet donc s b1 et s b2 coïncident sur b 1 . On pose donc s = ⋃ b⊆P s b qui est bienune fonction. Il est alors évident que pour tout boule b ⊆ P, ∂ αb s = ∂ αb s b et donc pas lamême preuve que précédemment, germsα P = ∂ αP r.∎Définition 2.74 (Irréductibilité sur un type) :Soient A ⊆ ̃M tel que A = acl ̃L(A), q un type Aut ̃L(̃M/A)-invariant et R[x, y] une relatioñL A -définissable telle que pour tout c ∈ ̃M, R(c) = R[c, ̃M] soit un ensemble fini (on dit que R estune pseudo-fonction). On dit que R est irréductible sur q au dessus de A s’il n’existe pas de R ′ [x, y]A-définissable tel que pour c ⊧ q∣A, R ′ (c) est un sous-ensemble strict non vide de R(c) (commecette propriété s’exprime avec un ̃L A -formule, il suffit de le vérifier pour un unique c ⊧ q∣A).Remarque 2.75 :Si R est irréductible sur q au dessus de A alors pour c ⊧ q∣A, R[c, y] est une formule algébriquecomplète, i.e. tous les éléments de R(c) sont Aut ̃L(̃M/Ac)-conjugués.Lemme 2.76 :Soit A ⊆ ̃M tel que acl ̃L(A) = A et P une intersection de boules A-définissables. Soit f une fonctioñL̃M -définissable tel que pour tout x ∈ P, f(x) ∈ acl ̃L(Ax). Il existe alors g une fonctionA-définissable qui a le même germe que f sur α P .Proof . TO DO Voir [HHM06, Lemme 3.4.13].∎56