mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théoriep i+1 ∣ acl L (A i c) et donc M ⊧ ϕ[σ(a), c, b i+1 ]. Il s’en suit donc que σ(a) = a et donc quea ∈ dcl L (A i c). On a donc acl L (Ac) ∩ dcl L (A i+1 c) ⊆ acl L (Ac) ∩ dcl L (A i c) ⊆ dcl L (Ac).Pour tout i, a i ∈ dcl L (b i ) et donc, comme b i ∈ dom(M), A ⊆ dcl(A k ∩dom(M)). On a alorsacl L (Ac) ⊆ acl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ c). Il s’en suit doncque acl L (Ac) = acl L (Ac) ∩ dcl L (A κ c) ⊆ dcl L (Ac).∎Pour ce qui est du (iii), on peut même en montrer une version un petit peu plus forte.Proposition 2.66 ((iii ′ ) dans pCF) :Soit e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ ̃M, il existe alors e ′ ∈ M tel que tout automorphisme de ̃M qui laisse Mglobalement fixe, fixe e si et seulement si il fixe e ′ , et e ∈ dcl ̃L(e ′ ).Proof . Supposons tout d’abord que e ∈ K(̃M). D’après la remarque (1.32.ii), comme K(M) estHensélien et qu’on est en caractéristique nulle, K(M) est dcl ̃L-clos. On a donc e ∈ K(M).Si maintenant, e ∈ K(̃M), comme e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ acl ̃L(M) et que acl ̃L(M) ⊧ ACVF G 0,p (lapreuve est similaire à celle de la proposition (2.64) dans le cas de pCF G ), il s’en suit que e a unebase dans acl ̃L(M). Il existe donc une extension finie K(M) ⩽ L, telle que e ait une base dansL. Soit m = [L ∶ K(M)]. On sait par le théorème (2.63), qu’il y a un nombre fini d’extensionsde degré m au dessus de K(M). Soit alors L ′ l’union de toutes ces extensions. L’extensionK(M) ⩽ L ′ est toujours finie et si σ est un automorphisme de K(̃M) qui fixe globalementK(M) alors il fixe globalement L. En effet, si a est algébrique de degré m au dessus de K(M),alors σ(a) aussi et donc σ(a) ∈ L ′ . On a donc σ(L ′ ) ⊆ L ′ et comme ces deux extensions sontde même degré, elles sont égales. Quitte à remplacer L par L ′ , on peut donc supposer que Lvérifie cette même propriété que tout automorphisme de K(̃M) qui fixe globalement M fixeglobalement L.Soit alors a ∈ Q alg tel que L = K(M)[a], que O L = O M [a] et dont le polynôme minimalannulateur est dans Q. On connaît l’existence d’un tel a par le théorème (2.63). Ce a permetdonc de définir une bijection f a ∶ L → K(M) m qui induit une bijection f n a ∶ L n → K(M) mn .On pose alors e ′ = f n a(e). Comme O L est un O M -module libre de rang m (la famille des a ien est une base), s est un O M module libre de rang mn. Il est facile de voir que f n a est unisomorphisme de O M -modules et il s’en suit donc que e ′ est bien dans S mn (M).Si a ′ est un conjugué de A au dessus de Q, comme le polynôme minimal annulateur de aau dessus de K(M) est dans Q, c’est aussi le polynôme minimal annulateur au dessus de Qet donc a et a ′ sont conjugués au dessus de K(M). Il existe donc σ ∈ Aut(L/K(M)) unautomorphisme de corps, qui envoie a sur a ′ . De plus, comme e et e ′ ∈ dcl ̃L(M) (à vrai direon a même e ′ ∈ M), ces deux points sont fixés par σ et donc f n σ(a) (e) = e′ . Il s’en suit doncque tout automorphisme de ̃M qui fixe globalement M fixe globalement f a et donc fixe e siet seulement s’il fixe e ′ .Il reste alors à démontrer que e ∈ dcl ̃L(e ′ ). Mais l’inverse de g a ∶ (x 0 . . . x m−1 ) ↦ ∑ i x i a ipeut être étendue par la même formule en un ÕM-module ̃g a ∶ K(̃M) m → K(̃M), qui induitdonc un morphisme de ÕM-module ̃g n a ∶ K(̃M) mn → K(̃M) n . Ce morphisme envoie unebase de e ′ sur une base de e, on a donc ̃g n a(e ′ ) = e. Comme précédemment ̃g a = ̃g a ′ pourtout conjugué de a au dessus de Q et donc tout automorphisme de ̃M qui fixe e ′ fixe bien e,i.e. e ∈ dcl(e ′ ).53