mémoire de M2

1 Corps valués algébriquement closProof . Commençons par remarquer une conséquence immédiate de la condition (iii).Lemme 1.54 :Les ensembles finis sont codés dans M ⊧ T.Proof . Soit E ⊆ M n un ensemble fini. Comme E est définissable (avec l’égalité et sans quantificateurs)sur M, il l’est aussi dans ̃M. Soit e un code dans ̃M, on a alors que e ∈ dcl ̃L(M)et soit e ′ ∈ M donné par (iii). Soit alors σ ∈ Aut L (M), c’est alors aussi une ̃L-applicationélémentaire qui peut donc s’étendre en ̃σ ∈ Aut ̃L(̃M). On a alors que σ fixe E si et seulementsi ̃σ fixe E (car E ⊆ M) si et seulement si ̃σ fixe e, si et seulement si ̃σ fixe e ′ (par définition car̃σ laisse M globalement invariant), si et seulement si σ fixe e ′ (car e ′ ∈ M).✠Revenons maintenant à la preuve de l’élimination des imaginaires. Par le lemme (1.49) il suffitde montrer que le graphe d’une fonction L M -définissable f ∶ dom(M) → M n est codé. Par leslemmes (1.47) et (1.54), il suffit de montrer qu’il est faiblement codé. On pose A ′ = acl L (⟨f⟩)et A = A ′ ∩ M où ⟨f⟩ est pris dans M eq . Il suffit alors de montrer que f est A-définissable, parle lemme (1.46).Lemme 1.55 :Il existe une relation R[x, y] ̃L M -définissable telle que, pour tout c ∈ dom(M), R(c) = { d ∈ ̃M ∶̃M ⊧ R[c, d]} est fini et f(c) ∈ R(c).Avant de démontrer ce lemme, remarquons que, comme R est définie sans quantificateurs,pour tout c, d ∈ M, M ⊧ R[c, d] si et seulement si ̃M ⊧ R[c, d]. En particulier pour toutc ∈ dom(M), { d ∈ M ∶ M ⊧ R[c, d]} est aussi fini.Proof . Soit M ′ ≼ M (petit) tel que f soit M ′ -définissable et soit ϕ[x, y] une L M ′-formule quila définit, alors pour tout c, par (i), f(c) ∈ dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c). Considérons alorsl’ensemble de formules suivant :Σ[x, y] = {ϕ[x, y]} ∪ {¬ψ[x, y] ∈ ̃L M ′ ∶ ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n y ψ[x, y] pour un n ∈ N}.Il est évident que cet ensemble de formules n’est pas satisfaisable dans M car pour toute formuleψ[x, y] ∈ ̃L M ′ (sans quantificateurs donc) et c, d ∈ Mod, M ⊧ ψ[c, d] si et seulement sĩM ⊧ ψ[c, d]. Par compacité, il existe donc (ψi ) i=1...N ∈ ̃L M ′ telles que M ⊧ ∀x y ϕ[x, y] ⇒⋁ i ψ i [x, y] et que, par définition, il existe n tel ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n y ⋁ i ψ i [x, y].✠Lemme 1.56 :Soient c ∈ dom(M) et p = tp L (c/A). Il existe alors une fonction g A-définissable telle que f et gcoïncident sur toute réalisation de p et {x ∶ f(x) = g(x)} est A-définissable.Proof . Soit ̃p le type Aut ̃L(̃M/A)-invariant qui étend p donné par (v). Pour tout R commeau lemme (1.55), on a alors ∃ =n y R[x, y] ∈ ̃p pour un certain n. Ainsi, le cardinal de R(x)est constant sur l’ensemble des réalisations de ̃p. On choisit alors un R comme au lemme(1.55) tel que le cardinal de R(x) sur une réalisation de ̃p soit minimal (parmi tous les R quivérifient le lemme (1.55)) et on note r ∶ x ↦ ⟨R(x)⟩ (une telle fonction existe car ̃T admetl’élimination uniforme des imaginaires). Soit alors σ ∈ Aut L eq(M eq /A ′ ), σ M est alors aussiune ̃L-application élémentaire qui peut donc s’étendre à σ ∈ Aut ̃L(̃M/A) qui fixe globalementM. Comme σ fixe A ′ , il fixe f et donc σ le fixe aussi. De plus, pour tout x ∈ ̃M, σ(R)(x)24