mémoire de M2

2 Corps des nombres p-adiques et sa théorieProposition 2.61 :Soit (K, v) un corps complet de corps résiduel fini et à valuation discrète, alors K a un nombre finid’extensions de degré donné.Proof . Comme on l’a montré dans la proposition (2.50), toute extension finie de K est la composéed’une extension purement inertielle et d’une extension purement ramifiée. Soit alorsn ∈ N ⋆ . Il existe un nombre fini de façon d’écrire n sous la forme ef avec e et f ∈ N ⋆ . D’aprèsle corollaire (2.53), il existe une unique extension purement inertielle de K de degré f. Cetteextension finie est aussi complète par le corollaire (2.8) et, comme le groupe de valeur nechange pas, évidemment aussi à valuation discrète. Par le lemme (2.60), ce corps a donc unnombre fini d’extensions purement ramifiées de degré e.∎Proposition 2.62 :Soit (Q p , v p ) ⩽(K, v) une extension finie, il existe alors α ∈ Q alg tel que K = Q p [α], que O K =Z p [α] et que le polynôme minimal annulateur de α au dessus de Q p soit dans Q.Proof . Soient a et Π tels que K = Q p [a, Π], O K = Z p [a, Π], Q p ⩽ Q p [a] est purement inertielle,le polynôme minimal de a est dans Z p [X] et Q p ⩽ Q p [Π] est purement ramifiée (cettedécomposition est donnée à la proposition (2.50)). Comme Q est dense dans Q p est que Zest dense dans Z p , quitte à remplacer a et Π par des racines de polynômes assez proches deleurs polynômes minimaux, on peut supposer que le polynôme minimal de Π est dans Q[X]et que celui de a est dans Z[X]. Il est alors facile de vérifier que Π est alors toujours uneuniformisante.Posons alors α = a + Π. On sait alors qu’il existe un polynôme P dans Q[X] de degré n quiannule α. Soit Q le polynôme minimal de a, d’après la formule de Taylor, Q(α) = Q(a) +ΠQ ′ Q(a) + ∑ (i) (a)iΠ i = Q(a) + ΠQ ′ (a) + Π 2 b où b ∈ Oi! K . Comme res(a) engendrek K au dessus de F p , que [k K ∶ F p ] = deg(Q) = deg(res(Q)) et que res(Q)(res(a)) =res(Q(a)) = 0, il s’en suit que Q est res(Q) est irréductible et donc, comme F p est parfait,que res(Q ′ (a)) ≠ 0, i.e. v(Q ′ (a)) = 0. Il s’en suit donc que v(Q(α)) = v(Π), i.e. Q(α)est une uniformisante. Comme res(α) = res(a) est un élément primitif de k K ⩽ F p , d’aprèsla remarque (2.51), la famille α i Q(α) j , et donc la famille (α i ), génère K au dessus de Q p etO K au dessus de Z p . Le polynôme P est donc bein irréductible et est donc bien le polynômeminimal annulateur de α.∎Théorème 2.63 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors K a un nombre fini d’extensions d’un degré donné et elles sont toutesengendrées par un élément algébrique sur Q qui engendre aussi l’anneau de valuation et dontle polynôme minimal annulateur au dessus de K est dans Q.Proof . On a montré aux propositions (2.61) et (2.62) que ces propriétés sont vraies pour Q p , ilsuffit donc de montrer qu’elles sont exprimables au premier ordre. Fixons alors un degré n etP 1 , . . . P k des polynômes de degré n à coefficients dans Q tels que leurs corps de rupture sontles extensions de degré n de Q p et qu’une de leur racine dans un corps de rupture engendrel’anneau de valuation.Mais les extensions finies de degré n d’un corps sont définissables de façon uniforme avecpour paramètres les coefficients du polynôme minimal d’un élément primitif. On peut donc51